Перегляд вихідного коду сторінки Квадратна антипризма

{{Поліедр
| name          = Однорідна квадратна антипризма
| image         = Square antiprism.png
| caption       = Квадратна антипризма
| type          =[[Призматичний однорідний многогранник]]
| faces         = 8 [[трикутник]]ів<br/>2 [[квадрат]]и
| edges         = 16
| vertices      = 8
| cell          = 
| vertex_config = 3.3.3.4
| schläfli      = s{2,8}<BR/>sr{2,4}
| wythoff       = &#124; 2 2 4
| coxeter       = {{CDD|node_h|2x|node_h|8|node}}<BR/>{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node_h}}
| symmetry      = D<sub>4</sub>, [4,2]<sup>+</sup>, (442), порядок=8
| surface_area  =
| volume        =
| angle         =
| dual          = {{нп|тетрагональний трапецоедр|||Tetragonal trapezohedron}}
|  properties   = Опуклий, рівносторонній
| net           = Square Antiprism net.svg
| euler         = <math>\Gamma-P+B=2</math>
| vertex_figure = Square antiprism vertfig.png
}}
'''Квадра́тна антипри́зма''' (''антикуб''{{Sfn|Holleman-Wiberg|2001|с=299}})&nbsp;— [[призматоїд]], у якого дві паралельні грані (основи)&nbsp;— рівні між собою [[квадрат]]и, а решта 8 граней (бічні грані)&nbsp;— [[Правильний трикутник|правильні трикутники]].

Також, '''квадра́тна антипри́зма'''&nbsp;— чотирикутна рівностороння антипризма. Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Цей многогранник є [[Напівправильний многогранник|напівправильним многогранником]] або [[Однорідний многогранник|однорідним многогранником]].

А також є другим многогранником у нескінченному ряду однорідних [[Антипризма|антипризм]].

Якщо вісім точок розмістити на [[Сфера|сфері]] з метою максимізації відстаней між ними в певному сенсі{{Уточнити}}, фігура, що вийшла, відповідає швидше квадратній антипризмі, ніж [[куб]]у. Специфічні методи розподілу точок включають, наприклад, {{нп|Задача Томсона|задачу Томсона||Thomson problem}} (мінімізація суми величин, обернених до відстаней між точками), максимізацію відстаней від точки до найближчої або мінімізацію суми всіх обернених квадратів відстаней між точками.

== Формули ==
Квадратна антипризма має 12 [[Діагональ|діагоналей]]: 4 граневих та 8 просторових.

Якщо квадратна антипризма має ребро довжиною <math>a</math>, то довжина граневої діагоналі дорівнює <math>\sqrt{2}\ \cdot a\approx1,4142\cdot a</math>;

довжина просторової діагоналі дорівнює <math>\sqrt{\sqrt{2}+1}\ \cdot a\approx1,5538\cdot a</math>.

Радіус описаної сфери:

<math>R = {\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{4+\csc^2({\frac{\pi}{8}})} \cdot a ={\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{2\cdot(4+\sqrt{2})} \cdot a 
\approx0.822664388 \cdot a</math>

Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]] (дотична до ребер многогранника):

<math>\rho = {\frac{1}{4}} \cdot \csc({\frac{\pi}{8}}) \cdot a ={\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{2\cdot(2+\sqrt{2})} \cdot a 
\approx0.653281482 \cdot a</math>

Об'єм правильної квадратної антипризми з довжиною ребра <math>a</math> обчислюють за такою формулою:

<math>V = \frac{4 \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{8}-1}\sin \frac{3\pi}{8} }{12\sin^2\frac{\pi}{4}} \cdot a^3 = 
\frac {1}{3} \sqrt{4+3\sqrt{2}} \cdot a^3
 \approx 0.956999981 \cdot a^3</math> ,

а [[площа поверхні]] :

: <math>S = \frac{1}{2} \cdot 4\left(\mathrm{ctg}{\frac{\pi}{4}} + \sqrt{3}\right) a^2 = 2\cdot(1+\sqrt{3})\cdot a^2 \approx5.464101615\cdot a^2</math>

(Також площу поверхні можна обчислити з урахуванням того, що розгортка складається з двох квадратів і восьми рівносторонніх трикутників).

