Перегляд вихідного коду сторінки Дробовий броунівський рух


У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], '''дробовий броунівський рух''', також відомий як '''фрактальний броунівський рух''', є узагальненням [[Броунівський рух|броунівського руху]].

На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.

Дробовий броунівський рух — це [[гауссівський процес]] з неперервним часом <math>B_H(t)</math> на <math>[0,T]</math>, який починається з нуля, має нульове [[математичне сподівання]] для всіх <math>t</math> з <math>[0,T]</math>, і має наступну [[Коваріація|коваріаційну]] функцію:

: <math>E[B_H(t) B_H (s)]=\tfrac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),</math>

де <math>H</math> — це дійсне число з <math>(0, 1)</math>, яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із <math>B_H(t)</math>.

Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.

Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).

Значення <math>H</math> визначає тип дробового броунівського руху:

* якщо <math>H = 1/2</math>, то процес є звичайним [[Броунівський рух|броунівським рухом]] і має [[Процес Леві|незалежні прирости]];

* якщо <math>H > 1/2</math>, то прирости процесу мають додатню [[Кореляція|кореляцію]];

* якщо <math>H < 1/2</math>, то прирости процесу від'ємну [[Кореляція|кореляцію]].

Процес приростів, <math>X(t) = B_H(t+1) - B_H(t)</math>, називають '''дробовим гаусівським шумом'''.

Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття [[Роберт Броун]]а; дробовий гаусівський шум названий на честь математика [[Карл Фрідріх Гаусс|Карла Фрідріха Гаусса]].

== Історя та означення ==
До появи дробового броунівського руху {{harvtxt|Lévy|1953}} використовував {{нп|дробовий інтеграл Рімана&ndash;Ліувіля|дробовий інтеграл Рімана&ndash;Ліувіля||Riemann&ndash;Liouville integral}} для визначення процесу

: <math>B_H(t) = \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\int_0^t (t-s)^{H-1/2} \, {\rm d}B(s)</math>

де інтегрування відбувається відносно {{нп|міра білого шуму|білого шуму|en|white noise measure}} <math>dB(s)</math>.

Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху {{harv|Mandelbrot|van Ness|1968|p=424}}.

Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля

: <math>B_H (t) = B_H (0) + \frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\left\{\int_{-\infty}^0\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,{\rm d}B(s) + \int_0^t (t-s)^{H-1/2}\,{\rm d}B(s)\right\}</math>

для <math>t > 0</math> (та аналогічно для <math>t < 0</math>).

== Властивості ==

=== Самоподібність ===
Процес є [[Самоподібність|самоподібним]], оскільки в термінах [[Розподіл імовірностей|розподілу імовірностей]]:

: <math>B_H (at) \sim |a|^{H}B_H (t).</math>

Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку <math>2H</math>, і може розглядатися як [[Фрактал|фрактальна]] властивість.

=== Стаціонарність приростів ===
Процес має [[Стаціонарність|стаціонарні]] прирости:

: <math>B_H (t) - B_H (s)  \sim   B_H (t-s). </math>

Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний [[гауссівський процес]] із нульовим [[Математичне сподівання|середнім]], що починається з нуля та має стаціонарні прирости.

=== Залежність на великих проміжках ===
Для <math>H > 1/2</math>:

: <math>\sum_{n=1}^\infty E[B_H (1)(B_H (n+1)-B_H (n))] = \infty.</math>

=== Регулярність ===
Траєкторії дробового броунівського руху [[майже напевно]] не [[Диференційовна функція|диференційовні]].

