Перегляд вихідного коду сторінки Кирпатий двадцятичотирьохкомірник

{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="280"
|-
|bgcolor=#e7dcc3 align=center colspan=3|'''Кирпатий двадцятичотирьохкомірник'''
|-
|bgcolor=#ffffff align=center colspan=3|[[Image:Schlegel_half-solid_alternated_cantitruncated_16-cell.png|280px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип
|colspan=2|{{нп|однорідний 4-політоп|||Uniform 4-polytope}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефлі]]{{Sfn|Klitzing}}
|colspan=2|s{3,4,3}<BR/>sr{3,3,4}<BR/>s{3<sup>1,1,1</sup>}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграми<br/>Коксетера — Динкіна]]
|colspan=2|
{{CDD|node_h|3|node_h|4|node|3|node}}<BR/>
{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h|4|node}} або {{CDD|node_h|split1|nodes_hh|4a|nodea}}<BR/>
{{CDD|node_h|3|node_h|split1|nodes_hh}} або {{CDD|node_h|splitsplit1|branch3_hh|node_h}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Комірок
|144
|96 [[Чотиригранник|''3.3.3'']] (неправильний)&nbsp;[[Image:Tetrahedron.png|20px]]<BR/>24 [[Чотиригранник|''3.3.3'']] [[Image:Tetrahedron.png|20px]]<BR/>24 [[Ікосаедр|''3.3.3.3.3'']] [[Image:Icosahedron.png|20px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Граней
|colspan=2|480 {3}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Ребер
|colspan=2|432
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Вершин
|colspan=2|96
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Вершинна фігура]]
|colspan=2|[[Image:Snub 24-cell vertex figure.png|80px]]<BR/>([[Тричі відсічений ікосаедр]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Група Коксетера|Групи симетрії]]
|colspan=2|[[Ікосітетрахорична симетрія|[3<sup>+</sup>,4,3]]], {{sfrac|1|2}}F<sub>4</sub>, порядок 576
[[Гексадекахорична симетрія|[(3,3)<sup>+</sup>,4]]], {{sfrac|1|2}}B<sub>4</sub>, порядок 192<BR/>
[[Демітесерактична симетрія|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>]], {{sfrac|1|2}}D<sub>4</sub>, порядок 96
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Двоїстий
|colspan=2|{{нп|Двоїстий кирпатий двадцятичотирьохкомірник|Двоїстий кирпатий 24-комірник||Dual snub 24-cell}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Властивості
|colspan=2|[[Опуклий політоп|опуклий]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Показник однорідності {{уточнити|англ. ''Uniform index''}}
|colspan=2|''[[всезрізаний двадцятичотирьохкомірник|30]]'' 31 ''[[Стодвадцятикомірник|32]]''
|}
'''Кирпа́тий двадцятичотирьохкомі́рник''' — [[4-політоп|чотиривимірний многогранник]], один із 47 непризматичних [[Опуклий політоп|опуклих]] {{Не перекладено|Однорідний 4-політоп|однорідних багатокомірників|en|Uniform 4-polytope}} і один із 3 {{Не перекладено|Напівправильний багатокомірник|напівправильних багатокомірників|en|Semiregular polytope}} (бо складається з [[Правильний многогранник|платонових тіл]] двох різних видів).

Вперше описав у статті 1900 року {{Не перекладено|Торольд Госсет||en|Thorold Gosset}}<ref>Thorold Gosset. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. — Messenger of Mathematics, vol. 29. — Macmillan, 1900. — pp. 43—48.</ref>, який назвав багатокомірник '''тетрікосаедриком''' ({{Lang-en2|tetricosahedric}}), оскільки його комірки - тетраедри та ікосаедри. Також відомий як '''кирпатий [[Двадцятичотирьохкомірник|ікосітетрахор]]''', '''напівкирпатий поліоктаедр''' ({{Lang-en|semi-snub polyoctahedron}})<ref>[[Джон Конвей|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}}. — p. 401.</ref>.

== Опис ==
[[Файл:Snub_24-cell-net.png|міні|296x296пкс| [[Розгортка многогранника|Розгортка]]]]
Обмежений 144 тривимірними комірками - 120 [[Правильний тетраедр|правильними тетраедрами]] і 24 [[Правильний ікосаедр|правильними ікосаедрами]]. Кожну ікосаедричну комірку оточують вісім ікосаедричних та дванадцять тетраедричних. Тетраедричні комірки поділяються на дві групи: 24 з них оточені чотирма тетраедричними, решта 96 — трьома ікосаедричними та тетраедричною.

