Перегляд вихідного коду сторінки Еліптичні функції Якобі

{{unibox}}'''Еліптичні функції Якобі'''&nbsp;— набір основних [[еліптичні функції|еліптичних функцій]] [[Комплексне число|комплексної змінної]], і допоміжних [[Тета-функція|тета-функцій]], які мають велике історичне значення і пряме відношення до деяких прикладних задач (наприклад, рівняння [[Математичний маятник|маятника]]). Вони також мають корисні аналогії з [[Тригонометричні функції|тригонометричними функціями]], як показує відповідне позначення <math>\operatorname {\mathrm {sn}} </math> для <math>\sin </math>. Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію еліптичних функцій, тому в у вступних книгах вони менш популярні, ніж [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичні функції Вейєрштраса]]. Еліптичні функції Якобі мають в основному [[Паралелограм|паралелограмі]] по два простих [[Полюс (комплексний аналіз)|полюси]] і два простих нуля.

== Означення ==

=== Як мероморфні функції ===
[[Файл:JacobiFunctionAbstract.png|width322px|thumb|Паралелограм Якобі.]]
Функції Якобі є [[Еліптична функція|еліптичними функціями]], тобто подвійно періодичними [[Мероморфна функція|мероморфними функціями]] комплексної змінної. Тобто фактично їх значення визначається на [[Тор (геометрія)|торі]] або основному паралелограмі.

Якщо ця функція є всюди [[Голоморфна функція|голоморфною]] то згідно з [[Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)|теоремою Ліувіля]] вона буде константою. З властивостей [[Лишок|лишків]] та подвійної періодичності випливає також, що еліптичні функції не можуть в основному паралелограмі мати єдиного [[Полюс (комплексний аналіз)|полюса]] порядку 1. Відповідно найпростішими несталими функціями є функції з єдиним полюсом порядку два і двома полюсами порядку 1. Першими є [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичні функції Вейєрштраса]], другими&nbsp;— еліптичні функції Якобі.

Загалом існує 12 принципово відмінних еліптичних функцій Якобі. Загалом вони залежать від основного паралелограма.

Нехай визначено паралелограм (який не буде основним) як на малюнку з вершинами {{nowrap|0, ''K'', ''K'' + ''iK''&prime;, ''iK''&prime;}}, що для зручності нотації позначені як s, c, d і n, відповідно.

Дійсні числа ''K'' і ''K' '' називаються «чвертями періодів».

12 функцій позначаються sc, sd, sn, cd, cn, cs, dn, ds, dc, ns, nc і nd.

Вони є єдиними еліптичними функціями, що задовольняють умови:
* Функція має простий нуль в куті p визначеного паралелограма і простий полюс в куті q. В інших двох кутах полюсів і нулів немає.
* Відстань від p до q є половиною періоду функції pq ''u'';тобто функція pq ''u'' є періодичною в напрямку pq, з періодом вдвічі більшим, ніж відстань від p до q. Відстані від p до інших точок є чвертями періодів.
* Розклад функції pq ''u'' в [[ряд Тейлора]] щодо ''u'' в околі точки p має членом найменшого степеня ''u''; членом найменшого степеня при розкладі в [[ряд Лорана]] в околі q є 1/''u''; в інших кутах розклад в ряд Тейлора починається з 1.

Наприклад функція dn має нуль в точці d і полюс в точці n. Вона періодична з періодами 2''K'' і 4''iK''.

=== Як обернені функції до еліптичних інтегралів ===
Наведене вище означення в термінах мероморфних функцій є досить абстрактним. Існує більш просте, але абсолютно еквівалентне означення, що задає еліптичні функції як зворотні до неповного [[еліптичні інтеграли|еліптичному інтегралу]] першого роду. нехай

: <math>u = \int \limits_0^\phi \frac {d \theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}. </math>

Еліптична функція <math>sn ~ u </math> задається як

: <math>\operatorname {sn} \; u = \sin \phi </math>

і <math>cn ~ u </math> визначається

: <math>\operatorname {cn} \; u = \cos \phi </math>

а

: <math>\operatorname {dn} \; u = \sqrt {1-m \sin^2 \phi}. </math>

Тут кут <math>\phi </math> називається '''амплітудою'''. <math>\operatorname {dn} \; u = \Delta (u) </math> називається '''дельта амплітудою'''. Значення ''m'' є вільним параметром, який є дійсним числом в діапазоні <math>0 \leq m \leq 1 </math>, і таким чином еліптичні функції є функціями двох аргументів: амплітуди <math>\phi </math> і параметра ''m''.