Тим не менш, [[Майже напевно|майже всі]] траєкторії є локально [[Умова Гельдера|гельдерові]] будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста <math>H</math>: для кожної такої траєкторії, для будь-якого <math>T > 0</math> та для будь-якого <math>\varepsilon > 0</math> існує (випадкова) константа <math>c</math> така, що для всіх <math>0 < s, t < T</math>

: <math> |B_H (t)-B_H (s)| \le c |t-s|^{H-\varepsilon}.</math>

== Траєкторії ==
Траєкторії дробового броунівського руху можна [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/38935 моделювати на комп'ютері] <ref>{{cite journal|author1=Kroese, D.P.|author2=Botev, Z.I.|year=2014|title=Spatial Process Generation|journal=Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin|arxiv=1308.0399|bibcode=2013arXiv1308.0399K}}</ref>, проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним <math>0.75</math> подано нижче.
{|
|[[Файл:BrownFractionalH75Seed0.svg|міні|200x200пкс|<math>H = 0.75</math>, траєкторія 1]]
|[[Файл:BrownFractionalH75Seed1.svg|міні|200x200пкс|<math>H = 0.75</math> траєкторія 2]]
|[[Файл:BrownFractionalH75Seed2.svg|міні|200x200пкс|<math>H = 0.75</math> траєкторія 3]]
|}
Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.
{|
|[[Файл:BrownFractionalH15.svg|міні|200x200пкс|"H" = 0.15]]
|[[Файл:BrownFractionalH55.svg|міні|200x200пкс|"H" = 0.55]]
|[[Файл:BrownFractionalH95.svg|міні|200x200пкс|"H" = 0.95]]
|}

=== Перший спосіб моделювання ===
Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.

Найпростіший спосіб покладається на [[розклад Холецького]] коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром <math> n</math> має складність порядку <math>O(n^3)</math>. Більш складним, але швидшим для обчислень є метод {{harvtxt|Dietrich|Newsam|1997}}, який застосовує [[циркулянт]].

Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу <math>t_1, \ldots, t_n</math> за допомогою [[Розклад Холецького|розкладу Холецького]].

* Сформуємо матрицю <math>\Gamma=\bigl(R(t_i,  t_j), i,j=1,\ldots, n\bigr)</math>, де <math>R(t ,s)=\frac{1}{2}(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})</math>.

* Обчислимо <math>\Sigma</math> --- квадратний корінь з матриці <math>\Gamma</math>, тобто <math>\Sigma^2 = \Gamma</math>. Грубо кажучи, <math>\Sigma</math> — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею <math>\Gamma</math>.

* Побудуємо вектор <math>v</math> з <math>n</math> чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

* Якщо ми визначимо <math>u=\Sigma v</math>, то <math>u</math> є шуканим наближенням.

Розклад Холецького потрібен для обчислення <math>\Sigma</math>. Альтернативний метод використовує [[Власні вектори та власні значення|власні значення]] матриці <math>\Gamma</math>:

* Оскільки <math>\Gamma</math> є [[Симетрична матриця|симетричною]], [[Додатноозначена матриця|невід'ємно визначеною]] матрицею, то всі власні значення <math>\ ,\lambda_i</math> з <math>\Gamma</math> задовільняють <math>\lambda_i>0</math>, (<math>i=1,\dots,n</math> ).

* Нехай <math>\Lambda</math> буде діагональною матрицею власних значень, тобто <math>\Lambda_{ij} = \lambda_i \delta_{ij}</math>, де <math>\delta_ {ij}</math> — [[символ Кронекера]]. Ми визначаємо <math>\Lambda^{1/2}</math> як діагональну матрицю з елементами <math>\lambda_i^ {1/2}</math>, тобто <math>\Lambda_{ij}^{ 1/2} = \lambda_i^{1/2}\,\delta_{ij}</math>.

Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки <math>\lambda_i>0</math>.

* Нехай <math>v_i</math> є власним вектором, пов’язаним із власним значенням <math>\lambda_i</math>. Визначимо <math>P</math> як матрицю, <math>i</math>-й стовпець якої є власним вектором <math>v_i</math>.

Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця <math>P</math> є оборотною.

* З цього випливає, що <math>\Sigma = P \Lambda^{1/2} P^{-1}</math>, оскільки <math>\Gamma= P \Lambda P^ {-1}</math>.

