Перегляд вихідного коду сторінки Згортка (математичний аналіз)

[[Файл:Convolution of box signal with itself2.gif|thumb|right|475px|Згортка двох квадратних імпульсів: результатом є імпульс трикутної форми. Одна з функцій (в даному випадку ''g'') спочатку відображається черезз <math>\tau=0</math> і тоді зсувається на ''t'', результатом є <math>g(t-\tau)</math>. Площа під кривою, що є добутком цих функцій і є згорткою по ''t''. Горизонтальна вісь це <math>\tau</math> для ''f'' і ''g'', і t для <math>f\ast g</math>]]

[[Файл:Convolution of spiky function with box2.gif|thumb|right|475px|Згортка квадратного імпульсу (вхідний сигнал) з імпульсом відповіді в RC колі для отримання кривої вихідного сигналу. Інтеграл добутку&nbsp;— це площа жовтої ділянки. <!-- Note that in both animations the function being swept is symmetric, and so is unchanged under reflection. -->]]
{{Інші значення|Згортка}}
'''Зго́ртка''' ({{lang-en|convolution}})&nbsp;— математична операція двох функцій <math> f(t) </math> та <math> g(t) </math>, що дозволяє отримати третю функцію:
: <math> (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d\tau </math>

Основною властивістю згортки є те, що [[перетворення Фур'є|фур'є-образ]] згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій.

== Згортка на групах ==
Нехай <math>G</math>&nbsp;— [[група Лі]], оснащена [[Міра Хаара|мірою Хаара]] <math>m</math>, і <math>f,g:G \to \mathbb{R}</math>&nbsp;— дві функції, визначенні на <math>G</math>. Тоді їх згорткою називається функція
: <math>f  * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G</math>.

== Властивості ==
* [[Комутативність]]:
: <math>f * g = g * f.</math>
* [[Асоціативність]]:
: <math>f  * (g  * h) = (f  * g)  * h.</math>
* Лінійність ([[дистрибутивність]] щодо додавання і [[асоціативність]] добутку з [[скаляр]]ом):
: <math>(f_1+f_2) * g =  f_1 * g + f_2 * g,\quad</math>
: <math>f * (g_1+g_2) =  f * g_1 + f * g_2,\quad</math>
: <math>(a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}.</math>
* Правило диференціювання:
: <math>\mathrm{D}(f  * g) = \mathrm{D}f  * g = f  * \mathrm{D}g,</math>

де <math>\mathrm{D}f</math> означає [[похідна функції|похідну]] функції <math>f</math>.

* [[Перетворення Лапласа]]:
: <math>\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}.</math>
* 
* [[Перетворення Фур'є]]:

: <math>\mathfrak{F}[f  * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g],</math>
де <math> \mathfrak{F}[]</math> означає [[перетворення Фур'є]] функції.

Якщо <math>\mathcal W</math> є матрицею дискретного [[перетворення Фур'є]], то

<math>\mathcal W(C^{(1)}x \ast C^{(2)}y) =(\mathcal W C^{(1)} \bull \mathcal W C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal W C^{(1)}x \circ \mathcal W C^{(2)}y  </math>,

де <math> \bull </math>&nbsp;— символ [[Добуток Хатрі-Рао#Торцевий добуток|торцевого добутку]] матриць<ref name=slyusar>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=27 грудня 1996|title=End products in matrices in radar applications.|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3|pages=50–53|accessdate=1 серпня 2020|archive-date=27 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200727055858/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf}}</ref><ref name=slyusar1>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=1997-05-20|title=Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products.|url=http://slyusar.kiev.ua/ICATT97.pdf|journal=Proc. ICATT-97, Kyiv|pages=108–109|accessdate=1 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125134216/http://slyusar.kiev.ua/ICATT97.pdf}}</ref><ref name="DIPED">{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=1997-09-15|title=New operations of matrices product for applications of radars|url=http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf|journal=Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.|pages=73–74|accessdate=1 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125144223/http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf}}</ref><ref name=slyusar2>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=13 березня 1998|title=A Family of Face Products of Matrices and its Properties|url=http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|journal=Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999.|volume=35|issue=3|pages=379–384|doi=10.1007/BF02733426|accessdate=1 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125144927/http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf}}</ref><ref name=general>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=2003|title=Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_2003_10.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems|volume=46|issue=10|pages=9–17|accessdate=1 серпня 2020|archive-date=20 вересня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200920194237/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_2003_10.pdf}}</ref>, <math> \otimes </math> означає [[добуток Кронекера]], <math> \circ </math>&nbsp;— символ [[добуток Адамара|добутку Адамара]] (тотожність є розвитком властивості [[відліковий скетч|відлікового скетча]]<ref name="ninh">{{cite conference 
| title = Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps
| last1 = Ninh
| first1 = Pham
| last2 = Rasmus
| first2 = Pagh
| date = 2013
| publisher = Association for Computing Machinery
| conference = SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining
|doi = 10.1145/2487575.2487591}}
</ref>).

