Перегляд вихідного коду сторінки Замкнута множина

{{Dablink|Для терміна «Замкнутість» див. [[Замкнутість|інші значення]].}}
'''За́мкнута множина́''' — підмножина простору, [[доповнення множин|доповненням]] до якої є [[відкрита множина]].

== Означення ==

Нехай дано [[топологічний простір]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множина]] <math>V \subset X</math> називається '''замкнутою''' відносно топології <math>\mathcal{T}</math>, якщо існує [[відкрита множина]] <math>U \in \mathcal{T},</math> така що <math>V = X \setminus U.</math>

== Приклади ==

* Весь простір <math>X</math>, а також [[порожня множина]] <math>\emptyset</math> завжди замкнуті.
* [[Інтервал (математика)|Інтервал]] <math>[a,b] \subset \R</math> замкнутий в стандартній [[топологія|топології]] на [[Дійсне число|дійсній прямій]], бо його [[доповнення множин|доповнення]] відкрите.
* Множина <math>\Q \cap [0,1]</math> замкнута в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\Q</math>, але не замкнута в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\R</math>.

== Властивості ==

Із аксіом означення [[топологічний простір|топології]] випливає:
* перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
* об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною
Інші властивості:
* множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в <math>\mathbb{R}</math>, <math>[a,b)</math> (при [[топологія відкритих куль|стандартній]] топології на <math>\mathbb{R}</math>)
* множина може бути і відкритою і замкнутою водночас&nbsp;— такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія&nbsp;— набір всіх підмножин даної множини)

== Див. також ==
* [[Відкрита множина]]
* [[Замикання (топологія)]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

{{Топологія}}

[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]