Перегляд вихідного коду сторінки Закон Стефана — Больцмана

{{Випромінювання чорного тіла}}
'''Закон Стефана&nbsp;— Больцмана'''&nbsp;— інтегральний закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія [[випромінювання]] з одиниці [[площа|площі]] [[поверхня|поверхні]] абсолютно чорного тіла за одиницю [[час]]у пропорційна четвертому степеню [[ефективна температура|ефективної температури]] випромінювального тіла.

== Загальний вигляд ==
Загальна енергія теплового випромінювання з одиниці площі поверхні за одиницю часу визначається як:

: <math>F=\sigma T^4\,\!</math>,

де <math>F</math>&nbsp;— [[потужність]] на одиницю [[площа|площі]] поверхні випромінювання, а

: <math>\sigma=\frac{2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} \simeq 5,6704\cdot10^{-8}</math>&nbsp;Вт/(м<sup>2</sup>·К<sup>4</sup>)&nbsp;— '''[[стала Стефана — Больцмана]]'''.

== Доведення закону ==

[[Інтесивність випромінювання]] енергії [[абсолютно чорне тіло|абсолютно чорним тілом]] залежно від [[частота|частоти]] випромінювання визначається [[закон Планка|законом Планка]] як:

:: <math>B(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},</math> де
: <math>B(\nu,T)d\nu \,</math> становить кількість випроміненої [[енергія|енергії]] з одиниці [[площа|площі]] [[поверхня|поверхні]] за одиницю [[час]]у на одиницю [[тілесний кут|тілесного кута]] на [[частота|частоті]] ''ν'' абсолютно чорним тілом з [[температура|температурою]] ''T'';
: <math>h \,</math>&nbsp;— [[стала Планка]];
: <math>c \,</math>&nbsp;— [[швидкість світла]];
: <math>k \,</math>&nbsp;— [[стала Больцмана]].

[[Потік випромінювання#Зв'язок потоку і інтенсивності випромінювання|Потік випромінювання]] визначається через інтенсивність як <math>F(\nu,T)=\pi B(\nu,T)</math>.

Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах усіх можливих значень частоти:

:: <math>F(T)=\int_{0}^{\infty}\pi B(\nu,T) d\nu =\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu=
\frac{2 \pi h}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1} dx,</math>

: де виконано заміну змінної інтегрування <math>\nu=\frac{kTx}{h}</math> й, відповідно, <math>d\nu=\frac{kT}{h}dx</math>.
Отриманий інтеграл є [[Визначені інтеграли без явних первісних#СеБ-закон|табличним]] і дорівнює <math>\frac{\pi^4}{15}</math>, тому:

:: <math>F(T) = \frac{2 h \pi^5}{15 c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4} =\frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4 = \sigma T^4,</math>

: де <math>\sigma\,</math>&nbsp;— [[стала Стефана — Больцмана]].

== Джерела ==
* [https://sites.google.com/site/osnoviteplotehnikitagidravliki/rozdil-tretij-teoria-teplomasoobminu/-3-3-promenistij-teploobmin/2-osnovni-zakoni-teplovogo-viprominuvanna Основні закони теплового випромінювання&nbsp;— Основи теплотехніки та гідравліки] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210810093757/https://sites.google.com/site/osnoviteplotehnikitagidravliki/rozdil-tretij-teoria-teplomasoobminu/-3-3-promenistij-teploobmin/2-osnovni-zakoni-teplovogo-viprominuvanna |date=10 серпня 2021 }}
* [https://studopedia.com.ua/1_379649_zakon-stefana-boltsmana-zakon-vina.html Закон Стефана Больцмана. Закон Віна.&nbsp;— studopedia.com.ua] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210810093759/https://studopedia.com.ua/1_379649_zakon-stefana-boltsmana-zakon-vina.html |date=10 серпня 2021 }}
* {{книга
 |автор          = гол.ред. А. М. Прохоров.
 |частина        = 
 |заголовок      = [[Фізична енциклопедія|Физическая энциклопедия]]
 |оригінал       = 
 |посилання      = http://femto.com.ua/
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Москва
 |видавництво    = "Советская энциклопедия"
 |рік            = 1988
 |том            = 4
 |сторінки       = 689-690
 |сторінок       = 704
 |isbn           = 5-85270-034-7
}}
* {{Citation |last=Stefan |first=J. |title=Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur |journal=Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften |language=de |trans-title=On the relationship between heat radiation and temperature |url=http://www.ing-buero-ebel.de/strahlung/Original/Stefan1879.pdf |volume=79 |year=1879 |pages=391–428 |accessdate=10 серпня 2021 |archive-date=2 квітня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210402195807/http://www.ing-buero-ebel.de/strahlung/Original/Stefan1879.pdf }}
* {{Citation |last=Boltzmann |first=L. |title=Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie |language=de |trans-title=Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light |journal=Annalen der Physik und Chemie |volume=258 |issue=6 |year=1884 |pages=291–294 |doi=10.1002/andp.18842580616 |bibcode = 1884AnP...258..291B |doi-access=free }}

== Посилання ==
* {{YouTube|-cIT8oQ1nS4|Випромінювання абсолютно чорного тіла|logo=1}}, канал [[НДІ астрономії ХНУ]]

{{фізика-доробити}}
[[Категорія:Закони термодинаміки]]
[[Категорія:Астрофізика]]
[[Категорія:Теорія зоряних атмосфер]]
[[Категорія:Степеневі закони]]
[[Категорія:Теплопередача]]