Перегляд вихідного коду сторінки Зсув Бернуллі

У [[Математика|математиці]] ''схема Бернуллі'' або ''зсув Бернуллі'' є узагальненням {{нп|Процес Бернуллі|процесу Бернуллі||Bernoulli process}} для більш ніж двох можливих результатів.<ref>P. Shields, The theory of Bernoulli shifts, Univ. Chicago Press (1973)</ref><ref>Michael S. Keane, «Ergodic theory and subshifts of finite type», (1991), appearing as Chapter 2 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X</ref> Схеми Бернуллі природно проявляються в {{нп|Символьна динаміка| символьній динаміці||Symbolic dynamics}}, і тому важливі при досліджені [[Динамічна система|динамічних систем]]. Багато важливих динамічних систем (такі як [[аксіома А]] в теорії динамічних систем) мають [[атрактор]], який є добутком [[Множина Кантора|множини Кантора]] і [[Диференційовний многовид|гладкого многовиду]], а динаміка на множині Кантора ізоморфна динаміці зсуву Бернуллі.<ref>Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics(1998), Cambridge University press</ref> &nbsp;По суті, це {{нп|Розбиття Маркова|розбиття Маркова||Markov partition}}. Термін «зсув» відноситься до [[Оператор зсуву|оператора зсуву]], який може бути використаний для вивчення схем Бернуллі. {{нп|Теорема про ізоморфізм Орнштейна|Теорема про ізоморфізм Орнштейна||Ornstein isomorphism theorem}}<ref name="OIT">{{cite journal
| first1=Donald | last1=Ornstein 
| title=Bernoulli shifts with the same entropy are isomorphic
| journal=Advances in Mathematics
| volume=4
| year=1970
| pages=337–352
| doi=10.1016/0001-8708(70)90029-0}}</ref><ref>{{springer|author=D.S. Ornstein|title=Ornstein isomorphism theorem|id=Ornstein_isomorphism_theorem&oldid=17997}}</ref> показує, що зсуви Бернуллі є ізоморфними, якщо їх {{нп|Теоретико-мірна ентропія|ентропія||Measure-theoretic entropy}} однакова.

== Означення ==
Схема Бернуллі&nbsp;— це {{нп|Дискретний і неперервний час|дискретний часовий||Discrete time and continuous time}} [[Випадковий процес|стохастичний процес]], де кожна [[Незалежність|незалежна]] [[випадкова величина]] може приймати одне з <math>N</math> різних можливих значень, причому <math>i</math>-й результат відбувається з імовірністю <math>p_i</math>, при <math>i = 1,\dots, N</math>, і
: <math>\sum_{i=1}^N p_i = 1. </math>

[[Простір елементарних подій]] як правило позначається
: <math>X=\{1,\ldots,N \}^\mathbb{Z}</math>
як скорочення для
: <math>X=\{ x=(\ldots,x_{-1},x_0,x_1,\ldots) : 
x_k \in \{1,\ldots,N\} \; \forall k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Пов'язана [[Міра множини|міра]] називається ''мірою Бернуллі''<ref>Klenke, Achim (2006). Probability Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.</ref>

[[Сигма-алгебра|σ-algebra]] <math>\mathcal{A}</math> на <math>X</math> є добутком <math>\sigma</math>-алгебр, тобто це (скінченний) [[прямий добуток]] <math>\sigma</math>-алгебр скінченної множини <math>\{1, \dots, N\}</math>. Таким чином, трійка
: <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math>
є [[Простір з мірою|простором з мірою]]. Базис <math>\mathcal{A}</math> є {{нп|Циліндрична множина|циліндричною множиною||Cylinder set}}. Нехай задано циліндричну множину <math>[x_0, x_1,\ldots,x_n]</math>, її мірою є
: <math>\mu\left([x_0, x_1,\ldots,x_n]\right)=
\prod_{i=0}^n p_{x_i}.</math>
Еквівалентний вираз з використанням позначень теорії ймовірностей має вигляд
: <math>\mu\left([x_0, x_1,\ldots,x_n]\right)=
\mathrm{Pr}(X_0=x_0, X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n)</math>
для випадкових величин <math>\{X_k\}</math>.