Висота (відстань між паралельними чотирикутними гранями):

<math>H = \sqrt{1- \frac{1}{4} \sec^2({\frac{\pi}{8}})} \cdot a ={\frac{1}{\sqrt[4]{2}}}  \cdot a 
\approx0.840896415 \cdot a</math>
{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" style="background:#B0E0E6" | <big>Кути многогранника</big>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#D3D3D3" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {3}'''
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{1}{3} \cdot\left ( 2\sqrt{2}-1 \right ) \right ) </math>
|'''≈''' '''2.2261954369 rad'''
'''≈''' '''127° 33′ 5.7704608497′′'''
|-
|class ="hintergrundfarbe5" style="background:#D3D3D3" |'''Двогранний кут між гранями {3} та {4}'''
|<math> \beta= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \right ) </math><math>  =\frac{\pi}{2} + \arctan \left (\frac{1}{2} \sqrt{3\sqrt{2}-4} \right ) </math>
|'''≈''' '''1.8122828829922 rad'''
'''≈''' '''103° 50′ 10.177725323′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#D3D3D3" |'''[[Тілесний кут]] при вершині'''
|
|<math> \Omega \thickapprox 1.79377133260975 </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
|class="hintergrundfarbe5" style="background:#D3D3D3" |'''Тілесний кут, під яким квадратну грань'''
'''видно з центру'''
'''протилежної квадратної грані'''
|<math> \Omega_1 = 2 \pi - 8\cdot \arcsin \left(\sqrt{\frac{4 -\sqrt{2}}{7}}\right)</math><math>  = 2 \pi - 8\cdot \arctan \left(\sqrt{2 -\sqrt{2}}\right)</math>
|<math> \Omega_1 \thickapprox 1.0570766603098 </math> '''ср'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#D3D3D3" | [[Сферичність]]
|<math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {4 \pi \left(4 + 3 \sqrt{2}\right)}} {2 \left(1 + \sqrt{3}\right)} </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.8594883 </math>
|}

== Молекули з квадратною антипризматичною геометрією ==
[[Файл:Square-antiprismatic-3D-balls.png|ліворуч|міні|160x160пкс| Квадратна антипризматична молекулярна геометрія]]
Відповідно до [[Теорія відштовхування електронних пар валентних оболонок (ВЕПВО)|теорії ВЕПВО]] [[Молекулярна геометрія|молекулярної геометрії]] в хімії, яка ґрунтується на принципі максимізації відстаней між точками, квадратна антипризма є найкращою геометрією, якщо вісім пар електронів оточують центральний атом. Одна з молекул з такою геометрією&nbsp;— [[Іон|йон]] октафтороксенату (VI) (XeF<sub>8</sub><sup>2−</sup>) у солі {{Не перекладено|Октафтороксенат(VI) нітрозилу|октафтороксенату(VI) нітрозилу|en|nitrosonium octafluoroxenate(VI)}}. Однак ця молекула далека від ідеальної квадратної антипризми{{Sfn|Peterson, Holloway, Coyle, Williams|1971|с=1238–1239}}. Дуже мало йонів мають кубічну форму, оскільки така форма призвела б до сильного відштовхування [[Ліганд (хімія)|лігандів]]. PaF<sub>8</sub><sup>3−</sup> є одним із небагатьох прикладів{{Sfn|Norman & Earnshaw|1997|с=1275}}.

Крім того, найстійкішою [[Алотропія|алотропною формою]] [[Сірка|сірки]] є восьмиатомні молекули S<sub>8</sub>. Молекула S<sub>8</sub> має структуру на основі квадратної антипризми. У цій молекулі атоми займають вісім вершин антипризми, а вісім ребер між трикутниками відповідають [[Ковалентний зв'язок|ковалентному зв'язку]] між атомами сірки.

