Перегляд вихідного коду сторінки Залежний від параметра інтеграл

'''Інтеграл, залежний від параметра'''&nbsp;— [[Вираз (математика)|математичний вираз]], що містить [[визначений інтеграл]] і залежність від однієї або декількох [[Змінна|змінних]] («параметрів»).

== Залежний від параметра власний інтеграл ==

Нехай у двовимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] задана область <math>\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}</math>, на якій визначена [[функція (математика)|функція]] <math>~f(x,y)</math> двох змінних.

Нехай далі, <math>\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx</math>.

Функція <math>~I(y)</math> і називається [[інтеграл]]ом, що залежить від параметра.

=== Властивості інтеграла, залежного від параметра ===

==== Неперервність ====
Нехай функція <math>~f(x,y)</math> [[неперервна функція|неперервна]] в області <math>\overline{G}</math> як функція. Тоді функція <math>I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx</math> неперервна на відрізку <math>~[c;d]</math>.

{{Hider|
  title = Доведення|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Розглянемо приріст інтеграла, залежного від параметра.
<math>\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^b f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int\limits_a^b f\left(x,y\right)\,dx=</math>

<math>=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx</math>.

За [[теорема Кантора - Гейне|теоремою Кантора]], неперервна на компакті функція [[рівномірно неперервна функція|рівномірно неперервна]] на ньому, тобто 
<math>\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\,  \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:</math>

<math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon</math>.

Тому, <math>\Delta I(y) < \epsilon (b-a)</math> при <math>\Delta y < \delta</math>, що й означає неперервність функції
}}

==== Диференціювання під знаком інтеграла ====
Нехай тепер на області <math>\overline{G}</math> неперервна не лише функція <math>~f(x,y)</math>, але і її частинна похідна <math>\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )</math>.

Тоді <math>\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx</math>, або, що те саме, <math>\frac {d} {dy} \int\limits_a^b f(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx</math>

{{Hider|
  title = Доведення|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
<math>\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+\Theta \Delta y)dx</math>
<math>( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])</math>
Дані перетворення були виконані з використанням [[теореми про середнє Лагранжа]]. Розглянемо тепер вираз
<math>\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \right) \, dx</math>.

Використовуючи знову теорему Кантора, але для функції <math>\frac {\partial f} {\partial y}</math> ми отримуємо, що <math>\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1)</math> при <math>\Delta(y) \to 0</math>, що і доводить дану теорему
}}

==== Інтегрування під знаком інтеграла ====
Якщо функція <math>~f(x,y)</math> неперервна в області <math>\overline{G}</math>, то

<math>\int\limits_c^d I(y)\,dy = \int\limits_a^b \left (\int\limits_c^d f(x,y)\, dy \right )\, dx</math>, або, що те саме:

<math>\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^b f(x,y) \, dx \right )\, dy = \int\limits_a^b \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx</math>
{{Hider|
  title = Доведення|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Розглянемо дві функції:

<math>F(x)=\int\limits_a^x \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx</math>

<math>G(x)=\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^x f(x,y) \, dx \right )\, dy</math>

<math>\frac {dF} {dx} = \int\limits_c^d f(x,y)\, dy</math>

<math>\frac {dG} {dx} = \int\limits_c^d \left (\frac {\partial f} {\partial x} (x,y) \,dx \right)\,dy = \int\limits_c^d f(x,y)\,dy</math>


<math>\frac {dF} {dx} \equiv \frac {dG} {dx}</math> на <math>[a;b]</math>, тому <math>F(x) \equiv G(x)+C</math>.

Так як <math>F(a)=0, G(a)=\int\limits_c^d 0dy=0</math>, то <math>C=0</math> і <math>F(x) \equiv G(x)</math> На <math>[a;b]</math>. Підставляючи <math>x=b</math> отримаємо умови теореми.
}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}


[[Категорія:Математичний аналіз]]