Схему Бернуллі, як і будь-який стохастичний процес, можна розглядати як [[Динамічна система|динамічну систему]] з [[Оператор зсуву|оператором зсуву]] <math>T</math>, де
: <math>T(x_k) = x_{k+1}.</math>

Оскільки результати незалежні, то зсув зберігає міру, і, отже, <math>T</math> є {{нп|Перетворення, що зберігає міру|перетворенням, що зберігає міру||Measure-preserving dynamical system}}. Четвірка
: <math>(X,\mathcal{A},\mu, T)</math>

є {{нп|Динамічна система, що зберігає міру|динамічною системою, що зберігає міру||Measure-preserving dynamical system}}, і називається ''схемою Бернуллі'' або ''зсувом Бернуллі''. Її часто позначають як

: <math>BS(p)=BS(p_1,\ldots,p_N).</math>

При <math>N</math> = 2 схема Бурнуллі називається {{нп|Процес Бернуллі|ппроцесом Бернуллі||Bernoulli process}}. Зсув Бернуллі можна розуміти як окремий випадок , {{нп|Зсув Маркова|зсуву Маркова||Subshift of finite type}}, де всі елементи [[Матриця суміжності|матриці сумжності]] одиниці.
Таким чином, відповідний граф є [[Кліка (теорія графів)|клікою]].

== Відповідності та метрика ==
[[Відстань Геммінга]] забезпечує природну метрику для схеми Бернуллі.
Інша важлива метрика, так звана <math>\overline f</math>-метрика, визначається через супремум над ''відповідностями рядків''<ref>{{cite journal
| first1=Jacob | last1=Feldman
| year=1976
| title=New <math>K</math>-automorphisms and a problem of Kakutani
| journal=Israel Journal of Mathematics
| volume=24
| issue=1
| pages=16–38
| doi=10.1007/BF02761426}}</ref>

Нехай <math>A=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}</math> і <math>B=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}</math>&nbsp;— два набори символів. '''Відповідність''' є послідовністю <math>M</math> пар <math>(i_{k},j_{k})</math> набору.
Тобто пари для яких <math>a_{i_{k}}=b_{j_{k}}</math>, вважаються повністю впорядкованими.
Кожна окрема підпослідовність <math>i_{k}</math> і <math>j_{k}</math> впорядковується: <math> 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}</math>, і у такий же спосіб <math>1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{r}\leq n</math>.

<math>\overline f</math>-''відстанню'' між <math>A</math> і <math>B</math> є

: <math>\overline f(A,B) = 1-\frac{2\sup |M|}{m+n},</math>

де супремум беремо за усіма відповідностями <math>M</math> між <math>A</math> і <math>B</math>.
Так означена відстань задовольняє [[нерівність трикутника]] лише при умові, що <math>m=n,</math>
і тому це не зовсім справжня метрика. Незважаючи на це, в літературі загальновживаним є термін «відстань».

== Узагальнення ==
Більшість властивостей схеми Бернуллі випливають із зліченного [[Декартів добуток множин|прямого добутку]], ніж з скінченного базового простору.
Таким чином, можна прийняти за базовий простір {{нп|Стандартний простір ймовірностей|стандартний простір ймовірностей||Standard probability space}} <math>(Y,\mathcal{B},\nu)</math> і визначити схему Бернуллі як
: <math>(X, \mathcal{A}, \mu)=(Y,\mathcal{B},\nu)^\mathbb{Z}.</math>
Такий підхід є конструктивним, оскільки зліченний прямий добуток стандартного простору ймовірностей знову є стандартним простором ймовірностей.

Для іншого узагальнення можна замінити цілі числа <math>\mathbb{Z}</math> на [[Зліченна множина|зліченну]] [[Дискретна група|дискретну групу]] <math>G</math>. Таким чином,
: <math>(X, \mathcal{A}, \mu)=(Y,\mathcal{B},\nu)^G.</math>
У цьому випадку оператор зсуву замінюється на [[Дія групи|дію групи]]
: <math>gx(f)=x(g^{-1}f)</math>
для елементів групи, <math>f,g\in G</math> і <math>x\in Y^G</math> розуміється як функція <math>x\colon G\to Y</math> (будь-який прямий добуток <math>Y^G</math> розуміємо як множину функції <math>[G\to Y]</math>, оскільки це є [[експоненційний об'єкт]] . Міра <math>\mu</math> вибирається як [[міра Хаара]], яка інваріантна під дією групи:
: <math>\mu(gx)=\mu(x). \, </math>
Ці узагальнення також загальнопринято називати схемами Бернуллі, оскільки вони все ще зберігають більшість властивостей скінченного випадку.

== Властивості ==
[[Синай Яків Григорович|Яків Синай]] показав, що {{нп|Ентропія Колмогорова|ентропія Колмогорова||Measure-theoretic entropy}} схеми Бернуллі визначається як<ref>Ya.G. Sinai, (1959) «On the Notion of Entropy of a Dynamical System», ''Doklady of Russian Academy of Sciences'' '''124''', pp. 768—771.</ref><ref>Ya. G. Sinai, (2007) «[https://web.math.princeton.edu/facultypapers/Sinai/MetricEntropy2.pdf Metric Entropy of Dynamical System] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210506225125/https://web.math.princeton.edu/facultypapers/Sinai/MetricEntropy2.pdf |date=6 травня 2021 }}»</ref>

