Перегляд вихідного коду сторінки Зв'язність на векторних розшаруваннях

'''Зв'язність''' на векторних розшаруваннях в [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] дозволяє ввести на довільних [[векторне розшарування|векторних розшаруваннях]] такі поняття як [[паралельне перенесення]], [[тензор кривини|тензори кривини]] і [[тензор кручення|кручення]] і інші. Таким чином значна частина теорії і ідей може бути перенесена з гладких многовидів і їх [[дотичне розшарування|дотичних розшарувань]] на векторні розшарування. Для зв'язності на векторних розшарування часто також використовується термін '''зв'язність Кошуля''' на честь французького математика Жана-Луї Кошуля.

== Означення ==
Нехай ''E'' &rarr; ''M'' — гладке [[векторне розшарування]] над [[диференційовний многовид|диференційовним многовидом]] ''M''. Позначимо множину гладких [[Перетин розшарування|перетинів]] розшарування ''E'' як &Gamma;(''E''). '''Звязністю''' на ''E'' називається ℝ-[[лінійне відображення]]
:<math>\nabla : \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^*M)</math>
для якого також виконується [[правило добутку]]
:<math>\nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df</math>
для всіх [[гладка функція|гладких функцій]] ''f'' на многовиді ''M'' і всіх гладких перетинів &sigma; розшарування ''E''.

Зважаючи на властивості [[Тензорний добуток|тензорних добутків]] векторних розшарувань і їх перетинів для [[Область значень|області значень]] також можна дати еквівалентні інтерпретації:

:<math>\Gamma(E\otimes T^*M) \cong \Omega^1(M) \otimes_{C^\infty(M)} \Gamma(E) \cong \operatorname {Hom}_{C^\infty(M)}(\Gamma(TM),\Gamma(E)),</math>

де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для [[Модуль над кільцем|модулів над кільцем]] <math>C^\infty(M)</math> гладких функцій на многовиді ''M'', а <math>\Omega^1(M)</math> позначає множину [[Диференціальна форма|диференціальних 1-форм]] на ''M.''

Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо ''X'' є [[векторне поле|векторним полем]] на ''M'' (тобто гладким перетином [[дотичне розшарування|дотичного розшарування]] ''TM'') можна ввести '''коваріантну похідну за напрямком ''X:'''''
:<math>\nabla_X : \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math>
прийнявши &nabla;<sub>''X''</sub>&sigma; = (&nabla;&sigma;)(''X''). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:
:<math>\begin{align}&\nabla_X(\sigma_1 + \sigma_2) = \nabla_X\sigma_1 + \nabla_X\sigma_2\\
&\nabla_{X_1 + X_2}\sigma = \nabla_{X_1}\sigma + \nabla_{X_2}\sigma\\
&\nabla_{X}(f\sigma) = f\nabla_X\sigma + X(f)\sigma\\
&\nabla_{fX}\sigma = f\nabla_X\sigma.\end{align}</math>
Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на ''E''. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор 

:<math>\nabla:\Gamma(TM)\otimes\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(E)</math>

що задовольняє вказані умови.

== Форма зв'язності ==
Нехай тепер <math>U \subset M</math> — [[Відкрита множина|відкрита підмножина]], така що <math>E|_U := \pi^{-1}(U)</math> є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо <math>e_1, \ldots, e_n \in \Gamma (E|_U)</math> — гладкі перетини, такі що для кожної точки <math>p \in U</math> вектори <math>e_1 (p), \ldots, e_n (p)</math> утворюють [[Базис (математика)|базис векторного простору]] <math>\pi^{-1}(p)</math> (такі множини перетинів називаються реперами на <math>U</math>), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку <math>\Omega^1(U) \otimes_{C^\infty(U)} \Gamma(E|_U) </math> можна записати як <math>\sum_{i = 1}^n \omega_i \otimes e_i</math> для деяких <math>\omega_i \in \Omega^1(U).</math>

Відповідно для зв'язності <math>\nabla</math> на розшаруванні ''E'' на обмеженні <math>E|_U </math> можна записати:

:<math>\nabla (e_i) = \sum_{j=1}^n A_{ij} \otimes e_j, \;\;\; i = 1,\ldots,n</math>

де <math>A_{ij} \in \Omega^1(U)</math> — елементи [[Матриця (математика)|матриці]], що називається '''формою зв'язності''' для  <math>e_1, \ldots, e_n </math> і позначається ''A.''

