Перегляд вихідного коду сторінки Квадратична ірраціональність

'''Квадрати́чна ірраціона́льність'''&nbsp;— [[Ірраціональні числа|ірраціональне число]], яке є [[Дійсне число|дійсним]] [[Рівняння|коренем]] деякого [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]] <math>ax^2+bx+c=0</math> з [[Раціональне число|раціональними]] коефіцієнтами <math>a,b,c</math> (або, що те саме, дійсним [[Корінь многочлена|коренем многочлена]] 2-го степеня з раціональними коефіцієнтами<ref name="ME">{{Книга
|частина = Квадратичная иррациональность
|заголовок = Математическая энциклопедия (в 5 томах)
|місце = М.
|том = 2
|сторінки = 776
|рік = 1979
|видавництво = [[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]]
}}</ref> <math>ax^2+bx+c</math>). У частині джерел під квадратичними ірраціональностями розуміють у загальному випадку ''комплексні'' корені зазначених рівнянь.

Ірраціональність числа <math>x</math> означає, що його не можна подати у вигляді раціонального числа (дробу). З цього випливає, що многочлен <math>ax^2+bx+c=0</math> [[Незвідний многочлен|незвідний]] до [[Поле (алгебра)|поля]] раціональних чисел <math>\mathbb{Q},</math> тобто не розпадається в цьому полі на множники першого степеня<ref name="ME"/>.

== Алгебричні властивості ==
Розв'язок квадратного рівняння <math>ax^2+bx+c=0</math> дає формула: де <math>D=b^2-4ac</math> (''дискримінант'' рівняння). Дійсність кореня означає, що <math>D \geqslant 0.</math> Отже, будь-яка квадратична ірраціональність має вигляд:

: <math>x=u + v\sqrt{D},</math>

де <math>u, v, D</math>&nbsp;— раціональні числа, причому <math>v \ne 0</math>, а підкореневий вираз <math>D</math> невід'ємний і не є [[Квадратне число|повним квадратом]] раціонального числа<ref>{{Книга
|автор = Галочкин А. И.
|частина = Квадратичная иррациональность
|заголовок = Математическая энциклопедия (в 5 томах)
|місце = {{М.}}
|том = 2
|рік = 1979
|видавництво = [[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]]
|сторінки = 776
}}</ref>.

Приклад: <math>11 - \sqrt{2};\quad \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>.

З визначення випливає, що квадратичні ірраціональності є [[Алгебраїчні числа|алгебричними числами]] другого степеня. Відзначимо, що [[обернений елемент]] для <math>x=u + v\sqrt{D}</math> також є квадратичною ірраціональністю:

: <math>{1 \over u+v\sqrt{D}} = {u - v\sqrt{D} \over u^2-v^2D}. </math>

Число <math>x'=u - v\sqrt{D}</math> називають '''спряженим''' для <math>x=u + v\sqrt{D}.</math> Виконуються формули:

: <math>(x+y)' = x'+y'; \quad (xy)' = x'y';\quad \left(\frac 1x \right)' = \frac {1}{x'}.</math>

== Канонічний формат ==
Без обмеження загальності можна спростити рівняння <math>ax^2+bx+c=0</math> наступним чином.

# Коефіцієнти розглянутого рівняння 2-го степеня можна зробити [[Цілі числа|цілими числами]], оскільки від знаменників дробів легко позбутися, помноживши обидві частини рівняння на [[найменше спільне кратне]] всіх знаменників. Дискримінант <math>D</math> тоді теж стає цілим числом.
# Якщо старший коефіцієнт <math>a<0,</math> то помножимо рівняння на <math>-1</math>.
# Нарешті, поділимо отримане рівняння <math>ax^2+bx+c=0</math> на [[найбільший спільний дільник]] НСД<math>(a,b,c)</math>.

