Перегляд вихідного коду сторінки Зрізаний кубооктаедр

{{Поліедр
| name          = Зрізаний кубооктаедр
| image         = Truncatedcuboctahedron.jpg
| caption       = <!--підпис зображення-->
| type          = [[напівправильний многогранник]]
| euler         = <!--характеристика Ейлера-->
| faces         = 26: 12 [[квадрат]]них,<br/>8 [[Правильний шестикутник|шестикутних]],<br/>6 [[Восьмикутник#Правильний_восьмикутник|восьмикутник]]
| edges         = 72
| vertices      = 48
| cell          = <!--кількість стільників (комірок)-->
| vertex_config = 4.6.8
| schläfli      = tr{4,3} або <math>t\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
| wythoff       = 2 3 4 <nowiki>|</nowiki> 
| coxeter       = {{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}
| symmetry      = [[Октаедрична симетрія|O<sub>h</sub>]], B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), порядок 48
| surface_area  = <math>S = 12\left(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) a^2</math>
| volume        = <math>V = \left(22+14\sqrt{2}\right) a^3</math>
| angle         = 4-6: arccos(−{{sfrac|√6|3}}) = 144°44′08″<br/>4-8: arccos(−{{sfrac|1|√2}}) = 135°<br/>6-8: arccos(−{{sfrac|√3|3}}) = 125°15′51″
| dual          = [[гекзакісоктаедр]]
| properties    = [[напівправильний многогранник|напівправильний]] [[Опуклий політоп|опуклий многогранник]], [[зоноедр]]
| vertex_figure = Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg
| net           = Polyhedron great rhombi 6-8 net.svg
}}
'''Зрізаний кубооктаедр'''&nbsp;— [[напівправильний многогранник]] (архімедове тіло) з 12 [[квадрат]]ними гранями, 8 гранями у вигляді [[Правильний шестикутник|правильного шестикутника]], 6 гранями у вигляді правильного [[Восьмикутник#Правильний восьмикутник|восьмикутника]], 48 вершинами і 72 ребрами. Оскільки кожна з граней многогранника має [[Центральна симетрія|центральну симетрію]] (що еквівалентно повороту на 180°), зрізаний кубооктаедр є [[зоноедр]]ом.

== Інші назви ==
Цей многогранник має кілька назв:

* ''Зрізаний кубооктаедр'' ([[Йоганн Кеплер]])
* ''Ромбозрізаний кубооктаедр'' ([[Маґнус Веннінґер]]{{Sfn|Веннинджер|1974|с=20, 39}}{{Sfn|Wenninger|1974|с=29}})
* ''Великий ромбокубооктаедр'' ({{Не перекладено|Роберт Вільямс (геометр)|Роберт Вільямс|en|Robert Williams (geometer)}}{{Sfn|Williams|1979|с=82}})
* ''Великий ромбокубооктаедр'' (Пітер Кромвель{{Sfn|Cromwell|1997|с=82}})
* ''Загальнозрізаний куб'' (omnitruncated cube) або ''скіс-зрізаний куб'' (cantitruncated cube) ({{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Норман Джонсон|en|Norman Johnson (mathematician)}})

Назва ''зрізаний кубооктаедр'', яку дав спочатку [[Йоганн Кеплер]], дещо вводить в оману. [[Зрізання (геометрія)|Зрізання]] [[кубооктаедр]]а відсіканням кутів (вершин) '''не''' дозволяє отримати цю однорідну фігуру, оскільки деякі грані будуть [[прямокутник]]ами. Однак отримана фігура [[Топологія|топологічно]] еквівалентна зрізаному кубооктаедру та її завжди можна деформувати до стану, коли грані стануть правильними.

Альтернативна назва&nbsp;— ''великий ромбокубооктаедр''&nbsp;— посилається на той факт, що 12 квадратних граней лежать у тих самих площинах, що й 12 граней [[ромбододекаедр]]а, який двоїстий кубооктаедру. (Порівн. [[Ромбокубооктаедр|малий ромбокубооктаедр]])

Також існує [[Однорідний зірчастий многогранник|неопуклий однорідний многогранник]] з такою ж назвою&nbsp;— {{Не перекладено|неопуклий великий ромбокубооктаедр||en|Nonconvex great rhombicuboctahedron}}.

== Декартові координати ==
[[Декартова система координат|Декартові координати]] вершин зрізаного кубооктаедра, що має ребро довжини 2 і центр у початку координат, є [[перестановка]]ми чисел:

: (±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

== Площа та об'єм ==
Площа <math>S</math> та об'єм <math>V</math> зрізаного кубооктаедра з ребром довжини ''a'' рівні:

: <math>S = 12\left(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) a^2 \approx 61.7551724a^2</math>
: <math>V = \left(22+14\sqrt{2}\right) a^3 \approx 41.7989899a^3.</math>

== Розрізання ==
Зрізаний кубооктаедр можна розрізати на частини, отримавши центральний [[ромбокубооктаедр]] з 6 [[Квадратний купол (геометрія)|квадратними куполами]] над первинними квадратними гранями, 8 [[Трикутний купол (геометрія)|трикутними куполами]] над трикутними гранями і 12 [[куб]]ами над вторинними квадратними гранями.

