Перегляд вихідного коду сторінки Дія групи

{{Теорія груп|expanded=Properties}}
'''Ді́я [[група (математика)|групи]]''' <math>G</math> на [[множина|множині]] <math>X</math>&nbsp;— це
[[відображення]]
: <math> G\times X\to X, \quad (g,x)\mapsto gx,</math>

що має властивості:
* <math>\ g(hx)=(gh)x </math>
* <math>\ ex=x </math>

для всіх <math>g,h\in G, x\in X, </math> де <math>\ e</math>&nbsp;— це [[нейтральний елемент]] <math> G.</math>

З аксіом групи випливає, що для кожного <math>g\in G,</math> відображення множини <math>\ X</math> до себе за формулою <math>x\mapsto gx</math>
є [[бієкція|бієкцією]] або [[автоморфізм]]ом <math>\ X.</math>

== Типи дій ==
* '''Вільна''', якщо для будь-яких <math>g,\;h\in G</math> не рівних між собою і довільного <math>m\in M</math> виконується <math>\ gm \ne hm</math>.
* '''Транзитивна''' якщо для будь-яких <math>m,\;n\in M</math> існує <math>g\in G</math> такий, що <math>gm=n</math>, тобто якщо <math>Gm=M</math> для довільного <math>m\in M</math>.
* '''Ефективна''', якщо для довільних <math>g,\;h\in G</math> існує <math>m\in M</math> такий, що <math>gm\ne hm</math>.

== Орбіти елементів ==
[[Підмножина]]
: <math>Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M</math>
називається '''орбітою''' елемента <math>m\in M</math>.

Дія групи <math>G</math> на множині <math>M</math> визначає на ній [[відношення еквівалентності]]<ref>{{sfn0|Ганюшкін та Безущак|2005|с=81-82}}</ref>
: <math>\forall n,\;m\in M\;(n\sim_G m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).</math>

=== Стабілізатор ===
Підмножина
: <math>G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G</math>
є [[підгрупа|підгрупою]] групи <math>G</math> і називається '''стабілізатором''' елемента <math>m\in M</math>.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо <math>n\sim_G m</math>, то існує такий елемент <math>g\in G</math>, що<ref>{{sfn0|Ганюшкін та Безущак|2005|с=84-85}}</ref>
: <math>G_m=gG_ng^{-1}.</math>

=== Кількість елементів в орбіті ===
Загальна кількість елементів в орбіті елемента <math>m\in M</math> визначається за формулою:
: <math>|Gm|=[G:G_m]</math>, де <math>G_m</math>&nbsp;— стабілізатор елемента <math>m</math> і <math>[G:G_m]</math>&nbsp;— [[індекс підгрупи]] <math>G_m\subset G</math>, що для [[Скінченна група|скінченних груп]] рівний <math>\frac{|G|}{|G_m|}</math>.

Справді нехай елемент ''n'' належить до орбіти елемента ''m'', припустимо ''n = gm'' для деякого <math>g\in G.</math>
Визначимо тепер відображення ''f(n)=nH,'' де ''H=G<sub>m</sub>'' &nbsp;- стабілізатор елемента ''m.'' Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти ''m'' на множину лівих [[Клас суміжності групи|класів суміжності]] по ''H'' ' є несуперечливим, адже якщо ''y=g<sub>1</sub>x=g<sub>2</sub>x'' то <math>g^{-1}{2}g{1}\in H</math> і як наслідок ''g<sub>1</sub>H=g<sub>2</sub>H.''
Зважаючи на довільність вибору ''g,'' одержуємо, що відображення є [[Сюр'єкція|сюр'єктивним]]. З іншого боку якщо ''g<sub>1</sub>H=g<sub>2</sub>H'' тоді <math>g^{-1}{2}g{1}\in H</math> і згідно з означенням стабілізатора <math>g^{-1}{2}g{1}x=x,</math> звідки випливає ''g<sub>1</sub>x=g<sub>2</sub>x.'' Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по ''H,'' тобто за означенням рівна індексу підгрупи ''H'', що доводить твердження

Якщо <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k</math>, то
: <math>|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]</math>&nbsp;— '''формула розбиття на орбіти'''.
Звідси випливають наступні тотожності:
# <math>\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;</math>
# <math>\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;</math>
# [[Лема Бернсайда]]

== Варіації та узагальнення ==
* [[Псевдогрупа перетворень]]

== Див. також ==
* [[Представлення групи]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==

=== Українською ===
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{cite book
 | автор1         = Ганюшкін О. Г.
 | автор2         = Безущак О. О.
 | назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 | url            = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 | місце          = Київ
 | видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 | рік            = 2005
 | pages          = 
 | ref            = {{sfnref|Ганюшкін та Безущак|2005}}
}}

=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Теорія груп]]