Перегляд вихідного коду сторінки Квадратний корінь з двох

[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|200px|Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному трикутнику з довжиною катетів 1.]]
'''Квадратний корінь з числа 2'''&nbsp;— [[дійсне число]] більше нуля, яке при множенні саме на себе дає [[2 (число)|число 2]]. Позначення: <math>\sqrt{2}.</math> Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:
: 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину [[Діагональ|діагоналі]] квадрата зі стороною 1 (це слідує з [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]]). Можливо, це було перше відоме в [[Історія математики|історії математики]] [[ірраціональне число]] (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді [[Дріб|дробу]]).

[[Файл:Dedekind cut- square root of two.png|thumb| right| 200px| Квадратний корінь з 2.]]
Гарним і часто використовуваним наближенням до <math>\sqrt{2}</math> є дріб <math>\tfrac{99}{70}</math>. Незважаючи на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.

{| class="infobox" style="width:370px"
| colspan="2" align="center" | [[Ірраціональне число]] {{radical|2}}
|-
| ||
|-
! Система числення || Запис числа {{radical|2}}
|-
| [[Двійкова система числення|Двійкова]] || 1.0110101000001001111…
|-
| [[Десятковий дріб|Десяткова]] || 1.4142135623730950488…
|-
| [[Шістнадцяткова система числення|Шістнадцяткова]] ||  1.6A09E667F3BCC908B2F…
|-
|-
| [[Ланцюговий дріб]] ||<math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
|-
|}

== Історія ==
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|Вавилонська глиняна табличка з максимально точним зазначенням довжини діагоналі одиничного квадрата чотиризначним [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковим числом]].]]
Вавилонська глиняна табличка (1900 до н. е. — 1650 до н. е.) дає найточніше наближене значення <math>\sqrt{2}</math> при записі в чотирьох [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткових цифрах]], що після округлення становить 6 точних десяткових цифр:

: <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math><ref>{{Cite web |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |title=YBC 7289 clay tablet |accessdate=12 Січня 2014 |archive-date=13 Серпня 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html }}</ref>

Інше раннє наближення цього числа в давньоіндійському математичному тексті, [[Шульба-сутри]] (бл. 800–200 до н.&nbsp;е.) дається наступним чином:

: <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>

[[Піфагореїзм|Піфагорійці]] виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, або сучасною мовою, що квадратний корінь з двох є [[Ірраціональність|ірраціональним]]. Мало що відомо з певністю про час і обставини цього видатного відкриття, але традиційно його авторство приписується [[Гіппас Метапонтський|Гіппасу Метапонтському]], якого за це відкриття, за різними варіантами легенди, піфагорійці не то вбили, не то вигнали, поставивши йому в провину руйнування головної піфагорейської доктрини про те, що «все є [[натуральне число]]». Тому квадратний корінь з 2 іноді називають постійною [[Піфагор]]а, через те, що саме піфагорійці довели його ірраціональність, тим самим відкривши існування ірраціональних чисел.

== Алгоритми обчислення ==
Існує безліч алгоритмів для обчислення значення квадратного кореня з двох. В результаті алгоритму виходить приблизне значення <math>\sqrt{2}</math> у вигляді [[дріб|звичайної]] або [[Десятковий дріб|десяткового дробу]]. Найпопулярніший алгоритм для цього, який використовується в багатьох комп'ютерах і калькуляторах, це вавилонський метод обчислення квадратних коренів. Він полягає в наступному:

: <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>

Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим більше «n»), тим краще наближення квадратного кореня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість правильних цифр. Наведемо кілька перших наближень:
 
* 3/2 = '''1'''.5
* 17/12 = '''1.41'''6…
* 577/408 = '''1.41421'''5…
* 665857/470832 = '''1.41421356237'''46…

У 1997 році Ясумаса Канада вирахував значення {{radical|2}} до 137 438 953 444 десяткових знаків після коми. У лютому 2007 року рекорд був побитий: Сігеру Кондо вирахував 200 мільярдів десяткових знаків після коми протягом 13 днів і 14 годин, використовуючи процесор з частотою 3,6 ГГц і 16 [[гігабайт]] [[Оперативна пам'ять|оперативної пам'яті]]. Серед математичних констант тільки [[Пі (число)|<math>\pi</math>]] було обчислено більш точно.