480 двовимірних граней - однакові [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]. 96 граней розділяють дві ікосаедричні комірки, 96 граней — дві тетраедричні, інші 288 — ікосаедричну й тетраедричну.

Має 432 ребра рівної довжини. На 288 ребрах сходяться по три грані й по три комірки (дві ікосаедричні й тетраедрична), на решті 144 - по чотири грані й по чотири комірки (ікосаедрична та три тетраедричні).

Має 96 вершин. У кожній вершині сходяться по 9 ребер, по 15 граней і по 8 комірок (три ікосаедричні та п'ять тетраедричних).

Кирпатий двадцятичотирьохкомірник можна отримати з [[Шестисоткомірник|шестисоткомірника]], відсікши від того 24 [[Ікосаедрична піраміда|ікосаедричні піраміди]] — так, щоб замість них залишилися тільки їхні основи. Вершини отриманого багатокомірника - 96 зі 120 вершин шестисоткомірника (а видалені 24 вершини утворюють вершини звичайного [[Двадцятичотирьохкомірник|двадцятичотирьохкомірника]]); ребра - 432 зі 720 ребер шестисоткомірника; грані - 480 із 1200 граней шестисоткомірника. Звідси ясно, що в кирпатого двадцятичотирьохкомірника теж існують описана і обидві напіввписані [[3-сфера|тривимірні гіперсфери]], причому вони збігаються з описаною і напіввписаними гіперсферами початкового шестисоткомірника.

== У координатах ==
Кирпатий двадцятичотирьохкомірник із довжиною ребра <math>2</math> можна розмістити в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] так, щоб координати його вершин були різними [[Перестановка|парними перестановками]] наборів чисел <math>\left(0;\;\pm1;\;\pm\Phi;\;\pm\Phi^2\right),</math> де <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> - відношення [[Золотий перетин|золотого перетину]].

Початок координат <math>\left(0;\;0;\;0;\;0\right)</math> буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його описаної та напіввписаних гіперсфер.

== Ортогональні проєкції на площину ==
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_h01_F4.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_h01_B4.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_h01_B3.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_h01_B2.svg|170x170пкс]]</div>{{Clear}}

== Метричні характеристики ==
Якщо кирпатий двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини <math>a,</math> то його чотиривимірний [[гіпероб'єм]] і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

: <math>V_4 = 5\left(\frac{9}{4}+\sqrt5\right)a^4 \approx 22{,}4303399a^4,</math>
: <math>S_3 = 10\left(3+\sqrt2+\sqrt5\right)a^3 \approx 66{,}5028154a^3.</math>

Радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнює

: <math>R = \Phi a = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 1{,}6180340a,</math>

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

: <math>\rho_1 = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a \approx 1{,}5388418a,</math>

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

: <math>\rho_2 = \frac{1}{6}\left(\sqrt{15}+3\sqrt3\right)a \approx 1{,}5115226a.</math>

Вписати в кирпатий двадцятичотирьохкомірник гіперсферу — так, щоб вона дотикалася до всіх комірок, — неможливо. Радіус найбільшої гіперсфери, яку можна помістити всередині кирпатого двадцятичотирьохкомірника з ребром <math>a</math> (вона дотикатиметься лише до всіх ікосаедричних комірок у їхніх центрах), дорівнює

: <math>r_I = \frac{1}{4}\left(3+\sqrt5\right)a \approx 1{,}3090170a.</math>

Відстань від центру багатокомірника до будь-якої тетраедричної комірки перевищує <math>r_I</math> і становить

: <math>r_T = \frac{1}{4}\left(\sqrt{10}+2\sqrt2\right)a \approx 1{,}4976762a.</math>

== Заповнення простору ==
За допомогою кирпатих двадцятичотирьохкомірників, [[Шістнадцятикомірник|шістнадцятикомірників]] і [[П'ятикомірник|п'ятикоміриків]] можна без проміжків і накладень замостити чотиривимірний простір (див. {{Нп|Стільник з кирпатих 24-комірників|3=en|4=Snub 24-cell honeycomb}}). Це заповнення також знайшов Торольд Госсет.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==

* Джордж Ольшевський. [https://web.archive.org/web/20070207101509/http://members.aol.com/Polycell/nets.html Print #11: Snub icositetrachoron net] {{Ref-en}}
[[Категорія:Многогранники]]
[[Категорія:Багатовимірна евклідова геометрія]]