Навпаки для довільної матриці елементи якої належать <math>\Omega^1(U)</math> і репера <math>e_1, \ldots, e_n </math> на <math>U</math>, формула вище визначає зв'язність на  <math>\Gamma (E|_U).</math>

Оскільки <math>s \in \Gamma (E|_U)</math> можна однозначно записати як <math>s = \sum_{i = 1}^n s_i e_i, </math> де <math>s_i \in C^\infty(U)</math>, то отримуємо:

:<math>\nabla \left(\sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) = \sum_{i = 1}^n d s_i \otimes e_i + \sum_{i = 1}^n s_i \nabla e_i = \sum_{i,j=1}^n ( d s_i + s_iA_{ij}) \otimes e_j. </math>

== Побудова нових зв'язностей зі старих ==
* '''Зворотне відображення'''. З гладким відображенням <math>f:M'\rightarrow M</math> пов'язане векторне розшарування на <math>M'</math>, що позначається <math>f^*E</math> шаром якого в точці <math>p</math> є шар ''E'' в точці <math>f(p)</math>. Зв'язність <math>\nabla</math> на ''E'' індукує зв'язність <math>f^*\nabla</math> на <math>f^*E</math>. Для гладкого перетину ''s'' на ''E'' і для вектора <math>X \in T_pM'</math>, можна визначити :<math>f^*\nabla_X (s\circ f)= \nabla_{df(X)}s\circ f</math>. Локальні перетини на <math>f^*E</math> породжуються перетинами виду <math>s\circ f</math> і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності <math>\nabla</math>.
Якщо <math>\nabla=\nabla^1</math> і <math>\nabla^2</math>  — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях ''E''=''E''<sub>1</sub> і ''E''<sub>2</sub> з єдиним базисним простором ''M'', то також можна ввести зв'язності :
* Зв'язність на прямій сумі <math>E_1\oplus E_2</math>, що позначається <math>\nabla^1\oplus \nabla^2</math> :
:<math>(\nabla^1\oplus\nabla^2)_{X}(s_1\oplus s_2)=\nabla^1_Xs_1 \oplus \nabla^2_Xs_2</math> ;
* Зв'язність на тензорному добутку <math>E_1\otimes E_2</math>, що позначається <math>\nabla^1\otimes \nabla^2</math> :
:<math>(\nabla^1\otimes \nabla^2)_X(s_1\otimes s_2)=\nabla^1_Xs_1\otimes s_2+s_1\otimes \nabla^2_Xs_2</math> ;
* Зв'язність на двоїстому розшаруванні ''E''<sup>*</sup> :
:<math>X\cdot \lambda(s)=(\nabla_X\lambda)(s)+\lambda(\nabla_Xs)</math> ;
* Зв'язність на розшаруванні <math>End(E_1,E_2)</math> :
:<math>\nabla_X(\phi(s))=(\nabla_X\phi)(s)+\phi(\nabla_Xs)</math>.

== Паралельне перенесення ==
Нехай додатково до всіх понять введених вище також <math>\gamma: [0,1] \to M</math>— гладка [[крива]] і <math>\dot\gamma(t)</math> — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин <math>s \in \Gamma (E)</math> тоді індукує перетин вздовж кривої <math>s(t) := s(\gamma(t)).</math> 

Зв'язність <math>\nabla:\Gamma(TM)\otimes\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(E)</math> однозначно визначає  оператор <math>\nabla_{\dot\gamma(t)}s(t)</math> значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої. 

Перетин <math>s(t)</math> називається [[Паралельне перенесення (диференціальна геометрія)|паралельним вздовж кривої]] <math>\gamma(t)</math>, якщо виконується умова

:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}s(t) = 0, \;\; \forall t \in [0,1].</math>

Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти [[Диференціальні рівняння|систему диференціальних рівнянь]] і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення <math>s(0).</math> Таким чином для даної кривої <math>\gamma(t)</math> визначено [[Функція (математика)|відображення]] з [[Векторний простір|векторного простору]] <math>E_{\gamma(0)} </math> у векторний простір <math>E_{\gamma(1)} </math>, яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є [[Ізоморфізм векторних просторів|лінійним ізоморфізмом]] цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором <math>E_{\gamma(0)} </math> і просторами над усіма точками кривої <math>\gamma(t)</math>. Ці відображення називають '''[[Паралельне перенесення (диференціальна геометрія)|паралельними перенесенями]]''' векторів з <math>E_{\gamma(0)} </math> вздовж кривої <math>\gamma(t).</math>

