Перегляд вихідного коду сторінки Ділення

[[Файл:Divide20by4.svg|right|thumb|200px|<math>20 \div 5=4</math>]]
'''Ді́лення''', [[Архаїзм|заст.]]&nbsp;'''ділі́ння'''<ref>{{Грінченко|Діління|12461-dilinnja}}</ref>&nbsp;— у [[математика|математиці]] одна з чотирьох базових [[Арифметика|арифметичних]] операцій (іншими є [[додавання]], [[віднімання]], [[множення]]). Ділення [[Натуральні числа|натуральних чисел]]&nbsp;— це процес розрахунку кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.<ref>{{cite book|last1=Blake|first1=A. G.|title=Arithmetic|date=1887|publisher=[[Alexander Thom (almanac editor)|Alexander Thom & Company]]|location=[[Дублін|Dublin, Ireland]]}}</ref>{{rp|7}} Наприклад, на малюнку праворуч 20 яблук розділено на чотири групи по п'ять яблук, це означає, що ''двадцять розділене на п'ять дорівнює чотири'', або ''чотири є результатом ділення двадцяти на п'ять''. Це позначається як {{math|1=20 / 5 = 4}}, {{math|20 ÷ 5 {{=}} 4}}, або {{math|1={{sfrac|20|5}} = 4}}.<ref name="mwdiv">{{MathWorld|id=Division|title=Division}}</ref>

Ділення має два [[операнд]]и:
* [[ділене]]&nbsp;— число (чи [[математичний об'єкт]]), який ділять;
* [[дільник]]&nbsp;— число (чи математичний об'єкт), на який ділять.

Результат ділення називають [[частка (математика)|часткою]].

Під час ділення потрібно знайти таку частку <math>~x</math>, яка при множенні на дільник <math>~b</math> дала б ділене <math>~a</math>.
: <math>\ x = a/b \quad \iff \quad x \cdot b = a.</math>

Ділення чисел позначають:
* двокрапкою <math>\ 6 : 3 = 2,</math>
* знаком <math>\ 6 \div 3 = 2,</math>
* [[Скісна риска|скісною рискою]] <math>\ 6 / 3 =2,</math>
* або [[дріб|дробом]] <math>\frac{6}{3} = 2,</math> в [[чисельник]]у якого записують ділене, а в [[знаменник]]у&nbsp;— дільник.

{{Результати обчислення}}
Ділення&nbsp;— [[бінарна операція]], обернена [[множення|множенню]]; тобто якщо {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''c''}}, тоді {{math|''a'' {{=}} ''c'' ÷ ''b''}}, за умови що {{math|''b''}} не є нулем. [[Ділення на нуль]] для [[Дійсні числа|дійсних чисел]] і в більшості інших випадків є невизначеним,<ref>{{cite book|last1=Derbyshire|first1=John|title=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|url=https://archive.org/details/primeobsessionbe0000john|date=2004|publisher=[[Penguin Books]]|location=[[New York City]]|isbn=978-0452285255}}</ref>{{rp|246}} оскільки, якщо {{math|''b'' {{=}} 0}}, тоді {{math|''a''}} не можна отримати із {{math|''b''}} і {{math|''c''}}, оскільки тоді {{math|''c''}} завжди дорівнюватиме нулю незалежно від {{math|''a''}}.

== Розрахунок ==
{{main|Ділення стовпчиком}}

=== Методи ділення вручну ===
Ділення зазвичай пояснюють як процедуру розділення множини об'єктів, наприклад яблук, на деяку задану кількість частин. Розділення об'єктів по одному, з повторенням процедури по колу, веде до методу «{{нп|Віднімання часток (ділення)|віднімання часток|en|Chunking (division)}}», тобто ділення виконується за допомогою повторюваних кроків віднімання.

Систематизованіше й ефективніше, і водночас формалізованіше й на основі правил, людина, яка знає [[Таблиця множення|таблицю множення]], може поділити два цілих числа за допомогою розрахунків на папері, використовуючи метод {{нп|Коротке ділення|короткого ділення|en|short division}}, якщо дільник є простим числом. Для більших значень дільників застосовують процедуру [[ділення стовпчиком]]. Якщо частка має [[Дріб|дробову]] частину (задану у вигляді [[Десяткова система числення|десяткового дробу]]), алгоритм ділення можна продовжити і розрахувати необхідну кількість значень після коми. Якщо дільник має дробову частину для виконання розрахунку можна перемістити знак коми праворуч, щоб дільник став цілим числом, і виконати розрахунок як для цілих чисел.

Ділення можна розрахувати за допомогою [[Абак (рахівниця)|рахівниці]], перемістивши необхідне число декілька разів, а потім підрахувати кількість зсувів у підсумку.

Для ділення двох чисел можна застосувати [[Математичні таблиці|логарифмічні таблиці]], віднявши логарифми двох чисел, а потім знайшовши логарифм результату віднімання.