У підсумку отримаємо рівняння <math>ax^2+bx+c=0</math> з цілочисельними [[Взаємно прості числа|взаємно простими]] коефіцієнтами, причому старший коефіцієнт додатний{{Sfn|Нестеренко Ю. В.|2008|с=207}}. Це рівняння однозначно пов'язане з парою своїх коренів, і [[множина]] таких рівнянь [[Зліченна множина|зліченна]]. Тому множина квадратичних ірраціональностей також зліченна.

Часто зручно у виразі кореня <math>x=u + v\sqrt{D}</math> виконати ще одну модифікацію: якщо в [[Основна теорема арифметики|канонічний розклад]] <math>D</math> входять будь-які квадрати, винесемо їх за знак кореня, так що значення <math>D</math> буде [[Вільне від квадратів число|вільним від квадратів]].

== Квадратичні поля ==
Сума, різниця і добуток квадратичних ірраціональностей з одним і тим самим дискримінантом <math>D</math> або мають той самий формат, або є раціональними числами, тому разом вони утворюють [[Поле (алгебра)|поле]], яке є [[Нормальне розширення|нормальним]] [[Розширення поля|розширенням]] другого степеня поля раціональних чисел {{Math|ℚ}}. Це поле позначають <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> і називають [[Квадратичне поле|квадратичним полем]]. Будь-яке таке розширення <math>\mathbb{Q}</math> можна отримати описаним способом. [[Група Галуа]] розширення, крім тотожного [[автоморфізм]]у, містить відображення ірраціонального числа в спряжене йому (в зазначеному вище сенсі)<ref name="Ire">{{Книга
|заголовок = Классическое введение в современную теорию чисел
|автор = Айерленд К., Роузен М.
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1987
|сторінок = 428
|сторінки = 230—232
}}</ref>.

Припустимо, що, як описано вище, <math>D</math>&nbsp;— [[Вільне від квадратів число|вільне від квадратів]] ціле число. Тоді для різних значень <math>D</math> виходять різні квадратичні поля{{Sfn|Бухштаб А. А.|2015|с=149—150}}.

Для квадратичного поля можна побудувати його [[Алгебраїчне числове поле|кільце цілих]], тобто множину коренів [[Нормований многочлен|зведених многочленів]] з цілими коефіцієнтами, у яких старший коефіцієнт дорівнює 1. Вільне від квадратів <math>D</math> не може ділитися на 4, тому можливі два випадки<ref name="Ire"/>, залежно від того, яку остачу дає <math>D</math> при діленні на 4.

# Якщо <math>D</math> має вигляд <math>4k+1,</math> то [[Ціле розширення кільця|цілі елементи]]&nbsp;— це числа вигляду <math>m+n\cdot\tfrac{1 + \sqrt{D}}{2}</math>, де <math>m,n</math>&nbsp;— натуральне число.
# Якщо <math>D</math> має вигляд <math>4k+2</math> або <math>4k+3,</math> то цілі елементи&nbsp;— це числа вигляду <math>m+n\sqrt D</math>, де <math>m,n</math>&nbsp;— натуральне число.

== Зв'язок з неперервними дробами ==
Дійсні квадратичні ірраціональності пов'язані з [[Ланцюговий дріб|неперервними дробами]] '''теоремою Лагранжа''' (іноді званою '''теоремою Ейлера&nbsp;— Лагранжа'''){{Sfn|Нестеренко Ю. В.|2008|с=208—209}}:
{{Рамка}}
Дійсне число є квадратичною ірраціональністю [[тоді й лише тоді]], коли воно розкладається в нескінченний періодичний неперервний дріб.
|}
Приклад: Неперервний дріб, період якого починається з першої ж ланки, називають ''чисто періодичним''. [[Еварист Галуа]] 1828 року довів: неперервний дріб для квадратичної ірраціональності <math>x</math> буде чисто періодичним тоді й лише тоді, коли <math>x>1</math>, а спряжена ірраціональність <math>x'</math> лежить в інтервалі <math>(-1; 0)</math>. Він довів також, що в разі чисто періодичного розкладу спряжена квадратична ірраціональність має ті ж ланки, але розташовані в зворотному порядку<ref>{{Книга
|автор = Дэвенпорт Г.
|заголовок = Высшая арифметика
|посилання = https://archive.org/details/libgen_00031613
|місце = М.
|видавництво = Наука
|рік = 1965
|сторінки = [https://archive.org/details/libgen_00031613/page/n99 100]
}}</ref>.