== Узагальнення ==
[[Файл:Чотирикутна антипризма.png|праворуч|міні|206x206px|Чотирикутна антипризма]]
Чотирикутна антипризма&nbsp;— [[призматоїд]], у якого дві паралельні грані (основи)&nbsp;— рівні між собою 4-кутники, а решта 8 граней (бокові грані)&nbsp;— різносторонні трикутники.

[[Файл:Квадратна антипризма.png|ліворуч|міні|191x191px|'''Квадратна неоднорідна антипризма''']]
Квадратна антипризма (неоднорідна)&nbsp;— чотирикутна антипризма, основами якої є рівні між собою квадрати, а бокові грані&nbsp;— рівнобедрені трикутники.

Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Якщо цей кут має інше значення, многогранник правильніше називати квадратною скрученою призмою (square gyroprism<ref>{{Cite web|title=Square gyroprism|url=https://polytope.miraheze.org/wiki/Square_gyroprism|website=Polytope Wiki|date=2022-12-27|accessdate=2023-06-27|language=en}}</ref>). В цьому випадку бокові грані&nbsp;— рівні між собою різносторонні трикутники.

{{-}}

== Топологічно еквівалентні многогранники ==
[[Файл:Twisted_square_antiprism.png|праворуч|міні|240x240пкс]]
[[Призма (математика)|Скручена призма]] (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин. Цей многогранник можна розглядати як форму, зібрану з 4 [[Чотиригранник|тетраедрів]] з вирізаними частинами. Однак після вирізання тіло не можна розбити на тетраедри без додавання нових вершин. Тіло має половину [[Список груп сферичної симетрії|симетрій]] однорідного тіла: D<sub>n</sub>, [4,2]<sup>+</sup>{{Sfn|Gorini|2003|с=172}}<ref>{{Cite web|url=http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=twisted-prisms|title=Рисунки скрученных призм и антипризм|accessdate=2017-01-31|archivedate=2016-12-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161212124148/http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=twisted-prisms|deadurl=no}}</ref>.

== Пов'язані многогранники ==

=== Похідні многогранники ===
[[Скручена подовжена чотирикутна піраміда]]&nbsp;— [[правильногранний многогранник]] (''J''<sub>10</sub> = [[Правильногранний многогранник|М<sub>2</sub>+А<sub>4</sub>]]), отриманий подовженням [[Квадратна піраміда|квадратної піраміди]]. Так само, [[скручена подовжена чотирикутна біпіраміда]] (''J''<sub>17</sub> = [[Правильногранний многогранник|М<sub>2</sub>+А<sub>4</sub>+М<sub>2</sub>]]) є [[Дельтаедри|дельтаедром]] ([[многогранник]]ом, [[Многогранник|грані]] якого&nbsp;— [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]), побудованим заміною обох квадратів квадратної антипризми квадратними пірамідами.

{{нп|Кирпатий двоклиноїд|||Snub disphenoid}} (''J''<sub>84</sub> = [[Правильногранний многогранник|М<sub>25</sub>]])&nbsp;— інший дельтаедром, який отримують заміною двох квадратів квадратної антипризми парами рівносторонніх трикутників. {{нп|Кирпата квадратна антипризма|Кирпату квадратну антипризму||Snub square antiprism}} (''J<sub>85</sub>'' = [[Правильногранний многогранник|М<sub>28</sub>]]) можна розглядати як квадратну антипризму, отриману вставленням ланцюжка рівносторонніх трикутників. {{нп|Клинокорона|||Sphenocorona}} (''J''<sub>86</sub> = [[Правильногранний многогранник|М<sub>21</sub>]]) і {{нп|велика клинокорона|||Sphenomegacorona}} (''J''<sub>88</sub> = [[Правильногранний многогранник|М<sub>23</sub>]])&nbsp;— інші правильногранні многогранники, які, подібно до решти квадратних антипризм, складаються з двох квадратів і парного числа рівносторонніх трикутників.

