Перегляд вихідного коду сторінки Квадратний корінь

{{Універсальна картка}}
'''Квадра́тний ко́рінь''' з числа {{math|''x''}}&nbsp;— це число ([[Матриця (математика)|матриця]], [[Функція (математика)|функція]], [[Оператор (математика)|оператор]] тощо), ''[[квадрат (функція)|квадрат]]'' якого (результат [[множення]] на себе) дорівнює {{math|''x''}}. Квадратний корінь часто називають просто '''[[Корінь (математика)|корінь]]'''.

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу <math> x </math>, обов'язково є [[додатне число]] (крім 0). Це число називається '''арифметичним значенням квадратного кореня''' і позначається символом <math> \sqrt{x} </math> або як <math> x^\frac{1}{2} </math>.
: <math> \sqrt{121} = 11 </math>
: <math> \sqrt{9} = 3 </math>

Число <math> -\sqrt{x} </math> теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли <math> x </math>&nbsp;— будь-який [[алгебраїчний вираз]], символом <math> \sqrt{x} </math> позначається один із коренів, той для якого [[дійсна частина комплексного числа|дійсна частина]] додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно [[Знаки плюс і мінус|знак плюс та мінус]]<ref>Г. Корн, Т. Корн «Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ.&nbsp;— М.: Издательский дом „Додэка- XXI“,2008.&nbsp;— 544 с.»{{ref-ru}}</ref>.

== Квадратний корінь як елементарна функція ==
[[Файл:Square root 0 25.svg|thumb|400px|[[Графік функції]] {{math|''y'' {{=}} {{radical|''x''}}}}]]
Квадратний корінь є [[Елементарні функції|елементарною функцією]] і є окремим випадком [[степенева функція|степеневої функції]] {{math|''x''<sup>''α''</sup>}} з {{math|''α'' {{=}} 1/2}}. Арифметичний квадратний корінь є [[гладка функція|гладким]] при {{math|''x'' > 0}}, в нулі ж він [[Неперервна функція|неперервний]] справа, але не [[диференційовна функція|диференційовний]].{{sfn|Фихтенгольц|1962|loc=гл.&nbsp;2, §&nbsp;1}}

Як [[Комплексна функція|функція комплексної змінної]] корінь&nbsp;— двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

У [[геометрія|геометричному]] сенсі, функція ''f''(''x'') = {{sqrt|''x''}} квадратного кореня співвідносить [[Площа (математика)|площу]] квадрата до довжини його сторони.

Для всіх дійсних чисел ''x''

:<math>
\sqrt{x^2} = \left|x\right| = 
\begin{cases} 
  x,  & \mbox{if }x \ge 0 \\
  -x, & \mbox{if }x < 0. 
\end{cases}
</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(див. [[Модуль (математика)|абсолютне значення]])

Для всіх не [[Від'ємне число|від'ємних]] дійсних чисел ''x'' і ''y'',

:<math>\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y</math>

і

:<math>\sqrt x = x^{1/2}.</math>

Функція квадратного кореня є [[Неперервна функція|неперервною]] для всіх не від'ємних значень ''x'' і [[Похідна|диференційована]] для всіх додатних ''x''. Якщо ''f'' позначає функцію квадратного кореня, тоді її похідна буде мати такий вигляд:
:<math>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.</math>

[[Ряд Тейлора]] для {{sqrt|1 + ''x''}} при ''x'' = 0 буде збіжним для <math> \left|x\right| </math> ≤ 1 і буде визначений так:

:<math>\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,</math>

Квадратний корінь невід'ємного числа використовується для визначення [[Норма (математика)|Евклідової норми]] (і [[Віддаль між двома точками|відстані]]), а також у таких узагальненнях як [[Гільбертів простір]]. Вона визначає важливе поняття [[стандартне відхилення|стандартного відхилення]], що використовується в [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] і [[Статистика|статистиці]].