: <math>H = -\sum_{i=1}^N p_i \log p_i .</math>

Ця формула для ентропії випливає із загального означення ентропії [[Декартів добуток множин|прямого декартового добутку]] ймовірносних просторів, яке випливає з {{нп|Властивості асимптотичного розподілу|властивості асимптотичного розподілу||Asymptotic equipartition property}}. У випадку загального базового простору <math>(Y, \mathcal{B}, \nu)</math> (тобто базовий простір, який не є зліченним) зазвичай розглядається [[Розходження Кульбака — Лейблера|відносна ентропія]]. Так, наприклад, якщо маємо зліченне [[Розбиття множини|розбиття]]
: <math>H_{Y'} = -\sum_{y'\in Y'} \nu(y') \log \nu(y') .</math>

У загальному випадку ця ентропія залежить від розбиття. Однак для багатьох [[Динамічна система|динамічних систем]], коли {{нп|Символьна динаміка|символьна динаміка||Symbolic dynamics}} не залежить від розбиття (скоріше існують ізоморфізми, які пов'язують символьну динаміку різних розбиттів і залишають міру інваріантною), і тому такі системи можуть мати добре визначену ентропію, яка не залежить від розбиття.

== Теорема про ізоморфізм Орнштейна ==
{{нп|Теорема про ізоморфізм Орнштейна|Теорема про ізоморфізм Орнштейна||Ornstein isomorphism theorem}} стверджує, що дві схеми Бернуллі з однаковою ентропією ізоморфні.<ref name="OIT"/> Результат є дуже особливим,<ref>{{cite journal
| first1=Christopher
| last1=Hoffman
| title=A <math>K</math> Counterexample Machine
| journal=Transactions of the American Mathematical Society
| volume=351
| year=1999
| pages=4263–4280
| url=https://www.ams.org/journals/tran/1999-351-10/S0002-9947-99-02446-0/
| accessdate=14 травня 2021
| archive-date=14 травня 2021
| archive-url=https://web.archive.org/web/20210514080944/https://www.ams.org/journals/tran/1999-351-10/S0002-9947-99-02446-0/
}}</ref> оскільки для несхематичних систем, таких як {{нп|Автоморфізми Колмогорова|автоморфізми Колмогорова||Kolmogorov automorphism}} немає подібної властивості. Теорема про ізоморфізм насправді набагато глибша: вона забезпечує простий критерій, за допомогою якого багато різних {{нп|Динамічні системи, що зберігають міру|динамічних систем, що зберігають міру||Measure-preserving dynamical system}}, можна вважати ізоморфними схемам Бернуллі. Результат виявився неочікуваним, оскільки багато систем, які раніше вважалися непов'язаними, виявились ізоморфними. До них відносяться скінченні [[Стаціонарність|стаціонарні стохастичні процеси]], {{нп|Підзсуви скінченного типу| підзсуви скінченного типу||Subshift of finite type}}, скінченні [[ланцюги Маркова]], [[Дифероморфізми Аносова|дифероморфізми Аносова]] і {{нп|Більярди Сіная|більярди Сіная||Dynamical billiards}}: всі вони ізоморфні до схем Бернуллі.

В узагальненому випадку теорема про ізоморфізм Орнштейна залишається справедливою, якщо група <math>G</math> є зліченною нескінченною {{нп|Аменабельною групою|аменабельною групою||Amenable group}}.<ref>{{cite journal
| first1=Daniel | last1=Ornstein
| first2=Benjamin | last2=Weiss
| title=Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups
| journal=Journal d'Analyse Mathématique
| volume=48
| year=1987
| pages=1–141
| doi=10.1007/BF02790325}}</ref><ref>{{cite journal
| first1=Lewis | last1=Bowen
| year=2012
| arxiv=1103.4424
| title=Every countably infinite group is almost Ornstein
| journal=Contemporary Mathematics
| pages=67–78
| volume=567}}</ref>

== Автоморфізм Бернуллі ==
Оборотне {{нп|Перетворення, що зберігає міру|перетворення, що зберігає міру||Measure-preserving dynamical system}} {{нп|Стандартного простору ймовірностей| стандартного простору ймовірностей||Standard probability space}} (простір Лебега) називають '''автоморфізмами Бернуллі''' , якщо воно ізоморфне зсуву Бернуллі<ref>Peter Walters (1982) ''An Introduction to Ergodic Theory'', Springer-Verlag, {{ISBN|0-387-90599-5}}</ref>.

== Див. також ==
* {{нп|Зсув скінченного типу|Зсув скінченного типу||Subshift of finite type}}
* [[Ланцюги Маркова]]
* {{нп|Прихована модель Бернуллі|Прихована модель Бернуллі||Time-inhomogeneous hidden Bernoulli model}}

== Література ==
{{reflist}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Зсув Бернуллі}}
[[Категорія:Марковські моделі]]