Замкнута множина

Шаблон:Dablink За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповненням до якої є відкрита множина.

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,𝒯)$. Множина $V\subset X$ називається замкнутою відносно топології $𝒯$, якщо існує відкрита множина $U\in 𝒯,$ така що $V=X\setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\mathrm{\varnothing }$ завжди замкнуті.
• Інтервал $[a,b]\subset ℝ$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ замкнута в просторі раціональних чисел $\mathbb{Q}$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел $ℝ$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $ℝ$, $[a,b)$ (при стандартній топології на $ℝ$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина
• Замикання (топологія)

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Шаблон:Колмогоров.Фомин