== Властивості квадратного кореня з двох ==
Половина {{radical|2}} приблизно дорівнює 0.70710 67811 86548; ця величина дає в геометрії та тригонометрії координати [[одиничний вектор|одиничного вектора]], який утворює кут 45° з координатними осями:
: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).</math>

Одна з цікавих властивостей {{radical|2}} полягає в наступному:

: <math> \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1</math>. Тому що <math>(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.</math>

Це є результатом властивості [[срібний перетин|срібного перетину]].

Друга цікава властивість {{radical|2}}:

: <math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.\, </math>

Квадратний корінь з двох може бути виражений в уявних одиницях <math>i</math>, використовуючи тільки квадратні корені і арифметичні операції:

: <math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> і <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>

Квадратний корінь з 2 є єдиним числом, відмінним від 1, чия нескінченна [[тетрація]] дорівнює його квадрату.

: <math>\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2</math>

Квадратний корінь з двох може бути також використаний для наближення [[Пі (число)|<math>\pi</math>]]:
: <math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\ (m \to \infty) </math><ref>{{Citation |title=What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods |first=Richard |last=Courant |first2=Herbert |last2=Robbins |location=London |publisher=Oxford University Press |year=1941 |page=124 }}</ref>

З точки зору [[Абстрактна алгебра|вищої алгебри]], <math>\sqrt{2}</math> є [[Корінь многочлена|коренем многочлен]]а <math>x^2-2</math> і тому є [[Ціле алгебраїчне число|цілим алгебраїчним числом]]. Множина чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math>, де <math>~a, b</math>&nbsp;— [[раціональне число]], створює [[Поле (алгебра)|алгебраїчне поле]]. Воно позначається <math>\mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math> і є [[Поле (алгебра)|підполем]] поля [[Дійсне число|дійсних чисел]].

== Доказ ірраціональності ==
Застосуємо [[доказ від протилежного]]: нехай, <math>\sqrt{2}</math> [[раціональне число|раціональний]], тобто представляється у вигляді дробу <math>\frac{m}{n}</math>, де <math>m</math> і <math>n</math>&nbsp;— [[ціле число|цілі числа]].
Піднесемо рівність в квадрат:
: <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2</math>.
Так як m<sup>2 </sup>містить парне число двійок, а 2n<sup>2</sup>&nbsp;— непарне число двійок, отже рівність m<sup>2</sup>=2n<sup>2</sup> неможлива.
Це означає, що вихідне припущення було невірним, і <math>\sqrt{2}</math>&nbsp;— ірраціональне число.

== Ланцюговий дріб ==
Квадратний корінь з двох може бути представлений у вигляді [[Ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]]:
: <math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>

Відповідні дроби даного ланцюгового дробу дають наближені значення, швидко сходяться до точного квадратного кореня з двох. Спосіб їх обчислення простий: якщо позначити попередній відповідний дріб <math>\frac {m}{n}</math>, то подальший має вигляд <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. [[Швидкість збіжності]] тут менше, ніж у методу Ньютона, але обчислення набагато простіше. Випишемо декілька перших наближень:
: <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
Квадрат останнього наведеного дробу дорівнює (округлено) 2,000000177.

== Розмір паперу ==
Квадратний корінь з двох є пропорцією формату паперу [[ISO 216]]. Співвідношення сторін таке, що при розрізанні аркуша навпіл, паралельно його короткій стороні, вийдуть два аркуша тієї ж пропорції. Це дозволяє нумерувати такі, найуживаніші формати паперу, одним числом, згідно з геометричним зменшенням площі листа (відповідно числу розрізів)&nbsp;— А0, А1, А2, А3, [[А4]],…

== Див. також ==
* [[Ірраціональність]]
* [[Теорема Вієта]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Ірраціональні числа}}

[[Категорія:Квадратичні ірраціональні числа]]
[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:Теорема Піфагора]]