Перегляд вихідного коду сторінки Знакопереміжний ряд

{{не плутати|знакозмінний ряд|знакозмінним рядом|члени якого теж набувають значень з протилежними знаками, але не обов'язково по черзі|зі}}
{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Знакоперемі́жний ряд'''&nbsp;— [[Ряд (математика)|математичний ряд]], члени якого <u>почергово</u> набувають значень із протилежними знаками:

: <math>\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,b_n, \quad b_n>0</math>.

Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є [[Збіжний ряд|збіжним]] тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є [[Границя послідовності|збіжною]].

==Приклади==
Геометричний ряд [[Геометричний ряд|1/2-1/4+1/8-1/16+ <math>\cdots</math>]] є збіжним до 1/3.

[[Гармонічний ряд#Знакопереміжний гармонічний ряд|Знакопереміжний гармонічний ряд]] має скінченну суму, а [[Гармонічний ряд|гармонічний ряд]] &nbsp;— ні.

[[Ряд Меркатора]] надає аналітичний вираз для [[Натуральний логарифм|натурального логарифму]]:
:<math>
 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n  \;=\; \ln (1+x).</math>

Функції синус і косинус, що використовуються в [[Тригонометрія|тригонометрії]], в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,
:<math>\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, та
:<math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} .</math>

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт <math>(-1)^{n}</math>, то отримаємо [[Гіперболічні функції|гіперболічні функції]] <math>sh</math> і <math>ch</math>, що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу <math>\alpha</math> [[Функції Бесселя|функцію Бесселя]] першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду
:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}, </math>
де <math>\Gamma(z)</math> — це [[Гамма-функція|гамма-функція]].

Якщо <math>s</math> — [[Комплексне число|комплексне число]], тоді [[Функція Діріхле|функція Діріхле]] подається у вигляді знакопереміжного ряду
:<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots,</math>
що використовується в [[Аналітична теорія чисел|аналітичній теорії чисел]].
== Ознака Лейбніца ==
Ознака Лейбніца&nbsp;— ознака [[Ряд (математика)|збіжності]] знакопереміжного ряду, встановлена [[Готфрід Вільгельм Ляйбніц|Готфрідом Лейбніцем]]. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

: <math> S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n, \quad \ b_n \ge 0</math>,

для якого виконуються такі умови:

# <math>b_{n} \ge b_{n+1}</math>, починаючи з деякого номера (<math>n\ge N </math>),
# <math>\lim_{n \to \infty} b_n = 0.</math>

Тоді такий ряд збігається.

; Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються '''''рядами Лейбніца'''''.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є [[Необхідна і достатня умова|необхідним]] для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова <math>\lim_{n \to \infty} b_n = 0</math> є саме [[Ознака розбіжності ряду|необхідною умовою]]): ця ознака є [[Необхідна і достатня умова|достатньою]], але не обов'язковою (наприклад, ряд <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}</math> збігається).

Ряд Лейбніца може [[Абсолютна збіжність|абсолютно збігатися]] (якщо збігається ряд <math> \sum_{n=1}^\infty b_n</math>), а може [[Умовна збіжність|збігатися умовно]] (якщо ряд із модулів розбігається).{{Hidden|header=Доведення|headerstyle=background:#ccccff|content=Розглянемо дві послідовності часткових сум ряду <math>R_n=b_1-b_2+\ldots-b_{2n} </math> и  <math>L_n=b_1-b_2+\ldots+b_{2n+1} </math>.

Перша послідовність не спадає: <math>R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\le 0 </math> за першою умовою. 

За тією ж умовою друга послідовність не зростає: <math>L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\ge 0 </math>.

Друга послідовність мажорує першу, тобто <math>L_n \ge R_{m}</math> для довільних <math>m,n\in\mathbb{N}</math>. Дійсно,
: при <math>m\ge n</math> маємо: <math> L_n-R_{m}\ge L_m-R_m=b_{2m+1}>0,</math>
: при <math>m\le n</math> маємо: <math> L_n-R_{m}\ge L_n-R_n=b_{2n+1}>0.</math>

Отже вони обидві збігаються як монотонні обмежені послідовності.

Залишилося зауважити, що: <math>\lim_{m,n}|R_n-L_{m}|=0</math>, тому вони збігаються до спільної границі <math> S</math>,
яка і є сумою початкового ряду.

Попутно ми показали, що для будь-якої часткової суми ряду <math>S_n</math> є оцінка <math>|S-S_n|<b_{n+1}</math>.}}

=== Приклад ===
<math> \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \;</math>. Ряд з модулів має вигляд <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>&nbsp;— це [[гармонічний ряд]], який розбігається.

Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:

# знакопереміжність виконано;
# <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \;\forall \;n</math>;
# <math>\lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{n} = 0</math>.

Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).