== Узагальнення ==
Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь вигляду <math>x \circ x = a</math> і для інших об'єктів: [[Матриця (математика)|матриць]]<ref>{{Гантмахер.Теорія матриць}}</ref><ref>{{книга|автор=Воеводин&nbsp;В., Воеводин&nbsp;В. |заголовок=Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ |посилання= |відповідальний= |місце=Спб |видавництво=БХВ-Петербург |рік=2006 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=}}{{ref-ru}}</ref>, [[Функція (математика)|функцій]]<ref>{{книга|автор=Ершов&nbsp;Л.&nbsp;В., Райхмист&nbsp;Р.&nbsp;Б. |заголовок=Построение графиков функций |посилання= |відповідальний= |місце=Москва |видавництво=Просвещение |рік=1984 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=}}{{ref-ru}}</ref><ref>{{книга|автор=Каплан&nbsp;И.&nbsp;А. |заголовок=Практические занятия по высшей математике |посилання= |відповідальний= |місце=Харьков |видавництво=Изд-во ХГУ |рік=1966 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=}}{{ref-ru}}</ref>, [[оператор (математика)|операторів]]<ref>{{книга|автор=Хатсон&nbsp;В., Пим&nbsp;Дж. |заголовок=Приложения функционального анализа и теории операторов |посилання= |відповідальний= |місце=Москва |видавництво=Мир |рік=1983 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=}}{{ref-ru}}</ref><ref>{{книга|автор=[[Пол Річард Халмош|Халмош&nbsp;П.]] |заголовок=Гильбертово пространство в задачах |посилання= |відповідальний= |місце=Москва |видавництво=Мир |рік=1970 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=}}{{ref-ru}}</ref> тощо. Операцією <math>\circ</math> при цьому можуть бути достатньо довільні [[Мультиплікативна функція|мультиплікативні]] операції, наприклад, [[Композиція функцій|суперпозиція]].

В [[алгебра|алгебрі]] використовується таке формальне визначення: нехай <math>(G,\cdot)</math> — [[Магма (алгебра)|групоїд]] і <math>a\in G</math>. Елемент <math>x\in G</math> називається квадратним коренем з <math>\ a</math> якщо <math>\ x \cdot x=a</math>.

== Квадратний корінь в елементарній геометрії ==
Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною [[геометрія|геометрією]]: якщо дано відрізок довжиною 1, то [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|з допомогою циркуля та лінійки]] можна побудувати ті й тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять [[цілі числа]], знаки чотирьох дій [[арифметика|арифметики]], квадратні корені та нічого крім цього.{{sfn|Курант|2000|loc=Глава III Геометрические построения. Алгебра числовых полей}}

== Квадратний корінь в інформатиці ==
У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу [[LaTeX|{{LaTeX}}]]) функція квадратного кореня позначається як '''sqrt''' (від {{lang-en|square root}} «квадратний корінь»).

== Алгоритми знаходження квадратного кореня ==
Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається ''добуванням'' (квадратного) кореня.

=== Розклад у [[ряд Тейлора]] ===
: <math>\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\!</math> при <math>|x| \leqslant 1</math>.

=== Груба оцінка ===
Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа {{mvar|S}} потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються.
Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо {{math|''S'' ≥ 1}}, нехай {{mvar|D}} буде кількістю цифр {{mvar|S}} зліва від десяткової коми. Якщо {{math|''S'' < 1}}, нехай {{mvar|D}} буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:
: Якщо {{mvar|D}} непарне, {{math|1=''D'' = 2''n'' + 1}}, тоді використовуємо <math> \sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.</math>
: Якщо {{mvar|D}} парне, {{math|1=''D'' = 2''n'' + 2}}, тоді використовуємо <math> \sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.</math>

Два і шість використовуються тому, що <math>\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \,</math> і <math>\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.</math>

При роботі в [[Двійкова система числення|двійковій]] (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку <math>2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}</math> (тут {{mvar|D}}&nbsp;— кількість двійкових цифр).

=== Геометричне добування квадратного кореня ===
[[Файл:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG|200px]]

<math>|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}</math>

Зокрема, якщо <math>\! |AH| = 1</math>, а <math>\! |HC| = x</math>, то <math>|BH|=\sqrt{x}</math>{{sfn|Курант|2000|с=148}}

=== Ітераційний аналітичний алгоритм ===
{{main|Ітераційна формула Герона}}

<math> \begin{cases} x_0 = a \\ x_{n+1} = \dfrac12 \left(x_n + \dfrac{a}{x_n} \right) \end{cases} </math>

тоді <math> \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} </math>.

