Перегляд вихідного коду сторінки Дотична

[[Файл:Tangent to a curve.svg|thumb|Дотична (червона) до кривої]]
У [[геометрія|геометрії]], '''доти́чна пряма́''' (або просто '''доти́чна''') до [[крива|кривої]] в [[точка|точці]]&nbsp;— [[пряма]], яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Кажучи загальними словами, дотична пряма&nbsp;— це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення [[Січна|січної]].

== Історія ==
[[Евклід]] робив кілька посилань на дотичну ({{lang|grc|ἐφαπτομένη}} ''ephaptoménē'') до кола в третій книзі «''[[Начала Евкліда|Начал]]''» (бл. 300&nbsp;р. до н.&nbsp;е.).<ref>{{cite web|last1=Euclid|title=Euclid's Elements|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html}}</ref> У своєму творі «''Конічні перетини''» (бл. 225&nbsp;р. до н.&nbsp;е.), [[Аполлоній Перзький|Аполлоній]] визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.<ref>{{Cite news|title=Calculus and Analytic Geometry.|last=Ungar|first5=Howard|last4=Foulis|first4=D. J.|last3=Munem|first3=M. A.|last2=Shenk|first2=Al|first=Peter|url=http://dx.doi.org/10.2307/2323355|issue=3|volume=93|pages=221|doi=10.2307/2323355|issn=0002-9890|accessdate=2019-12-26|date=1986-03|work=The American Mathematical Monthly|last5=Anton}}</ref>

[[Архімед]] (бл. 287—212 до н.&nbsp;е.) знайшов дотичну до [[Спіраль Архімеда|архімедової спіралі]], розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/71006826|title=A history of mathematics : an introduction|last=Katz, Victor J.|date=2009|publisher=Addison-Wesley|edition=3rd ed|location=Boston|isbn=0-321-38700-7|oclc=71006826}}</ref>

У 1630-х роках [[П'єр Ферма]] розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з [[диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]] й використав її для обчислення дотичних до [[парабола|параболи]]. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між&nbsp;{{math|''f''(''x''+''h'')}} і {{math|''f''(''x'')}} та поділити її на {{mvar|h}}. Незалежно від нього, [[Рене Декарт]] використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що [[радіус]] кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|page=510}}</ref>

Ці методи призвели до розвитку [[Диференціальне числення|диференціального числення]] в [[XVII століття|XVII столітті]]. Багато людей зробили свій внесок. {{нп|Жиль де Роберваль|Жиль де Роберваль|en|Gilles de Roberval}} знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів.<ref>{{Cite news|title=The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents|url=http://www.jstor.org/stable/2695381?origin=crossref|work=The American Mathematical Monthly|date=2001-03|accessdate=2019-12-26|doi=10.2307/2695381|pages=206|volume=108|issue=3|first=Paul R.|last=Wolfson|archive-date=11 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161011140202/http://www.jstor.org/stable/2695381?origin=crossref}}</ref> {{нп|Рене-Франсуа де Слуз|Рене-Франсуа де Слуз|en|René-François de Sluse}} та {{нп|Йоганнес Гудде|Йоганнес Гудде|en|Johannes Hudde}} знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних.<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|pages=512–514}}</ref> Подальші розробки включали роботи [[Джон Валліс|Джона Валліса]] та [[Ісаак Барроу|Ісаака Барроу]], які використовувалися для створення теорії [[Ісаак Ньютон|Ісаака Ньютона]] та [[Ґотфрід Вільгельм Ляйбніц|Ґотфріда Ляйбніца]].

У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її».<ref>{{Cite book|url=http://dx.doi.org/10.1515/9780691189994-003|title=2. Noah Webster “The Wildest Innovator”|date=2019-12-31|series=The Dictionary Wars|publisher=Princeton University Press|location=Princeton|pages=21–40|isbn=978-0-691-18999-4}}</ref> Це старе визначення не дозволяє [[точка перегину|точкам перегину]] мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару [[нескінченно мала величина|нескінченно близьких]] точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці {{mvar|P}} називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки {{mvar|P}}.