=== Другий спосіб моделювання ===
Відомо також, що <ref>Stochastic Analysis of the Fractional Brownian Motion, [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.201.5698&rep=rep1&type=pdf]</ref>

: <math>B_H (t)=\int_0^t K_H(t,s) \, {\rm d}B(s)</math>

де <math>B</math> - звичайний броунівський рух і

: <math>K_H(t,s)=\frac{(t-s)^{H-\frac{1}{2}}}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\;{}_2F_1\left (H-\frac{1}{2};  \frac{1}{2}-H;  H+\frac{1}{2};  1-\frac{t}{s} \right).</math>

Де <math>_2F_1</math> — [[гіпергеометрична функція]].

Скажімо, ми хочемо змоделювати <math>B_H(t)</math> в точках <math>0=t_0< t_1< \cdots < t_n=T</math>.

* Побудуємо вектор <math>n</math> чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

* Помножимо його покомпонентно на <math>\sqrt{T/n}</math>, щоб отримати прирости броунівського руху на <math>[0,T]</math>. Позначимо цей вектор <math> (\delta B_1, \ldots, \delta B_n)</math>.

* Для кожного <math> t_j</math> обчислимо

: <math> B_H (t_j)=\frac{n}{T}\sum_{i=0}^{j-1} \int_{t_i}^{t_{i+1}} K_H(t_j, s)\, {\rm d}s \ \delta B_i.</math>

Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.

== Примітки ==

{{reflist}}

== Див. також ==
* {{нп|Броунівська поверхня|Броунівська поверхня||Brownian surface}}
* {{нп|Дробово інтегрована авторегресія ковзного середнього|Дробово інтегрована авторегресія ковзного середнього||Autoregressive fractionally integrated moving average}}
* [[Мультифрактальна система]]
* [[Рожевий шум]]
* {{нп|Розподіли Твіді|Розподіли Твіді||Tweedie distributions}}

== Література ==

* {{citation|last=Beran|first=J.|year=1994|title=Statistics for Long-Memory Processes|publisher=Chapman & Hall|isbn=0-412-04901-5}}.
* Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", ''Journal of Times Series Analysis'', 24: 505&#x2013;511.
* {{cite thesis|last=Dieker|first=T.|year=2004|title=Simulation of fractional Brownian motion|url=http://www2.isye.gatech.edu/~adieker3/fbm/thesis.pdf|degree=|access-date=29 грудня 2012}}
* {{citation|first1=C. R.|last1=Dietrich|first2=G. N.|last2=Newsam|title=Fast and exact simulation of stationary Gaussian processes through circulant embedding of the covariance matrix.|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|year=1997|pages=1088&ndash;1107|volume=18|issue=4|doi=10.1137/s1064827592240555}}.
* {{citation|first=P.|last=Lévy|title=Random functions: General theory with special references to Laplacian random functions|series=University of California Publications in Statistics|volume=1|year=1953|pages=331&ndash;390}}.
* {{citation|first1=B.|last1=Mandelbrot|first2=J.W.|last2=van Ness|title=Fractional Brownian motions, fractional noises and applications|journal=SIAM Review|year=1968|pages=422&ndash;437|volume=10|issue=4|jstor=2027184|doi=10.1137/1010093|bibcode=1968SIAMR..10..422M}}.
* {{citation|first1=Steven|last1=Orey|year=1970|title=Gaussian sample functions and the Hausdorff dimension of level crossings|journal=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete|volume=15|issue=3|pages=249–256|doi=10.1007/BF00534922|s2cid=121253646}}.
* Perrin E. et al. (2001), "[http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=917808 nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises]", ''IEEE Transactions on Signal Processing'', 49: 1049-1059. {{doi|10.1109/78.917808}}
* Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), ''Stable Non-Gaussian Random Processes'', Chapter&nbsp;7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).

== Додаткова література ==

*{{citation| last= Sainty | first= P. | title= Construction of a complex‐valued fractional Brownian motion of order ''N'' | journal= Journal of Mathematical Physics | volume= 33 | issue= 9 | page= 3128 | year= 1992 | doi= 10.1063/1.529976| bibcode= 1992JMP....33.3128S }}.

[[Категорія:Автокореляція]]