Решта дев'ять еліптичних функцій легко побудувати з трьох вищенаведених. Це буде зроблено нижче.

Коли <math>\phi = \pi / 2 </math>, то ''u'' дорівнює чверті періоду ''K''.

=== Означення в термінах тета-функцій ===
Еквівалентно еліптичні функції Якобі можна визначити в термінах [[Тета-функція|тета-функцій]]. Якщо ми визначимо <math>\vartheta(0;\tau)</math> як <math>\vartheta</math>, і <math>\vartheta_{01} (0; \tau), \vartheta_{10} (0; \tau), \vartheta_{11} (0; \tau) </math> відповідно як <math>\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11} </math> (''тета константи'') тоді [[еліптичний модуль]] ''k'' дорівнює <math>k=\left({\vartheta_{10} \over \vartheta}\right)^2</math>. Вважаючи <math>u = \pi \vartheta^2 z </math>, отримаємо

: <math id="def.theta">
\begin{align}
\operatorname{sn}(u; k) & = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)} \\[7pt]
\operatorname{cn}(u; k) & = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)} \\[7pt]
\operatorname{dn}(u; k) & = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}
\end{align}
</math>

Оскільки функції Якобі визначаються в термінах еліптичного модуля <math>k (\tau)</math>, необхідно знайти обернені до них і записати τ в термінах ''k''. Почнемо з ''додаткового модуля'' <math>k'= \sqrt {1-k^2} </math>. Як функція від τ він рівний

: <math>k'(\tau) = ({\vartheta_{01} \over \vartheta})^2. </math>

Введемо позначення

: <math>\ell = {1 \over 2} {1 \sqrt {k '} \over 1+ \sqrt {k'}} =
{1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}. </math>

Визначимо також [[ном (математика)|ном]] ''q'' як <math>q = \exp (\pi i \tau) </math> і розкладемо <math>\ell </math> в ряд за степенями нома ''q''. отримаємо

: <math>\ell = {q + q^9 + q^{25} + \cdots \over 1 + 2q^4 + 2q^{16} + \cdots}.</math>

Можна записати розклад в ряд

: <math>q = \ell + 2\ell^5 + 15\ell^9 + 150\ell^{13} + 1707\ell^{17} + 20910\ell^{21} + 268616\ell^{25} + \cdots.</math>

Оскільки ми можемо розглянути окремий випадок коли уявна частина τ більша або рівна <math>\sqrt {3}/2 </math>, ми можемо сказати, що значення ''q'' менше або рівне <math>\exp(-\pi \sqrt{3}/2)</math> . Для таких малих значень вищенаведений ряд збігається дуже швидко, і це дозволяє легко знайти відповідне значення для ''q''.

== Позначення ==
Для еліптичних функцій можна зустріти різноманітні позначення. Еліптичні функції&nbsp;— функції двох змінних. Першу змінну можна дати в термінах '''амплітуди''' φ, або зазвичай, в термінах ''u'', як нижче. Другу змінну можна було б дати в термінах '''параметра''' ''m'', або як '''[[еліптичний модуль]]''' ''k'', де <math>k^2 = m </math>, або в термінах '''[[модулярних кут|модулярного кута]]''' <math>o \! \varepsilon </math>, де <math>m = \sin^2o \varepsilon </math>.