== Узагальнення ==
Квадратична ірраціональність є окремим випадком «ірраціональності <math>n</math>-го степеня», яка є коренем [[Незвідний многочлен|незвідного]] в полі <math>\mathbb{Q}</math> многочлена <math>n</math>-го степеня з цілими коефіцієнтами. Раціональні числа виходять при <math>n=1,</math> а квадратичні ірраціональності відповідають випадку <math>n=2.</math>

Деякі джерела відносять до квадратичних ірраціональностей також і комплексні корені квадратних рівнянь (наприклад, [[Гауссові числа|гауссові цілі числа]] або [[Ціле число Ейзенштейна|числа Ейзенштейна]]).

[[Вороний Георгій Феодосійович|Г.&nbsp;Ф.&nbsp;Вороний]] у роботі «Про цілі алгебричні числа, що залежать від кореня рівняння 3-го степеня» (1894) поширив теорію (включно з неперервними дробами) на випадок кубічних ірраціональностей.

== Історія ==
[[Феодор Кіренський]] і його учень {{Нп|Тетет Афінський|3=ru|4=Теэтет Афинский}} ([[IV століття до н. е.|IV&nbsp;ст.]] [[IV століття до н. е.|до н.&nbsp;е.]]) першими довели, що якщо число <math>N</math> не є [[Квадратне число|повним квадратом]], то <math>\sqrt{N}</math> не є раціональним числом, тобто його не можна точно виразити у вигляді дробу. Це доведення спиралося на «<nowiki/>[[Лема Евкліда|лему Евкліда]]<nowiki/>». [[Евклід]] присвятив цим питанням десяту книгу своїх «<nowiki/>[[Начала Евкліда|Начал]]<nowiki/>»; він, як і сучасні джерела, використовував [[Основна теорема арифметики|основну теорему арифметики]].

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = [[Бухштаб Олександр Адольфович|Бухштаб А. А.]]
|ref = Бухштаб А. А.
|видання = 4-е изд
|частина = Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби
|місце = {{М.}}
|видавництво = Лань
|рік = 2015
|сторінок = 384
|ISBN = 978-5-8114-0847-4
|назва = Теория чисел
}} {{ref-ru}}
* {{Книга
|автор = Нестеренко Ю. В.
|ISBN = 978-5-7695-4646-4
|ref = Нестеренко Ю. В.
|заголовок = Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений
|місце = М.
|видавництво = Издательский центр "Академия"
|рік = 2008
|сторінок = 272
}} {{ref-ru}}
* {{Книга
|автор = [[Хінчин Олександр Якович|Хинчин А. Я.]]
|ref = Хинчин А. Я.
|місце = {{М.}}
|видавництво = ГИФМЛ
|рік = 1960
|посилання = http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm
|назва = Цепные дроби
|archivedate = 2 Листопада 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20211102145127/http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm
}} {{ref-ru}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=QuadraticSurd|title=Квадратична ірраціональність}}
* [http://www.numbertheory.org/php/surd.html Continued fraction calculator for quadratic irrationals] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200218053554/http://www.numbertheory.org/php/surd.html |date=18 Лютого 2020 }} {{Ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20050324110521/http://planetmath.org/encyclopedia/EIsIrrational.html Proof that e is not a quadratic irrational] {{Ref-en}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Неперервні дроби]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Ірраціональні числа]]
[[Категорія:Алгебричні числа]]