== Дотична до кривої на площині ==
[[Файл:Graph of sliding derivative line.gif|thumb|250px|В кожній точці, пряма дотикається до кривої. Її кутовий коефіцієнт дорівнює похідній; області, де похідна додатна, від'ємна, а також рівна нулю позначені зеленим, червоним і чорним кольорами відповідно.]]
Якщо крива є [[графік функції|графіком]] [[неперервно диференційовна функція|неперервно диференційовної функції]] {{math|''f''}}, тобто її можна задати рівнянням <math>y = f(x),</math> то рівняння її дотичної в точці <math>P(x_0, y_0)</math> має наступний вигляд:
: <math>y = f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + f(x_0),</math>
де <math>f^{\prime}(x_0)</math>&nbsp;— значення [[похідна|похідної]] функції {{math|''f''}} у точці {{math|''x''<sub>0</sub>}}. Причому <math>f^{\prime}(x_0)</math> є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.

Нехай крива задана [[неявна функція|неявно]], а саме через рівняння <math>F(x, y) = 0,</math> причому в точці <math>P(x_0, y_0)</math> функція {{mvar|F}} має [[неперервна функція|неперервні]] [[частинна похідна|частинні похідні]] <math>F_x</math> й <math>F_y</math>, значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці {{mvar|P}} буде таким:
: <math>F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0.</math>

Якщо крива має регулярну [[параметризація (геометрія)|параметризацію]], тобто її можна задати [[вектор-функція|вектор-функцією]] <math>r(t) = (x(t), y(t)),</math> де {{mvar|x}} та {{mvar|y}}&nbsp;— неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці {{mvar|P}}, яка відповідає значенню параметра {{math|''t'' {{=}} ''t''<sub>0</sub>}}, має наступне векторно-параметричне рівняння:
: <math>R(t) = r(t_{0}) + r^{\prime}(t_0) \cdot t,</math>
де <math>r^{\prime}(t_0) = (x^{\prime}(t_0), y^{\prime}(t_0))</math>&nbsp;— [[дотичний вектор]] кривої (напрямний вектор дотичної).

=== Дотичні до кривих другого порядку ===
{| class="wikitable"
! Крива !! Рівняння кривої !! Рівняння дотичної в точці {{math|''P''(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}
|-
| [[Коло]] || <math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2</math> || <math>(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0</math>
|-
| [[Парабола]] || <math>y^2 = 2px</math> || <math>y_{0}y = p(x + x_0)</math>
|-
| [[Еліпс]] || <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> || <math>\frac{x_{0}x}{a^2} + \frac{y_{0}y}{b^2} = 1</math>
|-
| [[Гіпербола (математика)|Гіпербола]] || <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math> || <math>\frac{x_{0}x}{a^2} - \frac{y_{0}y}{b^2} = 1</math>
|}

== Дотична до кривої у просторі ==
Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією <math>r(t) = (x(t), y(t), z(t)),</math> де {{mvar|x}}, {{mvar|y}} та {{mvar|z}}&nbsp;— неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці {{mvar|P}}, яка відповідає значенню параметра {{math|''t'' {{=}} ''t''<sub>0</sub>}}, має векторно-параметричне рівняння <math>R(t) = r(t_{0}) + r^{\prime}(t_0) \cdot t,</math> де <math>r^{\prime}(t_0) = (x^{\prime}(t_0), y^{\prime}(t_0), z^{\prime}(t_0))</math>&nbsp;— дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке [[пряма#Канонічне рівняння прямої|канонічне рівняння]]:
: <math>\frac{x - x(t_0)}{x^{\prime}(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y^{\prime}(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z^{\prime}(t_0)}.</math>

Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь
: <math>\begin{cases}F(x, y, z) = 0 \\
\Phi(x, y, z) = 0\end{cases},</math>
де <math>F</math> та <math>\Phi</math>&nbsp;— неперервно диференційовні функції, для яких <math>[\nabla F, \nabla \Phi] \ne 0,</math> де квадратні дужки позначають [[векторний добуток]], а <math>\nabla F = (F_x, F_y, F_z)</math>&nbsp;— [[градієнт]] функції {{mvar|F}}. Тоді дотична в точці <math>P(x_0, y_0, z_0)</math> задається наступною системою рівнянь:
: <math>\begin{cases}F_{x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_{y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_{z}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 \\
\Phi_{x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \Phi_{y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \Phi_{z}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0\end{cases}.</math>
Причому <math>T = [\nabla F, \nabla \Phi](x_0, y_0, z_0)</math> є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:
: <math>\frac{x - x_0}{w_1} = \frac{y - y_0}{w_2} = \frac{z - z_0}{w_3},</math>
де {{math|''w''<sub>1</sub>}}, {{math|''w''<sub>2</sub>}} та {{math|''w''<sub>3</sub>}}&nbsp;— координати вектора {{mvar|T}}.

== Дотична площина до поверхні ==
{{main|Дотична площина}}
[[Файл:Image Tangent-plane.svg|220px|right|thumb|Дотична площина до сфери]]
''Дотичною площиною'' до [[поверхня|поверхні]] в точці <math>P(x_0, y_0, z_0)</math>, де поверхню можна задати таким рівнянням <math>F(x, y, z) = 0,</math> що {{mvar|F}}&nbsp;— неперервно диференційована функція, причому <math>\nabla F \ne 0</math> в точці {{mvar|P}}, називається [[площина]], яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку {{mvar|P}}.

Рівняння цієї площини має наступний вигляд:
: <math>F_{x}(x_0, y_0, z_0) (x - x_0) + F_{y}(x_0, y_0, z_0) (y - y_0) + F_{z}(x_0, y_0, z_0) (z - z_0) = 0.</math>

Причому <math>\nabla F</math> в точці {{mvar|P}} є напрямним вектором [[нормаль (геометрія)|нормалі]] до дотичної площини.

== Дотичний простір до гладкого многовиду ==
{{main|Дотичний простір}}
Поняття дотичної можна узагальнити на довільний [[гладкий многовид]]. ''Дотичним простором'' до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює [[лінійний простір]], розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.

== Див. також ==
* [[Тригранник Френе]]
* [[Метод дотичних]]
* [[Стичне коло]]
* [[Стична площина]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Книга
 |автор=[[Борисенко Олександр Андрійович|Борисенко, О. А.]]
 |назва=Аналітична геометрія: [Навч. посібник для університетів]
 |посилання = 
 |рік=1993
 |місце = Харків
 |видавництво = Основа
 |isbn=5-7768-0002-7
 |сторінок=192
}}
* {{Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія}}
* {{Книга
 |автор=О. Пришляк, Н. Лукова
 |назва=Диференціальна геометрія та топологія. Курс лекцій
 |посилання = https://www.researchgate.net/publication/364060152_Diferencialna_geometria_ta_topologia_Kurs_lekcij
 |рік=2012
}}
* {{Книга
 |автор=Ямпольський О.Л.
 |назва=Диференцiальна геометрiя. Базовий курс лекцiй
 |посилання=http://geometry.karazin.ua/resources/documents/20190608132822_35a2040.pdf
 |archivedate=26 листопада 2019
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20191126132527/http://geometry.karazin.ua/resources/documents/20190608132822_35a2040.pdf
}}
* {{Книга
 |автор=Величко І.Г., Гургєнідзе М.О., Стєганцева П.Г.
 |назва=Диференціальна геометрія кривих та поверхонь: Навчально-методичний посібник до індивідуальної та самостійної роботи для студентів II курсу математичного факультету
 |посилання = https://sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2013/05/3817_1369908815_metodichka_diff_geom_i_topologia.pdf
 |рік=2009
 |місце = Запоріжжя
 |видавництво = ЗНУ
 |сторінок=76
 |archivedate=19 серпня 2019
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190819135005/http://sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2013/05/3817_1369908815_metodichka_diff_geom_i_topologia.pdf
}}

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53396/10503.html  Дотична]}}
* {{springer|title=Tangent line|id=p/t092170}}
* {{MathWorld|title=Tangent Line|urlname=TangentLine}}

{{Бібліоінформація}}
{{Портали|Математика}}
[[Категорія:Диференціальна геометрія кривих]]
[[Категорія:Диференціальна топологія]]
[[Категорія:Аналітична геометрія]]