== Інші функції ==
Зміною двох букв в назві функцій зазвичай позначають обернені функції до трьох основних функцій наведених вище:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{ns}(u) & = \frac{1}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{nc}(u) & = \frac{1}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{nd}(u) & = \frac{1}{\operatorname{dn}(u)}
\end{align}
</math>

Частки трьох головних функцій позначають першою літерою чисельника і першою літерою знаменника:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sc}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{sd}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{dn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{dc}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{ds}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{cs}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{cd}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}
\end{align}
</math>

Для кращого запам'ятовування більш коротко можна записати : <math>\operatorname {pq} (u) = \frac {\operatorname {pr} (u)} {\operatorname {qr (u)}} </math> де всі букви p, q, і r є будь-якими буквами s, c, d, n (слід пам'ятати, що ss = cc = dd = nn = 1).

== Додаткові теореми ==

Функції задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням
: <math>\operatorname{cn}^2(u,k) + \operatorname{sn}^2(u,k) = 1,\,</math>

: <math>\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2 \operatorname{sn}^2(u,k) = 1.\,</math>

З цього видно, що (cn, sn, dn) параметризують [[еліпс|еліптичну криву]], яка є перетином двох [[квадрика|квадрик]] заданих вищезазначеними двома рівняннями.

На цій кривій можна визначити груповий закон для точок за допомогою додаткових формул для функцій Якобі:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cn}(x+y) & =
{\operatorname{cn}(x) \operatorname{cn}(y)
- \operatorname{sn}(x) \operatorname{sn}(y) \operatorname{dn}(x) \operatorname{dn}(y)
\over {1 - k^2 \operatorname{sn}^2 (x) \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{sn}(x+y) & =
{\operatorname{sn}(x) \operatorname{cn}(y) \operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y) \operatorname{cn}(x) \operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \operatorname{sn}^2 (x) \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{dn}(x+y) & =
{\operatorname{dn}(x) \operatorname{dn}(y) - k^2 \operatorname{sn}(x) \operatorname{sn}(y) \operatorname{cn}(x) \operatorname{cn}(y)
\over {1 - k^2 \operatorname{sn}^2 (x) \operatorname{sn}^2 (y)}}.
\end{align}
</math>

== Тригонометричні і гіперболічні функції, як окремий випадок еліптичних ==

* Якщо m = 1, то: <math>u = \int \limits_0^\varphi \frac {d \theta} {\sqrt {1 - \sin^2 {\theta}}} = \operatorname {ln} \left (\frac {1} {\cos \varphi} - \operatorname {tg} \varphi \right) </math>;
: Звідси:
:: <math>\sin \varphi = \operatorname {sn} \, u = \frac {e^u-1} {e^u + 1} = \operatorname {th} \, u </math>
: Звідси:
:: <math>\operatorname {cn} \, u = \sqrt {1 - \operatorname {sn}^2 \, u} = \frac {1} {\operatorname {ch} \, u} </math>
: і:
:: <math>\operatorname {dn} \, u = \sqrt {1 - \operatorname {sn}^2 \, u} = \frac {1} {\operatorname {ch} \, u} </math>
: Таким чином, при m = 1 еліптичні функції вироджуються в [[гіперболічні функції|гіперболічні]].
* Якщо m = 0, то: <math>u = \int \limits_0^\varphi d \theta = \varphi </math>;
: Звідси:
:: <math>\sin \varphi = \sin \, u = \operatorname {sn} \, u </math>,
: а також:
:: <math>\operatorname {cn} \, u = \cos \, u </math>,: <math>\operatorname {dn} \, u = 1 </math>,
: Таким чином, при m = 0 еліптичні функції вироджуються в [[тригонометричні функції|тригонометричні]].

== Співвідношення між квадратами функцій ==
Для квадратів цих функцій вірні наступні співвідношення:

: <math>- \operatorname {dn}^2 (u) + m_1 = -m \; \operatorname {cn}^2 (u) = m \; \operatorname {sn}^2 (u) -m </math>
: <math>-m_1 \; \operatorname {nd}^2 (u) + m_1 = -mm_1 \; \operatorname {sd}^2 ( u) = m \; \operatorname {cd}^2 (u) -m </math>: <math>m_1 \; \operatorname {sc}^2 (u) + m_1 = m_1 \; \operatorname {nc}^2 (u) = \operatorname {dc}^2 (u) -m </math>
: <math>\operatorname {cs}^2 (u) + m_1 = \operatorname {ds}^2 (u) = \operatorname {ns}^2 (u) -m </math> де <math>m + m_1 = 1 </math> і <math>m = k^2 </math>.