Зі зрізаного кубооктаедра можна отримати [[Тороїд Стюарта|тороїди Стюарта]] роду 5, 7 або 11, якщо видалити центральний ромбокубооктаедр або квадратні куполи, або трикутні куполи, або 12 кубів відповідно. Можна побудувати багато інших тороїдів із меншим ступенем симетрії, видаляючи підмножини цих компонентів. Наприклад, видалення половини трикутних куполів дає тороїд роду 3, який (за правильного вибору куполів, що видаляються) має [[Тетраедрична симетрія|тетраедричну симетрію]]{{Sfn|Stewart|1970}}<ref>{{Cite web|url=http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html|title=Adventures Among the Toroids — Chapter 5 — Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1<!-- Заголовок добавлен ботом -->|accessdate=2015-11-08|archivedate=2016-02-04|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160204010023/http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html|deadurl=no}}</ref>.
{| class="wikitable"
|+Тороїди Стюарта
! Рід 3
! Рід 5
! Рід 7
! Рід 11
|-
|[[Файл:Excavated_truncated_cuboctahedron4.png|161x161пкс]]
|[[Файл:Excavated_truncated_cuboctahedron2.png|160x160пкс]]
|[[Файл:Excavated_truncated_cuboctahedron3.png|160x160пкс]]
|[[Файл:Excavated_truncated_cuboctahedron.png|163x163пкс]]
|}

== Однорідні розфарбування ==
{{Докладніше|Однорідне розфарбування}}
Існує лише одне [[однорідне розфарбування]] граней цього многогранника, по одному кольору на кожен тип грані.

Існує 2-однорідне розфарбування з [[Тетраедрична симетрія|тетраедричною симетрією]] з розфарбуванням шестикутників у два кольори.

== Ортогональні проєкції ==
Зрізаний кубооктаедр має дві особливі [[Ортогональна проєкція|ортогональні проєкції]] на [[Число Коксетера|площини Коксетера]] A<sub>2</sub> і B<sub>2</sub> з [6] і [8] проєктивними симетріями, і багато [2] симетрій можна побудувати, виходячи з різних площин проєкції.
{| class="wikitable"
|+Ортогональні проєкції
! Центровано відносно…
! …вершини
! …ребра<br/>4-6
! …ребра<br/>4-8
! …ребра<br/>6-8
! …нормалі до грані<br/>4-6
|-
! Зображення
|[[Файл:Cube_t012_v.png|100x100пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_e46.png|104x104пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_e48.png|100x100пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_e68.png|100x100пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_f46.png|100x100пкс]]
|- align="center"
! Проєктивна<br/>симетрія
| [2]{{Sup|+}}
| [2]
| [2]
| [2]
| [2]
|-
! Центровано відносно…
! …нормалі до<br/>квадрата
! …нормалі до<br/>восьмикутника
! …квадратної<br/>грані
! …шестикутної<br/>грані
! …восьмикутної<br/>грані
|-
! Зображення
|[[Файл:Cube_t012_af4.png|101x101пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_af8.png|100x100пкс]]
|[[Файл:Cube_t012_f4.png|100x100пкс]]
|[[Файл:3-cube_t012.svg|100x100пкс]]
|[[Файл:3-cube_t012_B2.svg|100x100пкс]]
|- align="center"
! Проєктивна<br/>симетрія
| [2]
| [2]
| [2]
| [6]
| [8]
|}

== Сферичні мозаїки ==
{{Докладніше|Сферичний многогранник}}
Зрізаний кубооктаедр можна подати як [[Сферичний многогранник|сферичну мозаїку]] і спроєктувати на площину за допомогою [[Стереографічна проєкція|стереографічної проєкції]]. Ця проєкція [[Конформне відображення|конформна]], вона зберігає кути, але не зберігає довжин та площ. Прямі лінії на сфері проєктуються в колові дуги на площині.
{| class="wikitable"
|[[Файл:Uniform_tiling_432-t012.png|161x161пкс]]
|[[Файл:Truncated_cuboctahedron_stereographic_projection_square.png|160x160пкс]]<br/>[[Квадрат|квадрат-]] центрована
|[[Файл:Truncated_cuboctahedron_stereographic_projection_hexagon.png|163x163пкс]]<br/>[[Шестикутник|шестикутник-]] центрована
|[[Файл:Truncated_cuboctahedron_stereographic_projection_octagon.png|160x160пкс]]<br/>[[Восьмикутник|восьмикутник-]] центрована
|-
! [[Проєкція (математика)|Ортогональна проекція]]
! colspan="3" | [[Стереографічна проєкція|Стереографічні проекції]]
|}