==Квадратні корені від'ємних і комплексних чисел==
{{multiple image |align=left |direction=horizontal 
 |image1=Complex sqrt leaf1.jpg |caption1=Перший виток комплексного квадратного кореня
 |image2=Complex sqrt leaf2.jpg |caption2=Другий виток комплексного квадратного кореня
 |image3=Riemann surface sqrt.svg |caption3=[[Ріманова поверхня]] квадратного кореня, показує як ці два витки виглядають разом
}}
{{clear}}
Квадрат будь-якого додатного або від'ємного числа буде додатнім, а квадрат 0 це 0. Тому, від'ємне число не може мати квадратного кореня у вигляді [[дійсні числа|дійсного числа]]. Однак, існує можливість представити його і вести розрахунки у вигляді спеціальних чисел, що називаються [[Комплексне число|комплексними числами]], коли не немає розв'язку для квадратного кореня від'ємних чисел. Для цього вводиться поняття нового числа, що позначається як ''i'' (іноді як ''j'', особливо в контексті розрахунку [[Електричний струм|електричного струму]] де літера "''i''" традиційно позначає електричний струм) і називається [[Уявна одиниця|уявною одиницею]], що ''визначена'' таким чином, що {{nowrap|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}. Використовуючи цю нотацію, ми будемо вважати що ''i'' це результат квадратного кореня від −1, але зауважимо, що ми також можемо мати ситуацію, що {{nowrap|1=(−''i'')<sup>2</sup> = ''i''<sup>2</sup> = −1}} тому −''i'' також є квадратним коренем від −1. Загальноприйнято, що головним квадратним коренем від −1 є ''i'', або в більш загальному випадку, якщо ''x'' є будь-яке невід'ємне число, тоді головним квадратним коренем числа −''x'' є

:<math>\sqrt{-x} = i \sqrt x.</math>

Права частина і насправді є квадратним коренем із −''x'', оскільки

:<math>(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.</math>

Для будь-якого не нульового комплексного числа ''z'' існує рівно два числа ''w'', таких що {{nowrap|1=''w''<sup>2</sup> = ''z''}}: головний (додатний) квадратний корінь ''z'', і його від'ємний варіант.

===Квадратний корінь уявного числа===
[[Image:Imaginary2Root.svg|right|thumb|Квадратні корені числа '''''i''''' в комплексній площині]]
Квадратний корінь числа {{mvar|i}} буде таким
:<math>\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).</math>

Цей можна отримати алгебраїчним шляхом знайшовши дійсні числа ''a'' і ''b'', такі що

:<math>i = (a+bi)^2</math>

або еквівалентно

:<math>i = a^2 + 2abi - b^2.</math>

Це приводить до появи [[Система рівнянь|системи двох рівнянь]]

:<math>\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}</math>

що мають такий розв'язок:

:<math>a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.</math>

Якщо вибрати з них головний (додатній) корінь, отримаємо

:<math>a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}.</math>

Результат також можна отримати, якщо використати [[Формула Муавра|формулу Муавра]] і задати

:<math>i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right ),</math>

що приводить до

:<math>\begin{align}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\
              & = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) . \\
\end{align}
</math>

== Див. також ==
* [[Квадратний корінь з двох]]
* [[День квадратного кореня]]
* [[Вкладені радикали]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [http://www.azillionmonkeys.com/qed/sqroot.html Алгоритми обчислення квадратного кореня] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101119150805/http://azillionmonkeys.com/qed/sqroot.html |date=19 Листопада 2010}}{{ref-en}}
* [http://mathcentral.uregina.ca/RR/database/RR.09.95/grzesina1.html A geometric view of the square root algorithm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160123184353/http://mathcentral.uregina.ca/RR/database/RR.09.95/grzesina1.html |date=23 Січня 2016 }}{{ref-en}}
* [http://kvant.mccme.ru/1987/03/staryj_algoritm.htm Соловьев Ю., Старый алгоритм] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303225836/http://kvant.mccme.ru/1987/03/staryj_algoritm.htm |date=3 Березня 2016}}{{ref-ru}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{книга|автор=Курант&nbsp;Р., Роббинс&nbsp;Г. |заголовок=Что такое математика? |посилання= |відповідальний= |місце= |видавництво=МЦНМО |рік=2000 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=|ref=Курант}}{{ref-ru}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Елементарні функції]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Унарні операції]]