=== Оцінка залишку ряду Лейбніца ===
З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду ([[залишок ряду]]):

: <math>S_n = \sum_{i=1}^n (-1)^i b_i.</math>

Залишок збіжного знакопереміжного ряду <math>R_n = S - S_n</math> буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

: <math>\left| R_n \right| < b_{n+1}.</math>
{{Hidden|header=Доведення|headerstyle=background:#ccccff|content=Послідовність <math>S_{2k}</math> монотонно зростає, оскільки <math>S_{2k}  = \sum\limits_{i = 2}^{i = n} {\left( {b_{2i - 1}  - b_{2i} } \right)},</math> а вираз <math>b_{2i - 1}  - b_{2i}</math> невід'ємний за будь-якого цілого <math>i</math>. Послідовність <math>S_{2k - 1}</math> монотонно спадає, оскільки <math>S_{2k + 1}  = S_{2k - 1}  - \left( {b_{2k}  - b_{2k + 1} } \right),</math> а вираз у дужках невід'ємний. Як вже доведено під час доведення самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей — <math>S_{2k}</math> і <math>S_{2k - 1}</math> — однакова границя при <math>k \to  + \infty.</math> Так отримано <math>S_{2k}  \leqslant s \leqslant S_{2k - 1}</math> і також <math>s \leqslant S_{2k + 1}.</math> Звідси <math>0 \leqslant s - S_{2k}  \leqslant S_{2k + 1}  - S_{2k}  = b_{2k + 1}</math> і <math>0 \leqslant S_{2k - 1}  - s \leqslant S_{2k - 1}  - S_{2k}  = b_{2k}.</math> Отже, для будь-якого <math>k</math> виконується <math>\left| {s - S_k } \right| \leqslant b_{k + 1}</math>, що й потрібно було довести.}}

== Знакозмінний ряд ==
Знакопереміжні ряди також іноді називають '''знакозмінними'''<ref>[[Фіхтенгольц Григорій Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] [https://books.google.ru/books?id=yIT-AgAAQBAJ&pg=PA303 Курс дифференциального и интегрального исчисления] т. 2 стор. 302</ref>, проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

== Наближені суми ==
Наведена вище оцінка не залежить від <math>n</math>. Отже, якщо {<math>a_n</math>} монотонно збігається до <math>0</math>, то оцінка [[Абсолютна похибка вимірювання|абсолютної похибки]] для наближення нескінченних сум частковими є такою:

: <math>\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|\le |a_{m+1}|.</math>

== Абсолютна збіжність ==
Ряд <math>\sum a_n</math> [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжний]], якщо ряд <math>\sum |a_n|</math> — збіжний.

'''Теорема''': ''Абсолютно збіжний ряд є збіжним.''

{{Hidden|header=Доведення|headerstyle=background:#ccccff|content=Припустимо, що ряд <math>\sum a_n</math> абсолютно збіжний. Тоді, <math>\sum |a_n|</math> є збіжним, і з цього випливає, що <math>\sum 2|a_n|</math> також збіжний. Оскільки <math> 0 \leq a_n + |a_n| \leq 2|a_n|</math>, тоді ряд <math>\sum (a_n + |a_n|)</math> є збіжним за [[Пряма ознака порівняння|ознакою порівняння]] рядів. Тому <math>\sum a_n</math> є збіжним як різниця двох збіжних рядів <math>\sum a_n = \sum (a_n + |a_n|) - \sum |a_n|</math>.}}

== Умовна збіжність ==
Ряд називають [[Умовна збіжність|умовно збіжним]], якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, [[Гармонічний ряд|гармонічний ряд]]
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\! </math>

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\! </math>

збігається за [[Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів|ознакою Лейбніца]].

== Перестановки ==
Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається [[Ряд (математика)#Критерій абсолютної збіжності|безумовно збіжним]], якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. [[Абсолютна збіжність|Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними]]. Але [[Теорема Рімана про умовно збіжний ряд|теорема Рімана]] про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої  збіжності.<ref>{{cite journal |last1=Mallik |first1=AK|year=2007 |title=Curious Consequences of Simple Sequences |journal=Resonance |volume=12 |issue=1 |pages=23–37 |doi=10.1007/s12045-007-0004-7}}</ref> Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що <math>1=0</math>, використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, [[Натуральний логарифм|як відомо]]
:<math>\ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots.</math>

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для <math>\frac{1}{2}\ln(2)</math>:

:<math>
\begin{align}
& \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]
& \quad = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]
& \quad = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\right)= \frac{1}{2} \ln(2).
\end{align}
</math>

== Прискорення збіжності ряду ==
Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик [[прискорення збіжності рядів]]. Однією з найдавніших методик є [[Збіжність за Ейлером|підсумування Ейлера]], а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

== Див. також ==
* [[Ознака Діріхле]]&nbsp;— узагальнення ознаки Лейбніца
* [[Ряд Гранді]]
* {{нп|Інтеграл Норлунда – Райса|||Norlund-Rice_integral}}

== Примітки ==
{{reflist|refs=}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Книга
|автор = [[Бронштейн Ілля Миколайович|Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.]], [[Семендяєв Костянтин Адольфович|Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.]]
|заголовок = Справочник по математике
|місце = М.
|видавництво = Государственное издательство технико-теоретической литературы
|рік = 1967
|видання = Изд. 7-е, стереотипное
|сторінки = 296
}}
* {{нп|Ерл Рейнвіл|Earl D. Rainville||Earl D. Rainville}} (1967) ''Infinite Series'', pp 73–6, [[Macmillan Publishers]].
* {{MathWorld|urlname=AlternatingSeries}}

{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Ряди]]