Дія групи

Шаблон:Теорія груп Ді́я групи $G$ на множині $X$ — це відображення

$G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx,$

що має властивості:

• $g(hx)=(gh)x$
• $ex=x$

для всіх $g,h\in G,x\in X,$ де $e$ — це нейтральний елемент $G.$

З аксіом групи випливає, що для кожного $g\in G,$ відображення множини $X$ до себе за формулою $x\mapsto gx$ є бієкцією або автоморфізмом $X.$

Типи дій

• Вільна, якщо для будь-яких $g,h\in G$ не рівних між собою і довільного $m\in M$ виконується $gm\ne hm$.
• Транзитивна якщо для будь-яких $m,n\in M$ існує $g\in G$ такий, що $gm=n$, тобто якщо $Gm=M$ для довільного $m\in M$.
• Ефективна, якщо для довільних $g,h\in G$ існує $m\in M$ такий, що $gm\ne hm$.

Орбіти елементів

Підмножина

$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$

називається орбітою елемента $m\in M$.

Дія групи $G$ на множині $M$ визначає на ній відношення еквівалентності

$\mathrm{\forall }n,m\in M(n{\sim }_{G}m)⟺(\mathrm{\exists }g\in Ggn=m)⟺(Gn=Gm).$

Стабілізатор

Підмножина

$G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$

є підгрупою групи $G$ і називається стабілізатором елемента $m\in M$.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо $n{\sim }_{G}m$, то існує такий елемент $g\in G$, що

$G_m=g{G}_n{g}^{-1}.$

Кількість елементів в орбіті

Загальна кількість елементів в орбіті елемента $m\in M$ визначається за формулою:

$|Gm|=[G:G_m]$, де $G_m$ — стабілізатор елемента $m$ і $[G:G_m]$ — індекс підгрупи $G_m\subset G$, що для скінченних груп рівний $\frac{|G|}{|G_m|}$.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого $g\in G.$ Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=G_m  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g₁x=g₂x то $g^{-1}2g1\in H$ і як наслідок g₁H=g₂H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g₁H=g₂H тоді $g^{-1}2g1\in H$ і згідно з означенням стабілізатора $g^{-1}2g1x=x,$ звідки випливає g₁x=g₂x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо $M=G{m}_1\bigsqcup G{m}_2\bigsqcup \dots \bigsqcup G{m}_k$, то

$|M|=\sum _{t=1}^k[G:G_{m_t}]$ — формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

1. $\mathrm{\forall }m\in M\sum _{n\in Gm}|G_n|=|G|;$
2. $\sum _{m\in M}|G_m|=k|G|;$
3. Лема Бернсайда

Варіації та узагальнення

• Псевдогрупа перетворень

Див. також

• Представлення групи

Джерела

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups