Перегляд вихідного коду сторінки Квадратична формула

{{Не плутати|Квадратична функція}}
{{Не плутати|Квадратне рівняння}}
[[Файл:Roots of a quadratic function via the quadratic formula.png|alt=Графік параболоподібної функції, яка перетинає вісь x у точках x = 1 та x = 5|thumb|Коріння квадратичної функції {{math|1=''y'' = {{sfrac|1|2}}''x''<sup>2</sup> − 3''x'' + {{sfrac|5|2}}}}&nbsp;— це місця, де граф перетинає вісь {{mvar|x}}, значення {{math|1=''x'' = 1}} та {{math|1=''x'' = 5}}. Їх можна знайти за допомогою квадратичної формули.]]

В [[Елементарна алгебра|елементарній алгебрі]], '''квадратична формула''' (англ. ''Quadratic formula'')&nbsp;— це [[вираз замкненої форми]], що описує розв'язки задачі [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]]. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як [[виділення квадрату]], дають однакові рішення.

Дано загальне квадратне рівняння виду {{tmath|1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0}}, де {{tmath|x}} представляє невідоме, а коефіцієнти {{tmath|a}}, {{tmath|b}} і {{tmath|c}} представляють відомі [[Дійсне число|дійсні]] або [[Комплексне число|комплексні]] числа при {{tmath|a \neq 0}}. Значення {{tmath|x}}, яке називається [[Нуль функції|''коренем'']] або ''нулем'', можна знайти використовуючи квадратичну формулу,

<math>
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
</math>

де [[Знак плюс-мінус|символ плюс-мінус]] «{{tmath|\pm}}» вказує на те, що рівняння має два корені.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies | year=2010 | publisher=Wiley Publishing | isbn=978-0-470-55964-2 | url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219 | page=219}}</ref> Ось вони, окремо написані:

<math>
x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad
x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}.
</math>

Частина {{tmath|1=\textstyle \Delta = b^2 - 4ac}} відома як [[дискримінант]] квадратного рівняння.<ref>{{Cite web |mode=cs2 | url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=Discriminant review|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref> Якщо коефіцієнти {{tmath|a}}, {{tmath|b}} та {{tmath|c}} є дійсними числами тоді при {{tmath|\Delta > 0}}, рівняння має два різні [[Дійсне число|дійсні]] корені; при {{tmath|\Delta = 0}}, рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при {{tmath|\Delta < 0}}, рівняння ''не має'' дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є [[Спряжені числа|комплексно спряженими]] один одному.

Геометрично, корені представляють собою значення {{tmath|x}}, при яких [[Графік функції|графік]] [[квадратична функція|квадратичної функції]] {{tmath|1=\textstyle y = ax^2 + bx + c}}, [[парабола]], перетинає вісь {{tmath|x}}: х-перетинів графіку.<ref>{{Cite web |mode=cs2 |url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article| title=Understanding the quadratic formula|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref> Квадратична формула також може бути використана для визначення [[Осьова симетрія|вісь симетрії]] параболи.<ref>{{Cite web |mode=cs2 |url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref>

== Виведення шляхом виділення квадрату ==
[[Файл:Quadratic formula via completing the square.png|thumb|upright=1.25|Щоб виділити квадрат, сформуйте квадратний двочлен у лівій частині квадратного рівняння, з якого можна знайти розв'язок, взявши квадратний корінь з обох сторін.]]

Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу [[виділення квадрату]] до загального квадратного рівняння {{tmath|1=\textstyle ax^2 + bx + c = 0}}.<ref>{{citation | title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra | first1=Barnett | last1=Rich |first2=Philip |last2=Schmidt |publisher=The McGraw–Hill Companies | year=2004 |isbn=0-07-141083-X | url=https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC | at = [https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]}}</ref><ref>Li, Xuhui. ''An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving'', p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."</ref><ref>Rockswold, Gary. ''College algebra and trigonometry and precalculus'', p. 178 (Addison Wesley, 2002).</ref><ref>Beckenbach, Edwin et al. ''Modern college algebra and trigonometry'', p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).</ref> Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду {{tmath|1=\textstyle (x + k)^2 = s}} для деяких виразів {{tmath|k}} та {{tmath|s}}, записаних через коефіцієнти, взяти [[квадратний корінь]] з обох сторін, а потім виділити {{tmath|x}}.

Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт {{tmath|a}}, що дозволено, оскільки {{tmath|a}} не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член {{tmath|c/a}}, щоб виділити його в правій частині:

<math>\begin{align}
ax^{2\vphantom|} + bx + c &= 0 \\[3mu]
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} &= 0 \\[3mu]
x^2 + \frac{b}{a} x &= -\frac{c}{a}.
\end{align}</math>

Ліва частина тепер має вигляд {{tmath|\textstyle x^2 + 2kx}}, і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу {{tmath|\textstyle k^2}} для отримання двочлена в квадраті {{tmath|1=\textstyle x^2 + 2kx + k^2 = {} }}<wbr />&#8203;{{tmath|\textstyle (x + k)^2}}. У цьому прикладі ми додаємо {{tmath|\textstyle (b / 2a)^2}} в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):

<math>\begin{align}
x^2 + 2\left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
&= -\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 \\[5mu]
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2
&= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} .
\end{align}</math>

Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:

<math>
x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
</math>

Нарешті, віднімання {{tmath|b/2a}} з обох сторін для виділення {{tmath|x}} дає квадратичну формулу:

<math>
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .
</math>

== Еквівалентні формулювання ==
Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад

<math>
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}},
</math>

який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на {{tmath|2a}}, в результаті чого отримаємо {{tmath|1=\textstyle \tfrac12 x^2 + \tfrac{b}{2a}x + \tfrac{c}{2a} = 0}}, а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість {{tmath|\tfrac{b}{2a} }}, це може дещо зменшити кількість арифметики.

=== Квадратний корінь у знаменнику <span class="anchor" id="Citardauq"></span> ===
Менш відома квадратична формула, вперше згадана [[Джуліо Фаньяно]],<ref>Зокрема, Фаньяно почав з рівняння {{tmath|1= xx + bb = ax}} і знайшов його розв'язки, які є <math display=block>x = \frac{2 bb}{a \mp a \sqrt{1 - \dfrac{4bb}{aa}}}.</math> (У 18 столітті квадрат {{tmath|\textstyle x^2}} умовно записувався як {{nobr|{{tmath|xx}}.)}} {{pb}}
{{citation |last=Fagnano |first=Giulio Carlo |author-link=Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano |title=Produzioni matematiche del conte Giulio Carlo di Fagnano, Marchese de' Toschi, e DiSant' Ononio |volume=1 |place=Pesaro |publisher=Gavelliana |year=1750 |chapter=Applicazione dell' algoritmo nuovo Alla resoluzione analitica dell' equazioni del secondo, del terzo, e del quarto grado |trans-chapter=Application of a new algorithm to the analytical resolution of equations of the second, third, and fourth degree |language=it |at=Appendice seconda, eq. 6, {{Page numbers|467}} |doi=10.3931/e-rara-8663 |doi-access=free |chapter-url=https://era-prod11.ethz.ch/zut/content/zoom/2406151 }}</ref> описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що {{tmath|c \neq 0}}):

<math>
x= \frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2 - 4ac}}.
</math>

Тут [[знак мінус-плюс]] «{{tmath|\mp}}» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є

<math>
x_1 = \frac{2c}{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}, \qquad
x_2 = \frac{2c}{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}.
</math>

== Див. також ==
* [[Основна теорема алгебри]]
* [[Теорема Вієта]]

== Нотатки ==
{{Reflist|30em}}

== Примітки ==
* {{citation |last=Smith |first=David Eugene |author-link=David Eugene Smith |title=History of Mathematics |volume=2 | year=1923 |place=Boston |publisher=Ginn |url=https://archive.org/details/historyofmathema0001davi/ }}
* {{citation | last=Irving | first=Ron | title=Beyond the Quadratic Formula | url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C | year=2013 | publisher=MAA | isbn=978-0-88385-783-0 }}

{{Алгебраїчні рівняння (список)}}

[[Категорія:Елементарна алгебра]]
[[Категорія:Рівняння]]