Перегляд вихідного коду сторінки Квадратний корінь з трьох

[[File:Equilateral triangle with side 2.svg|thumb|[[висота трикутника|Висота]] [[правильний трикутник|рівностороннього трикутника]] з сторонами 2 рівна квадратному кореню з 3.]]

'''Квадратний корінь з трьох'''&nbsp;— [[додатні числа|додатне]] [[дійсне число]], яке в [[Квадрат (алгебра)|другій степені]] дорівнює числу [[3 (число)|3]]. Позначається як '''{{sqrt|3}}''' або '''3<sup>1/2</sup>'''. [[Квадратний корінь]] з трьох є [[Ірраціональні числа|ірраціональним числом]]. Його також називають константою Феодора на честь давньогрецького математика [[Феодор Кіренський|Феодора Кіренського]], який довів ірраціональність даного числа.

Станом на грудень 2013, його значення обчислили з точністю більше ніж десять мільйонів десяткових знаків<ref>{{Cite web|title=Computations {{!}} Łukasz Komsta|url=http://www.komsta.net/computations|accessdate=2021-09-11|language=en-US|archive-date=4 Листопада 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161104012857/https://www.komsta.net/computations}}</ref>. Перші 65 десяткових знаків '''{{sqrt|3}}''':  <ref>{{Cite web|title=A002194 - OEIS|url=https://oeis.org/A002194|website=oeis.org|accessdate=2021-09-11|archive-date=11 Вересня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210911093431/https://oeis.org/A002194}}</ref> <br> 
: 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
Дріб '''{{sfrac|97|56}}'''({{val|1.732142857}}...) можна використати як [[апроксимація|наближення]]. Незважаючи на те що [[знаменник]] 56 є меншим за 100, значення виразу відрізняється від '''{{sqrt|3}}''' менше ніж на '''{{sfrac|1|10,000}}''' (близько {{val|9.2|e=-5}}). Округлене значення 1.732 точне в межах 0.01 % від справжнього значення.

[[Архімед]] знайшов проміжок для його значення: '''{{math|<big><big>(</big></big>{{sfrac|1351|780}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}} > 3 > <big><big>(</big></big>{{sfrac|265|153}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}}}}''';<ref>{{citation
 | last = Knorr | first = Wilbur R. | authorlink = Wilbur Knorr
 | issue = 2
 | journal = Archive for History of Exact Sciences
 | jstor = 41133444
 | mr = 0497462
 | pages = 115–140
 | title = Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation
 | volume = 15
 | year = 1976
 | doi=10.1007/bf00348496 }}.</ref> нижня границя точна до '''{{sfrac|1|608400}}''' (шість десяткових знаків), верхня до '''{{sfrac|2|23409}}''' (чотири десяткових знаки).

== Способи обчислення ==
=== Ланцюговим дробом ===
'''{{sqrt|3}}''' можна виразити [[ланцюговий дріб|ланцюговим дробом]] {{nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} {{OEIS|id=A040001}}.

Отже якщо:
:'''<math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>'''
то коли <math>n\to\infty</math> :
:<math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

== Доведення ірраціональності==
=== Методом Ферма ===
Це доведення ірраціональності числа '''{{sqrt|3}}''' використовує {{не перекладено|Метод нескінченного спуску|метод нескінченного спуску|en|Proof by infinite descent}}  [[П'єр Ферма|Ферма]]:

Припустимо що '''{{sqrt|3}}''' є [[Раціональні числа|раціональним числом]], і виразимо його в формі [[Нескоротний дріб|повністю спрощеного дробу]] форми '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''', де '''{{math|''m''}}''' та '''{{math|''n''}}''' - натуральні числа.

Помножимо чисельник та знаменник на <math>(\sqrt{3}-q)</math> і отримаємо рівнозначний вираз:

:<math>\frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}</math>
де '''{{mvar|q}}'''&nbsp;— найбільше ціле число менше ніж '''{{sqrt|3}}'''. Зверніть увагу, що чисельник та знаменник множаться на число менше 1.

Розкриємо дужки:
:<math>\frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

З припущення отримаємо, що '''{{math|''m''}}''' можна замінити на '''{{math|{{sqrt|3}}''n''}}''':
:<math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

Далі '''{{sqrt|3}}''' замінимо на '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' в знаменнику:
:<math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}</math>

Квадрат числа '''{{sqrt|3}}''' можна замінити на 3, а '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' {{math|*}} '''{{math|''n''}}''' спростити до '''{{math|''m''}}''':
:<math>\frac{3n-mq}{m-nq}</math>

Отже '''{{sqrt|3}}''' можна виразити меншим дробом ніж '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' як '''{{math|{{sfrac|3''n'' − ''mq''|''m'' − ''nq''}}}}'''(оскільки в першому кроці ми зменшили величину чисельника та знаменника, і наступні кроки не змінили їх) , що заперечує припущення про те, що  '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' складався з найменших можливих чисел.<ref name=Grant>{{cite journal|title=Descending to the irrational|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/263|journal=Mathematical Gazette|volume=83|date=July 1999|pages=263–267|doi=10.2307/3619054|issue=497|last1=Grant|first1=M.|last2=Perella|first2=M.|jstor=3619054}}</ref>
=== Інші способи ===
В альтернативному способі доведення, припустимо, що '''{{math|{{sqrt|3}} {{=}} &nbsp;{{sfrac|''m''|''n''}}}}'''&nbsp; де &nbsp;'''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' [[Нескоротний дріб|повністю скорочений дріб]]:

Помножимо на '''{{math|''n''}}''' обидві частини, тоді піднесемо до квадрату та отримаємо:
:<math>3n^2=m^2.</math>
Оскільки ліву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати і про праву: '''{{math|''m''}}''' повинне ділитись на 3. Тоді, '''{{math|''m''}}''' можна виразити як '''{{math|3''k''}}''':
:<math>3n^2=(3k)^2=9k^2</math>
Поділивши обидві частини на 3 отримаємо:
:<math>n^2=3k^2</math>
Оскільки праву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати про ліву, а отже і про число '''{{math|''n''}}'''. Оскільки, '''{{math|''n''}}''' та '''{{math|''m''}}''' діляться на три, в них є спільний дільник, тому '''{{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}}''' не є повністю скороченим дробом, що заперечує початкове припущення.

== Див. також ==
* [[Квадратний корінь з двох]]

== Джерела == 
* {{cite journal|title=22900D approximations to the square roots of the primes less than 100|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1968-01_22_101/page/234|journal=Mathematics of Computation|volume=22|year=1968|pages=234–235|jstor=2004806|issue=101|last1=S.|first1=D.|last2=Jones|first2=M. F.|doi=10.2307/2004806}}
* {{cite journal|first=H. S.|last= Uhler|title=Approximations exceeding 1300 decimals for <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, <math>\sin(\frac{\pi}{3})</math> and distribution of digits in them|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|year=1951|pages= 443–447|pmid=16578382|issue=7|doi=10.1073/pnas.37.7.443 |pmc=1063398}}
* {{cite book|last=Wells|first= D. |title=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|edition= Revised |location=London|publisher= Penguin Group|year=1997|page= [https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/23 23]}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Ірраціональні числа}}

[[Категорія:Квадратичні ірраціональні числа]]
[[Категорія:Математичні константи]]