Перегляд вихідного коду сторінки Добуток Кронекера

'''Добуток Кронекера'''&nbsp;— [[бінарна операція]] над [[матриця (математика)|матрицями]] довільного розміру, позначається <math>\otimes</math>. Результатом є [[блочна матриця]].

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика [[Леопольд Кронекер|Леопольда Кронекера]].

== Визначення ==
Якщо ''A''&nbsp;— матриця розміру ''m''×''n'', ''B''&nbsp;— матриця розміру ''p''×''q'', тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру ''mp''×''nq''
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.</math>

== Білінійність, асоціативність та некомутативність ==
* Добуток Кронекера є частковим випадком [[тензор]]ного добутку, отже він є [[білінійне відображення|білінійним]] та [[асоціативність|асоціативним]]:
: <math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C, </math>
: <math> (A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C, </math>
: <math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math>
: <math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>
:: де ''A'', ''B'' та ''C'' є матрицями, а ''k''&nbsp;— скаляр.

* Добуток Кронекера не є [[комутативність|комутативним]]. Хоча, завжди існують такі [[матриця перестановки|матриці перестановки]] ''P'' та ''Q'', що
: <math> A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.</math>

Якщо ''A'' та ''B'' [[квадратна матриця|квадратні матриці]], тоді ''A'' <math>\otimes</math> ''B'' та ''B'' <math>\otimes</math> ''A'' є перестановочно [[подібні матриці|подібними]], тобто, ''P'' = ''Q''<sup>T</sup>.

: <math> A \otimes B = (I \otimes B )(A \otimes I)</math>, де <math> I </math> - одинична матриця.

== Транспонування ==
Операція [[транспонування матриці|транспонування]] є дистрибутивною відносно добутку Кронекера
: <math>(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.</math>

== Мішаний добуток ==
* Якщо ''A'', ''B'', ''C'' та ''D'' є матрицями такого розміру, що існують добутки ''AC'' та ''BD'', тоді
: <math> (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD. </math>

* ''A'' <math>\otimes</math> ''B'' є [[обернена матриця|оборотною]] тоді і тільки тоді коли ''A'' та ''B'' є оборотними, і тоді
: <math> (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}. </math>

== Сума та експонента Кронекера ==
* Якщо ''A''&nbsp;— матриця розміру ''n''×''n'', ''B''&nbsp;— матриця розміру ''m''×''m'' і <math>I_k</math>&nbsp;— [[одинична матриця]] розміру ''k''×''k'' тоді ми можемо визначити суму Кронекера <math>\oplus</math>, як
: <math> A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B. </math>

* Також справедливо
: <math> e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B. </math>

== Спектр, слід та визначник ==
* Якщо ''A'' та ''B'' квадратні матриці розміру ''n'' та ''q'' відповідно. Якщо λ<sub>1</sub>, …, λ<sub>''n''</sub>&nbsp;— [[власні значення матриці]] ''A'' та μ<sub>1</sub>, …, μ<sub>''q''</sub> власні значення матриці ''B''. Тоді власними значеннями ''A'' <math>\otimes</math> ''B'' є
: <math> \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q. </math>

* Слід та визначник добутку Кронекера рівні
: <math> \operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B), </math>
: <math> \det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n. </math>

== Сингулярний розклад та ранг ==
* Якщо матриця ''A'' має ''r''<sub>''A''</sub> ненульових [[Сингулярне представлення матриці|сингулярних значень]]:
: <math> \sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A. </math>
Ненульові сингулярні значення матриці ''B'':
: <math> \sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B. </math>

Тоді добуток Кронекера ''A'' <math>\otimes</math> ''B'' має ''r''<sub>''A''</sub>''r''<sub>''B''</sub> ненульових сингулярних значень
: <math> \sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B. </math>

* [[Ранг матриці]] рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
: <math> \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B). </math>

==Блокові версії добутку Кронекера == 

У випадку блочних матриць можуть використовуватися операції, які пов'язані з добутком Кронекера однак відрізняються порядком перемноження блоків. Такими операціями є добуток Трейсі – Сінгха ({{lang-en|Tracy–Singh product}}) і [[добуток  Хатрі-Рао]].

=== Добуток Трейсі-Сінгха ===
Вказана операція множення блокових матриць полягає в тому, що кожен блок лівої матриці множиться послідовно на блоки правої матриці. При цьому формується структура нової матриці, яка відрізняється від характерної для добутку Кронекера.
Добуток Трейсі - Сінгха визначається як<ref>{{cite journal |last=Tracy |first=D. S. |last2=Singh |first2=R. P. |year=1972 |title=A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation |journal=Statistica Neerlandica |volume=26 |issue=4 |pages=143–157 |doi=10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x }}</ref><ref>{{cite journal |last=Liu |first=S. |year=1999 |title=Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products |journal=Linear Algebra and Its Applications |volume=289 |issue=1–3 |pages=267–277 |doi=10.1016/S0024-3795(98)10209-4 }}</ref>

:<math>\mathbf{A} \circ \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}_{ij} \circ \mathbf{B}\right)_{ij} = \left(\left(\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}</math>

Наприклад:
:<math> \mathbf{A} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} {c c | c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{B} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} {c | c c}
1 & 4 & 7 \\
\hline
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{array}
\right]
,
</math>

:<math>\begin{align}
  \mathbf{A} \circ \mathbf{B} 
  = \left[\begin{array} {c | c}
      \mathbf{A}_{11} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{12} \circ \mathbf{B} \\
      \hline
      \mathbf{A}_{21} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{22} \circ \mathbf{B}
    \end{array}\right]
  ={} &\left[\begin{array} {c | c | c | c}
         \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
         \hline
         \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{22} \\
         \hline
         \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{22}          \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
         \hline
         \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22}
  \end{array}\right] \\
  ={} &\left[\begin{array} {c c | c c c c | c | c c}
          1 &  2 &  4 &  7 &  8 & 14 &  3 & 12 & 21 \\
          4 &  5 & 16 & 28 & 20 & 35 &  6 & 24 & 42 \\
          \hline
          2 &  4 &  5 &  8 & 10 & 16 &  6 & 15 & 24 \\
          3 &  6 &  6 &  9 & 12 & 18 &  9 & 18 & 27 \\
          8 & 10 & 20 & 32 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\
         12 & 15 & 24 & 36 & 30 & 45 & 18 & 36 & 54 \\
         \hline
          7 &  8 & 28 & 49 & 32 & 56 &  9 & 36 & 63 \\
         \hline
         14 & 16 & 35 & 56 & 40 & 64 & 18 & 45 & 72 \\
         21 & 24 & 42 & 63 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81
       \end{array}\right].
\end{align}</math>

=== Добуток Хатрі-Рао ===
 {{main|добуток Хатрі-Рао}}
Даний варіант добутку визначений для матриц з однаковою блоковою структурою. Він передбачає, що операція кронекерівського добутку виконується поблоково, в межах однойменних матричних блоків  за аналогією з поелементним [[добуток Адамара|добутком Адамара]], тільки при цьому в якості елементів задіяні блоки матриць, а для переноження блоків використовується добуток Кронекера.

=== Торцевий добуток ===
{{main|торцевий добуток}}
''Властивості мішаних добутків'':<br/> 
<math>\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}\bull \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) \bull \mathbf{C}</math><ref name=slyusar>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=27 грудня 1996|title=End products in matrices in radar applications.|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3|pages=50–53|accessdate=11 серпня 2020|archive-date=27 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200727055858/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf}}</ref>, де  <math>\bull</math> означає [[торцевий добуток]] <br/>

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \bull (\mathbf{B} \mathbf{D})</math><ref name=slyusar2>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=13 березня 1998|title=A Family of Face Products of Matrices and its Properties|url=http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|journal=Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999.|volume=35|issue=3|pages=379–384|doi=10.1007/BF02733426|accessdate=11 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125144927/http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf}}</ref><ref name=lecture>{{Cite news|url=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.2.31620.76164/1|title=New Matrix Operations for DSP|first1=Vadym|last1=Slyusar|date=1999|pages=|language=en|work=[[]]|volume=|doi=10.13140/RG.2.2.31620.76164/1|pmc=|pmid=|issue=|issn=|access-date=2024-12-20}}</ref>,<br/>

За аналогією:<br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}) \bull (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S})</math>,

<math>c^\textsf{T} \bull d^\textsf{T} = c^\textsf{T} \otimes d^\textsf{T} </math><ref name="DIPED">{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=1997-09-15|title=New operations of matrices product for applications of radars|url=http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf|journal=Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.|pages=73–74|accessdate=11 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125144223/http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf}}</ref>, де <math>c</math> і <math>d</math> - [[Вектор (математика)|вектор]]и,<br/>

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(c \otimes d) = (\mathbf{A}c) \circ (\mathbf{B}d)</math><ref name=tensorsketch>Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, [https://www.semanticscholar.org/paper/Almost-Optimal-Tensor-Sketch-Ahle-Knudsen/40915be6e472f691762003117c778226cfc480f6 ArXiv] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200728171740/https://www.semanticscholar.org/paper/Almost-Optimal-Tensor-Sketch-Ahle-Knudsen/40915be6e472f691762003117c778226cfc480f6 |date=28 липня 2020 }}</ref>,<br/>
Аналогічно:
: <math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{M}\mathbf{N}c \otimes \mathbf{Q}\mathbf{P}d) = (\mathbf{A}\mathbf{M}\mathbf{N}c) \circ (\mathbf{B}\mathbf{Q}\mathbf{P}d),</math>

<math>\mathcal F(C^{(1)}x \star C^{(2)}y) =(\mathcal F C^{(1)} \bull \mathcal F C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal F C^{(1)}x \circ \mathcal F C^{(2)}y  </math>,<br/> 
де <math>\star</math> означає векторну [[Згортка_(математичний_аналіз)|згортку]], а <math>\mathcal F</math> є матрицею дискретного [[перетворення Фур'є]]<ref name="ninh">{{cite conference 
| title = Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps
| last1 = Ninh
| first1 = Pham
| last2 = Rasmus
| first2 = Pagh
| date = 2013
| publisher = Association for Computing Machinery
| conference = SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining
|doi = 10.1145/2487575.2487591}}
</ref>,

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{K} \ast \mathbf{T}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{K}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{T})</math><ref name=slyusar2 /><ref name=lecture />, 
де <math>\ast</math> означає [[добуток Хатрі-Рао#Стовпцевий добуток Хатрі-Рао|стовпцевий добуток Хатрі-Рао]]<br/>

Окрім того:<br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(c \otimes d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}d)</math>,

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{P}c \otimes \mathbf{Q}d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{P}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{Q}d)</math>, де <math>c</math> і <math>d</math> - вектори.

== Див. також ==
* [[Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера]]
* [[Добуток Хатрі-Рао]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Теорія матриць]]