Квадратну антипризму можна зрізати та альтернувати для утворення {{нп|Кирпата квадратна антипризма|кирпатих антипризм||Snub square antiprism}}:
{| class="wikitable"
|+Кирпаті антипризми
! Антипризма
! [[Зрізання (геометрія)|Зрізання]]<br/>t
! {{Не перекладено|Альтернування (геометрія)|Альтернування|en|Alternation (geometry)}}<br/>ht
|- align="center"
|[[Файл:Square_antiprism.png|120x120пкс]]<br/>s{2,8}<br/>{{ДКД|node_h|2x|node_h|8|node}}
|[[Файл:Truncated_square_antiprism.png|120x120пкс]]<br/>ts {2,8}
|[[Файл:Snub_square_antiprism_colored.png|120x120пкс]]<br/>ss {2,8}
|}

=== Аналогічні многогранники ===
Як [[антипризма]], квадратна антипризма належить до родини многогранників, до яких входять [[октаедр]] (який можна розглядати як трикутну антипризму), [[п'ятикутна антипризма]], [[шестикутна антипризма]] та [[восьмикутна антипризма]].
{{Однорідні антипризми}}

''Квадратна антипризма'' є першою в ряду кирпатих многогранників та мозаїк із [[Вершинна фігура|вершинною фігурою]] 3.3.4.3.''n''.
{{Таблиця кирпатих мозаїк-4}}

== В архітектурі ==
[[Файл:OneWorldTradeCenter.jpg|ліворуч|міні|226x226пкс| [[Всесвітній торговий центр 1]]]]
Головна будівля в комплексі [[Всесвітній торговий центр 1|Всесвітнього торгового центру]] (на місці старого [[Всесвітній торговий центр|Всесвітнього торгового центру]], зруйнованого [[Терористичний акт 11 вересня 2001 року|11 вересня 2001]]) має форму дуже високої квадратної антипризми, що звужується до верху. Будівля не є справжньою антипризмою, оскільки вона звужується до верху&nbsp;— верхній квадрат має вдвічі меншу площу, ніж основа.

{{-}}

== Див. також ==
* [[Призматичний однорідний многогранник]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|відповідальний = A.F. Holleman, Nils Wiberg, Egon Wiberg
|рік = 2001
|заголовок = Inorganic Chemistry
|видавництво = Academic Press
|ref = Holleman-Wiberg
|ISBN = 0-12-352651-5
}}
* {{Стаття|title=Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI)|том=173|видання=Science|issue=4003|issn=0036-8075|doi=10.1126/science.173.4003.1238|pmid=17775218|author=W. Peterson, A. Holloway, H. Coyle, M. Williams|ref=Peterson, Holloway, Coyle, Williams|date=1971|bibcode=1971Sci...173.1238P}}
* {{Книга
|заголовок = The Facts on File Geometry Handbook
|автор = Catherine A. Gorini
|рік = 2003
|ISBN = 0-8160-4875-4
|видавництво = Facts On File, Inc
|місце = New York
|ref = Gorini
}}
* {{Книга
|автор = Norman N. Greenwood, Alan Earnshaw
|рік = 1997
|заголовок = Chemistry of the Elements (2nd ed.)
|видавництво = Butterworth-Heinemann
|ISBN = 0-08-037941-9
|ref = Norman & Earnshaw
}}
{{Refend}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=Antiprism|title=Antiprism}}
* [https://web.archive.org/web/20070711044031/http://polyhedra.org/poly/show/27/square_antiprism Square Antiprism] Интерактивная модель
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
** [[VRML]] [https://web.archive.org/web/20061017014204/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/square_antiprism.wrl model]
** [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine Try: «A4»
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Призматоїди]]