== Застосування ==
[[Файл:Halftone, Gaussian Blur.jpg|thumb|right|[[Гаусове розмиття]] може використовуватись щоб отримати гладке [[монохромне зображення]] з [[Півтонове зображення|півтонового]] друку]]
Згортки та пов'язані операції знаходять багато застосувань в науці, інженерії та математиці.
* В обробці зображень:
:: [[Згортка (обробка зображень)|Згортка в обробці зображень]] використовується в багатьох фільтрах, наприклад для розмиття, чи [[виявлення контурів]].
:: В фотографії, несфокусована фотографія є згорткою чіткого зображення з функцією лінзи. Фотографічний термін для цього поняття&nbsp;— [[Боке (фотографія)|Боке]].
* В [[статистика|статистиці]], зважене [[рухоме середнє]] є згорткою. <!--
* In [[acoustics]], [[reverberation]] is the convolution of the original sound with [[echo (phenomenon)|echoes]] from objects surrounding the sound source.
:: In [[digital signal processing]], convolution is used to map the [[impulse response]] of a real room on a digital audio signal.
:: In [[electronic music]] convolution is the imposition of a [[Spectrum|spectral]] or rhythmic structure on a sound. Often this envelope or structure is taken from another sound. The convolution of two signals is the filtering of one through the other.<ref>Zölzer, Udo, ed. (2002). ''DAFX:Digital Audio Effects'', p.48–49. {{isbn|0471490784}}.</ref>
* In [[electrical engineering]], the convolution of one function (the [[Signal (electrical engineering)|input signal]]) with a second function (the [[impulse response]]) gives the output of a [[linear time-invariant system]] (LTI). At any given moment, the output is an accumulated effect of all the prior values of the input function, with the most recent values typically having the most influence (expressed as a multiplicative factor). The impulse response function provides that factor as a function of the elapsed time since each input value occurred.
* In [[physics]], wherever there is a [[linear system]] with a "[[superposition principle]]", a convolution operation makes an appearance. For instance, in [[spectroscopy]] line broadening due to the Doppler effect on its own gives a [[Normal distribution|Gaussian]] [[spectral line shape]] and collision broadening alone gives a [[Cauchy distribution|Lorentzian]] line shape. When both effects are operative, the line shape is a convolution of Gaussian and Lorentzian, a [[Voigt function]].
:: In [[Time-resolved spectroscopy|Time-resolved fluorescence spectroscopy]], the excitation signal can be treated as a chain of delta pulses, and the measured fluorescence is a sum of exponential decays from each delta pulse.
:: In [[computational fluid dynamics]], the [[large eddy simulation]] (LES) [[turbulence model]] uses the convolution operation to lower the range of length scales necessary in computation thereby reducing computational cost.
* In [[probability theory]], the [[probability distribution]] of the sum of two [[independent (probability)|independent]] [[random variable]]s is the convolution of their individual distributions.
:: In [[kernel density estimation]], a distribution is estimated from sample points by convolution with a kernel, such as an isotropic Gaussian. {{harv|Diggle|1995}}.
* In radiotherapy treatment planning systems, most part of all modern codes of calculation applies a [[convolution-superposition algorithm]].{{Clarify|date=May 2013}}-->
* [[Згорткові нейронні мережі]] застосовують багато каскадів ядер згорток для застосування в областях [[комп'ютерний зір|комп'ютерного зору]] та [[штучний інтелект|штучного інтелекту]]

{{section-stub|дата=червень 2017}}

== Приклад програми ==
Нижче наведено приклад згортки, написаний на [[С++]] :
<syntaxhighlight lang='cpp'>
/*
 * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));

    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }

    return result;
}
</syntaxhighlight>

== Див. також ==
* [[Зворотня згортка (математичний аналіз)]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Колмогоров.Фомин}}
* ''Ширяев А. Н.'' Вероятность,&nbsp;— М.: Наука. 1989.

{{Перекласти|en|Convolution}}

{{Диференційовні обчислення}}


{{Математика-доробити}}
{{Інформатика-доробити}}
{{Комп'ютерна графіка-доробити}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Гармонічний аналіз]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Статті з прикладами коду мовою C++]]
[[Категорія:Білінійні оператори]]