=== За допомогою комп'ютера ===
Сучасні комп'ютери розраховують операцію ділення за допомогою методів, що є швидшими від методу довгого ділення. Наприклад, [[Ділення із залишком]], див. {{нп|Алгоритм ділення|алгоритми ділення|en|Division algorithm}}.

У [[Модульна арифметика|модульній арифметиці]] (модуль [[Просте число|простого числа]]) і для [[Дійсне число|дійсних чисел]] ненульові числа мають [[Обернене за модулем число|обернене за модулем число]]. В таких випадках ділення на число {{mvar|x}} можна розрахувати як добуток на обернене число {{mvar|x}}. Цей підхід зазвичай є найефективнішим.

== Властивості ==
Ділення є [[Дистрибутивність|дистрибутивною]] справа для операцій додавання і віднімання. Це означає:
: <math>\frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}</math>

так само як і при [[Множення|множенні]] <math>(a + b) \times c = a \times c + b \times c</math>. Але ділення не є дистрибутивним зліва, тобто
: <math>\frac{a}{b + c} = a \div (b + c) = \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)^{-1} \ne \frac{a}{b} + \frac{a}{c}</math>

на відміну від множення.

Якщо виконується декілька операцій ділення, вони виконуються в порядку як вони записані в рядок зліва направо<ref>George Mark Bergman: [https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html Order of arithmetic operations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200520170331/https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html |date=20 травня 2020 }}</ref><ref>Education Place: [http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html The Order of Operations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200721215611/http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html |date=21 липня 2020 }}</ref>, це називається [[Асоціативність|асоціативністю]] зліва:
: <math>a \div b \div c = (a \div b) \div c = a \div (b \times c) = a \times b^{-1} \times c^{-1}</math>.

=== Обернений елемент ===
Ділення еквівалентне множенню на [[обернений елемент]]:
: <math>\ a/b \; = \; a \cdot \frac1{b}</math>
Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

=== Ліве та праве ділення ===
Операція [[множення]] для складних математичних об'єктів не завжди є [[комутативність|комутативною]], тому, рівняння <math>\ ax = b</math> та <math>\ xa = b</math>
можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни '''правого''' та '''лівого ділення''' згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:
: <math>\ ax = b \quad \iff \quad x = a^{-1} \cdot b</math>
: <math>\ xa = b \quad \iff \quad x = b \cdot a^{-1}</math>

== Ділення раціональних чисел ==
Очевидно, що результат ділення [[цілі числа|цілого числа]] на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є [[раціональні числа]].

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:
: <math>{p \over q} \div {r \over s} = {p \over q} \cdot {s \over r} = {ps \over qr}.</math>

== Ділення дійсних чисел ==
Ділення двох [[дійсні числа|дійсних чисел]] дає в результаті інше дійсне число, коли дільник не 0. Воно буде визначене наступним чином ''a''/''b'' = ''c'' [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли ''a'' = ''cb'' і ''b'' ≠ 0.

== Ділення на нуль ==
{{main|Ділення на нуль}}
{{ external media | align = right | width = 350px
| video1 = 1.&nbsp;[https://www.youtube.com/watch?v=w4_jTmBOLCU Чому не можна ділити на нуль]&nbsp;// Канал «Цікава наука» на [[YouTube]], 9 квітня 2020.
}}
Ділення будь-якого числа на [[0 (число)|нуль]] (коли дільник дорівнює нулю) є невизначеним. Це тому, що [[Множення|множення]] будь-якого скінченного числа на нуль завжди в результаті дає нуль. Якщо ввести такий вираз у [[Калькулятор|калькулятор]], більшість з них напише повідомлення про помилку.

== Ділення комплексних чисел ==
Для того, щоб поділити [[комплексне число]] <math> z_1= x_1 + i y_1 \,</math> на комплексне число <math> z_2 = x_2 + i y_2 \,</math> потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число [[комплексне спряження|спряжене]] до знаменника
: <math>
\frac{z_1}{z_2} = 
\frac{x_1 + i y_1 }{x_2 + iy_2}=\frac{z_1 \cdot \bar z_2}{z_2 \cdot \bar z_2} = \frac{(x_1 + i y_1)(x_2 - iy_2) }{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = 
\frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}
</math>

== Ділення матриць ==
Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю [[обернена матриця|обернену]] до дільника. А оскільки [[множення матриць]] не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення.
Якщо дільник є [[вироджена матриця|виродженою матрицею]] (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання [[псевдообернена матриця|псевдооберненої матриці]].

== Див. також ==
* [[Ділення стовпчиком]]
* [[Ділення з остачею]]
* [[Ділення многочленів]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==	
* {{Погребиський.Арифметика}}
* {{Дрозд.Теорія алгебричних чисел}}

{{Елементарна арифметика}}
{{Гіпероперації}}

[[Категорія:Ділення| ]]
[[Категорія:Дроби]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]
[[Категорія:Арифметичні операції]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Математична нотація]]