Перегляд вихідного коду сторінки Додавання матриць

У [[математика|математиці]], '''додавання матриць'''&nbsp;— це операція додавання двох [[матриця (математика)|матриць]], що розраховується за допомогою додавання відповідних елементів. Однак існують й інші операції, які також можуть розглядатися як додавання матриць: пряма сума{{Перехід|#Пряма сума}} та [[добуток Кронекера#Сума та експонента Кронекера|сума Кронекера]].

== Процес додавання ==
Для додавання дві матриці повинні мати відповідну кількість рядків та стовпчиків.<ref>Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53</ref> Сумою двох матриць '''A''' та '''B''' буде матриця з такою ж кількістю рядків та стовпців, що й у початкових матрицях. Сума '''A''' та '''B''', що записується як '''A''' + '''B''', розраховується за допомогою додавання відповідних елементів '''A''' та '''B''':{{sfn |Lipschutz |Lipson}}<ref>{{cite book |title=Mathematical methods for physics and engineering |first1=K.F. |last1=Riley |first2=M.P.|last2=Hobson |first3=S.J. |last3=Bence | publisher=Cambridge University Press |year=2010 |isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>

: <math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!</math>

Наприклад:

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 \\
    0 & 7 \\
    9 & 8
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    2 & 2 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 8+0 \\
    0+2 & 7+2 \\
    9+0 & 8+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 \\
    2 & 9 \\
    9 & 9
  \end{bmatrix}
</math>

Також можна відняти одну матрицю від іншої, якщо вони мають однаковий розмір. '''A''' &minus; '''B''' розраховується як віднімання відповідних елементів '''A''' та '''B'''. Матриця, що утвориться в результаті, буде мати такий самий розмір, як і '''A''' та '''B'''. Наприклад:

: <math>
\begin{bmatrix}
 1 & 7 \\
 1 & 2 \\    
 9 & 8
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 0 & 5 \\
 0 & 5 \\
 9 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1-0 & 7-5 \\
 1-0 & 2-5 \\
 9-9 & 8-7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1 & 2 \\
 1 & -3 \\
 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

: Основні властивості операцій додавання матриць:
:* A + B = B + A ([[комутативність]]).
:* A + (B + C) = (A + B) + C ([[асоціативність]]).
:* A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A), така, що A + (-A) = 0.

== Пряма сума ==
Іншою операцією, що використовується рідше, є пряма сума (позначається ⊕). Зверніть увагу, що сума Кронекера також позначається ⊕; зрозуміти, яка операція мається на увазі, зазвичай можна з контексту. Пряма сума будь-якої пари матриць '''A''' розміру ''m'' &times; ''n'' та '''B''' розміру ''p'' &times; ''q''&nbsp;— це матриця розміру (''m'' + ''p'') &times; (''n'' + ''q''), що визначається як<ref>{{MathWorld |id=MatrixDirectSum |title=Matrix Direct Sum}}</ref>{{sfn |Lipschutz |Lipson}}

: <math>
  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq}
  \end{bmatrix}
</math>

Наприклад,

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

Прямою сумою матриць є спеціальний вид [[блочна матриця|блочної матриці]], зокрема пряма сума квадратних матриць&nbsp;— [[блочна матриця#Блочні діагональні матриці|блочна діагональна матриця]].

Загалом, пряма сума ''n'' матриць визначається як:{{sfn |Lipschutz |Lipson}}
: <math>
\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = {\rm diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3 \cdots \mathbf{A}_n)=
\begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\
\end{bmatrix}\,\!</math>
де нулі є фактично блоками нулів, тобто нульовими матрицями.

== Сума Кронекера ==
{{main article|Добуток Кронекера}}

Сума Кронекера відрізняється від прямої суми, але також позначається ⊕. Вона розраховується за допомогою [[Добуток Кронекера|добутка Кронекера]] ⊗ та звичайного додавання матриць. Якщо ''A''&nbsp;— матриця розміру ''n''×''n'', ''B''&nbsp;— матриця розміру ''m''×''m'' і <math>I_k</math>&nbsp;— [[одинична матриця]] розміру ''k''×''k'' тоді ми можемо визначити суму Кронекера <math>\oplus</math> як
: <math> \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}. </math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{cite book |ref=harv |title=Linear Algebra |url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3 |first1=S. |last1=Lipschutz |first2=M. |last2=Lipson |series=Schaum's Outline Series |year=2009 |isbn=978-0-07-154352-1}}
*{{PlanetMath|urlname=DirectSumOfMatrices}} 
* [http://drexel28.wordpress.com/2010/12/22/direct-sum-of-linear-transformations-and-direct-sum-of-matrices-pt-iii/ Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120426083541/http://drexel28.wordpress.com/2010/12/22/direct-sum-of-linear-transformations-and-direct-sum-of-matrices-pt-iii/ |date=26 квітня 2012 }} {{ref-en}}
* [http://www.mymathlib.com/matrices/arithmetic/direct_sum.html Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170309080123/http://www.mymathlib.com/matrices/arithmetic/direct_sum.html |date=9 березня 2017 }} {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20120514184901/http://www.aps.uoguelph.ca/~lrs/ABMethods/NOTES/CDmatrix.pdf Matrix Algebra and R] {{ref-en}}

[[Категорія:Білінійні оператори]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]