== Оператори вищих порядків ==
Нехай ''E'' &#x2192; ''M'' — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних [[Диференціальна форма|диференціальних форм]]
: <math>\Omega^r(E) = \Omega^r(M) \otimes_{C^\infty(M)} \Gamma(E).</math>
Нехай також за означенням
: <math>\Omega^0(E) = \Gamma(E).\,</math>
Тоді в цих позначеннях зв'язність на ''E'' &#x2192; ''M'' є [[Лінійне відображення|лінійним відображенням]]
: <math>\nabla:\Omega^0(E) \to \Omega^1(E).</math>
На просторах <math>\Omega^r(E)</math> можна ввести добуток. Нехай <math>E_1,E_2</math> — векторні розшарування над многовидом ''M.'' Тоді можна ввести білінійний добуток
: <math>\wedge : \left (\Omega^i(E_1), \Omega^j(E_2) \right) \to \Omega^{i+j}(E_1 \otimes E_2),</math>
прийнявши
: <math>(\omega \otimes s) \wedge (\tau \otimes t) = \omega \wedge \tau \otimes (t \otimes s), \;\; \forall \; \omega \in \Omega^i(M), \tau\in \Omega^j(M), s,t \in \Gamma(E).</math>
Також для  <math>E = M \otimes \R</math> множина <math>\Omega^r(E)</math> є ізоморфною до множини <math>\Omega^r(M)</math>.

Тоді існує єдина множина лінійних операторів
: <math>d^{\nabla}: \Omega^r(E) \to \Omega^{r+1}(E).</math>
для яких виконуються умови:
* <math>d^{\nabla} = \nabla, \;\; j = 0</math>
* <math>d^{\nabla}(\omega  \wedge \tau)  = d \omega  \wedge \tau + (-1)^i \omega  \wedge d^{\nabla}\tau, \;\; \forall \; \omega \in \Omega^i(M) \cong \Omega^i(M \otimes \R),\; \tau\in \Omega^j(E).</math>
А саме для <math> \omega \in \Omega^j(M), s \in \Gamma(E)</math> дане відображення однозначно визначене як:
: <math>d^{\nabla}(\omega \otimes s) = d \omega  \otimes s + (-1)^j \omega  \wedge \nabla s. </math>
Ці відображення можна розглядати як узагальнення [[Зовнішня похідна|зовнішньої похідної]], проте у цьому випадку не обов'язково (''d''<sup>&#x2207;</sup>)<sup>2</sup> = 0. Натомість оператор (''d''<sup>&#x2207;</sup>)<sup>2</sup> є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.

== Кривина ==
'''Кривиною''' зв'язності &#x2207; на ''E'' &#x2192; ''M'' є 2-форма ''F''<sup>&#x2207;</sup> на ''M'' із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(''E'') = ''E''&#x2297;''E''*.  Тобто
: <math>F^\nabla \in \Omega^2(\mathrm{End}\,E) = \Gamma(\mathrm{End}\,E) \otimes_{C^\infty(M)}\Omega^2(M)).</math>
Її можна визначити рівністю
: <math>F^\nabla(X,Y)(s) = \nabla_X\nabla_Y s- \nabla_Y\nabla_X s- \nabla_{[X,Y]}s</math>
де ''X'' і''Y'' є векторними полями на ''M'', а ''s'' є гладким перетином ''E''. 

Еквівалентно <math>F^\nabla = d^\nabla \circ \nabla : \Omega^0(E) \to \Omega^2(E).</math> Дане відображення є <math>C^\infty(M)</math>-лінійним гомоморфізмом модулів.

== Див. також ==
* [[Афінна зв'язність]]
* [[Векторне розшарування]]
* [[Зв'язність (диференціальна геометрія)]]
* [[Зв'язність на головних розшаруваннях]]
* [[Зв'язність Леві-Чивіти]]

== Література ==
* {{citation|last=Chern|first=Shiing-Shen|title=Topics in Differential Geometry|series=Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes|year=1951}}
*{{citation | first = R. W. R. | last = Darling | title = Differential Forms and Connections | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK | year = 1994 | isbn = 0-521-46800-0}}
*{{citation | first1 = Shoshichi | last1 = Kobayashi | first2 =Katsumi|last2=Nomizu | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 | series = Wiley Classics Library | publisher = Wiley Interscience | location = New York | year = 1996 | origyear = 1963 | isbn = 0-471-15733-3}}
* {{citation| last = Koszul | first = J. L. | title = Homologie et cohomologie des algebres de Lie | journal = Bulletin de la Société Mathématique | volume = 78 | year = 1950 | pages = 65–127}}
*{{cite book|last1=Madsen|first1=I. H.|last2=Tornehave|first2=J|year=1997|title=From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes| publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0521580595}}
* {{citation|last=Wells|first=R.O.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90419-0}}

[[Категорія:Зв'язність (диференціальна геометрія)]]