Додаткові рівності для квадратів можна отримати якщо зауважити, що <math>\operatorname {pq}^2 \cdot \operatorname {qp}^2 = 1 </math>, а також <math>\operatorname {pq} = \operatorname { pr} / \operatorname {qr} </math> де p, q, r&nbsp;— будь-які літери s, c, d, n і ss = cc = dd = nn = 1.

== Ном ==

Нехай [[ном (математика )|ном]] дорівнює <math>q = \exp (-\pi K'/K) </math> і нехай аргумент&nbsp;— <math>v = \pi u / (2K) </math>.

Тоді функції можна представити у вигляді [[суми Ламберта|сум Ламберта]]:

: <math>\operatorname{sn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin ((2n+1)v),</math>

: <math>\operatorname{cn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos ((2n+1)v),</math>

: <math>\operatorname{dn}(u)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K}
\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos (2nv).</math>

== Розв'язки нелінійних звичайних диференціальних рівнянь ==
[[Похідна|Похідні]] трьох основних еліптичних функцій Якобі записуються у вигляді:
: <math>\frac { \mathrm {d}} {\mathrm {d} z} \, \mathrm {sn} \, (z; k) = \mathrm {cn} \, (z; k) \, \mathrm {dn} \, (z; k), </math>


: <math>\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} z} \, \mathrm {cn} \, (z; k) = - \mathrm {sn} \, (z; k) \, \mathrm {dn} \, (z; k), </math>


: <math>\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} z} \, \mathrm {dn} \, (z; k) = - k^2 \mathrm {sn} \, (z; k) \, \mathrm {cn} \, (z; k). </math>

Використовуючи теорему, формулювання якої наведена [[# Додаткові теореми|вище]] отримаємо для заданого ''k'' (0&nbsp;<&nbsp;''k''&nbsp;<&nbsp;1) рівняння розв'язками яких є еліптичні функції Якобі:
* <math>\mathrm {sn} \, (x; k) </math> є розв'язком рівнянь
:: <math>\frac {\mathrm {d}^2 y} {\mathrm {d} x^2 } + (1 + k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0, </math>
: і
:: <math>\left (\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2) </math>
* <math>\mathrm {cn} \, (x; k) </math> є розв'язком рівнянь
:: <math>\frac {\mathrm {d}^2 y} {\mathrm {d} x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0, </math>
: і
:: <math>\left (\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2 ) </math>
* <math>\mathrm {dn} \, (x; k) </math> є розв'язком рівняння
:: <math>\frac {\mathrm {d}^2 y} {\mathrm {d} x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0, </math>
: і
:: <math>\left (\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2) </math>

== Див. також ==
* [[Еліптичний інтеграл]]
* [[Еліптична функція]]
* [[Еліптичні функції Вейєрштрасса]]

== Посилання ==
* {{springer|title=Jacobi elliptic functions|id=p/j054050}}
* {{MathWorld|JacobiEllipticFunctions|Jacobi Elliptic Functions}}

== Література ==
* {{cite book
 | last = Abramowitz
 | first = Milton
 | authorlink = 
 | coauthors = Stegun, Irene A. eds.
 | title = [[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 | accessdate = 2007-07-25
 | date = 1972
 | publisher = Dover
 | location = New York
 | id = ISBN 0-486-61272-4
 }} See [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_569.htm Chapter 16] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090909012605/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_569.htm |date=9 вересня 2009 }}

* {{cite book
 | last = Н. И. Ахиезер
 | first = 
 | title = Элементы теории эллиптических функций 
 | year = 1970
 | publisher = Наука
 | location = Москва
 }}

* {{cite book
 | last = Дж. Н. Ватсон
 | first = Э. Т. Уиттекер
 | title = Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции
 | year = 1963
 | publisher = Мир
 | location = Москва
 }} или Москва: УРСС, 2010
* {{Фіхтенгольц.укр}}

[[Категорія:Еліптичні функції]]
[[Категорія:1827 у науці]]