== Пов'язані многогранники ==
Зрізаний кубооктаедр входить у сімейство однорідних многогранників, пов'язаних із кубом і правильним октаедром.{{Октаедричні зрізи}}Цей многогранник можна вважати членом послідовності однорідних [[Вершинна фігура|вершинних фігур]] зі схемою (4.6.2p) та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера&nbsp;— Динкіна]]{{ДКД|node_1|p|node_1|3|node_1}}. Для ''p'' < 6 члени послідовності є {{Не перекладено|Всезрізаність (геометрія)|всезрізаними|en|Omnitruncation (geometry)}} многогранниками ([[зоноедр]]ами), показаними нижче як сферичні мозаїки. Для ''p'' > 6 вони є мозаїками на гіперболічній площині, починаючи зі {{Не перекладено|Зрізана трисемикутна мозаїка|зрізаної трисемикутної мозаїки|en|truncated triheptagonal tiling}}.{{Таблиця повністю зрізаних мозаїк}}

== Граф зрізаного кубооктаедра ==
{{Граф|name=Граф зрізаного кубооктаедра|image=[[Файл:Truncated cuboctahedral graph.png|280px]]|vertices=48|edges=72|automorphisms=48|chromatic_number=2|properties=[[Кубічний граф|кубічний]]
<br>[[Гамільтонів граф|гамільтонів]]
<br>[[Регулярний граф|регулярний]],
<br>{{нп|Нуль-симетричний граф|нуль-симетричний||Zero-symmetric graph}}}}У [[Теорія графів|теорії графів]] '''граф зрізаного кубооктаедра''' (або '''граф великого ромбокубооктаедра''')&nbsp;— [[1-кістяк|граф вершин і ребер]] зрізаного кубооктаедра. Він має 48 вершин і 72 ребра, {{Не перекладено|Нуль-симетричний граф|нуль-симетричний|en|zero-symmetric graph}} і є [[Кубічний граф|кубічним]] [[Архімедів граф|архімедовим графом]]{{Sfn|Read, Wilson|1998|с=269}}.{{Clear}}

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin}}
* {{Книга
|автор = [[Маґнус Веннінґер|М. Веннинджер]]
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1974
|ref = Веннинджер
|назва = Модели многогранников
}}
* {{Книга
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство физико-математической литературы|ru|Физматлит}}
|місце = {{М.}}
|рік = 1963
|відповідальний = Под ред. [[Александров Павло Сергійович|П.&nbsp;С.&nbsp;Александрова]], {{нп|Маркушевич Олексій Іванович|А. И. Маркушевича|ru|Маркушевич, Алексей Иванович}}, {{нп|Хінчин Олександр Якович|А. Я. Хинчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}}
|частина = Многоугольники и многогранники
|сторінки = 382—447
|ref = Энциклопедия элементарной математики
|назва = Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия
}}
* {{Книга
|автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Л. А. Люстерник]]
|місце = М.
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство технико-теоретической литературы|ru|Физматлит}}
|рік = 1956
|ref = Люстерник
|назва = Выпуклые фигуры и многогранники
}}
* {{Книга
|автор = Magnus Wenninger
|видавництво = [[Cambridge University Press]]
|ISBN = 978-0-521-09859-5
|рік = 1974
|ref = Wenninger
|назва = Polyhedron Models
}} (Модель 15, стор. 29)
* {{Книга
|автор = Robert Williams
|рік = 1979
|посилання = https://archive.org/details/geometricalfound00will
|видавництво = Dover Publications, Inc.
|ISBN = 0-486-23729-X.
|ref = Williams
|назва = The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
}} (Секція 3-9, стор. 82)
* {{Книга
|автор = P. Cromwell
|ref = Cromwell
|рік = 1997
|посилання = http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82#v=onepage&q=&f=false
|місце = United Kingdom
|видавництво = Cambridge
|сторінки = 79–86 ''Archimedean solids''
|ISBN = 0-521-55432-2
|назва = Polyhedra
}}
* {{Книга
|автор = R.C. Read, R.J. Wilson
|видавництво = Oxford University Press
|рік = 1998
|ref = Read, Wilson
|назва = An Atlas of Graphs
}}
* {{Книга
|автор = B. M. Stewart
|рік = 1970
|ISBN = 978-0-686-11936-4
|ref = Stewart
|назва = Adventures Among the Toroids
}}
{{Refend}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=GreatRhombicuboctahedralGraph|title=Great rhombicuboctahedral graph}}
* [http://mathworld.wolfram.com/GreatRhombicuboctahedron.html 3D convex uniform polyhedra]
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=K1RB4IgXRIYFsRCy4aHC6dnfSy7rq2q4f3v4yl4nRAbEtZul3CvUo1k8TrBjkgTqbZvaXjrwBrfylwUDWC8lfzMM1h1E0NDKFJh7udiMaOsp1DWdM1xR11UHzHVHzVTY4gCc1nRXW879CvTzcUwX9wUb4vJUXWfCEBFZvcR1dJrJyE4FpNhyWBHvw6Qyuph3rT9jgDZRKNn8FaEqBr5dZ1o9SBpnEObkMMx31INNrEf75EZOWGdEXwvDNeJIuKbtorvRJHy4iYcMHnYO1v1axRBQudr31fS0np5Jn7nuzR0Vx&name=Truncated+Cuboctahedron#applet Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/grko/indexeng.htm great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting]
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Архімедові тіла]]
[[Категорія:Однорідні многогранники]]
[[Категорія:Мозаїки]]