Перегляд вихідного коду сторінки Диференціальне та інтегральне числення

{{Calculus}}
'''Диференціальне та інтегральне числення''' ({{lang-en|Calculus}}, від {{lang-la|calculus}}, дослівно ''«невеликий камінчик»''&nbsp;— такий, що в [[Абак (рахівниця)|рахівницях]], який використовувався для підрахунку)<ref name="oxdic">{{cite web|title=Calculus|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/calculus|website=OxfordDictionaries|accessdate=15 вересня 2017|archive-date=14 липня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160714032847/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/calculus}}</ref>&nbsp;— [[розділи математики|розділ математики]], що вивчає збіжності [[Послідовність|послідовностей]] і [[Ряд (математика)|рядів]], неперервні [[Функція (математика)|дійсні функції]] й [[Диференціальне числення|диференціальне]] та [[Інтегральне числення|інтегральне]] числення дійсних функцій однієї змінної. Традиційно в інших країнах курс «числення» є вступом до [[Математичний аналіз|математичного аналізу]] та інших курсів, які використовують диференціальне й інтегральне числення.

Диференціальне та інтегральне числення вивчає змінні, як [[геометрія]] вивчає форми, а [[алгебра]]&nbsp;— операції та їх застосування для розв'язання рівнянь. Його широко застосовують у науці, економіці й інженерії, до того ж використовують під час розв'язання багатьох задач, для яких однієї алгебри недостатньо.

Історично склалося так, що диференціальне та інтегральне числення називали ''«численням нескінченно малих»''. Прикладами інших відомих числень є: [[числення висловлювань]], [[варіаційне числення]], [[лямбда-числення]] тощо.

== Історія ==
Сучасна теорія диференціального числення була розроблена в 17-му столітті в Європі [[Ісаак Ньютон|Ісааком Ньютоном]] і [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем]] (незалежно один від одного, і публікували це вперше приблизно в однаковий час), але елементи цієї теорії з'явилися ще в стародавній Греції, потім в Китаї і Середньому Сході, і згодом знов у середньовічній Європі і Індії.

=== Стародавні часи ===
[[File:Parabolic segment and inscribed triangle.svg|thumb|150px|right|Архімед використав [[метод вичерпування]] для розрахунку площі під кривою параболи.]]
В стародавньому періоді історії з'явилися деякі ідеї, які згодом привели до появи [[Інтеграл|інтегрального]] числення, але ці ідеї не розвинулися у точну і систематизовану теорію. Розрахунок [[об'єм]]у і [[площа|площі]], що є однією із задач інтегрального числення, було знайдено у одному з [[Математика в Стародавньому Єгипті|єгипетських]] [[Московський математичний папірус|математичних папірусів]] ([[Тринадцята династія єгипетських фараонів|13-ї династії]], близько 1820&nbsp;р.&nbsp;до&nbsp;н.е.), але наведені формули є простими інструкціями, без описання методу, і в ньому бракує деяких основних компонент.<ref>Morris Kline, ''[https://books.google.com/books?id=-OsRDAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false Mathematical thought from ancient to modern times] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190421114228/https://books.google.com/books?id=-OsRDAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |date=21 квітня 2019 }}'', Vol. I</ref> В епоху [[Давньогрецька математика|давньогрецьких математиків]], [[Евдокс Кнідський|Евдокс]] (близько 408–355&nbsp;р.&nbsp;до&nbsp;н.е.) використовував [[метод вичерпування]], що є попередником поняття границі, для розрахунку площ і об'ємів, а [[Архімед]] (близько 287–212&nbsp;до&nbsp;н.е.) {{нп|Метод механічних теорем|розвинув цю ідею далі|en|The Method of Mechanical Theorems}}, і заснував методи [[Евристика|евристики]], які нагадують методи інтегрального числення.<ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes'' {{isbn|978-0-521-66160-7}}</ref> [[Метод вичерпування]] згодом незалежно від того було відкрито в [[Китайська математика|Китаї]] математиком [[Лю Хуей]] у 3-му столітті н.е. для того, щоб знайти площу кола.<ref>{{cite journal|series=Chinese studies in the history and philosophy of science and technology|volume=130|title=A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles|first1=Liu|last1=Dun|first2=Dainian|last2=Fan|first3=Robert Sonné|last3=Cohen|publisher=Springer|year=1966|isbn=0-7923-3463-9|page=279|url=https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC|journal=|accessdate=14 березня 2018|archive-date=17 червня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160617055211/https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC}},[https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC&pg=PA279 Chapter , p. 279] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160526221958/https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC&pg=PA279 |date=26 травня 2016 }}</ref> В 5-му столітті н.е., {{нп|Цзу Генчжи||en|Zu Gengzhi}}, син [[Цзу Чунчжи]], заснував метод<ref>{{cite book|last1=Katz|first1=Victor J.|title=A history of mathematics|date=2008|publisher=Addison-Wesley|location=Boston, Mass.|isbn=0-321-38700-7|pages=203|edition=3rd}}</ref><ref>{{cite book|title=Calculus: Early Transcendentals|edition=3|first1=Dennis G.|last1=Zill|first2=Scott|last2=Wright|first3=Warren S.|last3=Wright|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=2009|isbn=0-7637-5995-3|page=xxvii|url=https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C|accessdate=14 березня 2018|archive-date=21 квітня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190421114229/https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C}} [https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27 Extract of page 27] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190421114230/https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27 |date=21 квітня 2019 }}</ref>для знаходження об'єму [[Сфера|сфери]], який згодом назвали [[Принцип Кавальєрі|принципом Кавальєрі]].

=== Середньовіччя ===
У Середньому Сході, [[Ібн аль-Хайсам]] (близько 965 – 1040 н.е.) отримав формулу для суми четвертих степенів. Він отримав результат, який би зараз назвали [[Інтеграл|інтегруванням]] функції, і використав цю отриману формулу для розрахунку об'єму [[параболоїд]]а.<ref name=katz>Katz, V. J.  1995.  "Ideas of Calculus in Islam and India."  ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.</ref> В 14-му столітті, індійські математики створили не строгий метод, що нагадує диференціювання, що застосовувався до деяких тригонометричних функцій. Таким чином, [[Мадхава із Сангамаграми]] і [[Керальська школа астрономії та математики]] започаткували елементи числення. Повна теорія, яка містить ці компоненти тепер добре відома Західному світу як ''[[Ряд Тейлора]]'' або наближення ''[[Ряд (математика)|нескінченних рядів]]''.<ref>{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html|title=Indian mathematics|publisher=|accessdate=14 березня 2018|archive-date=3 липня 2006|archive-url=https://web.archive.org/web/20060703002618/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html}}</ref> Однак, вони не змогли "об'єднати багато з цих різних ідей за допомогою двох загальних тепер понять [[Похідна|похідної]] і [[інтеграл]]а, показати зв'язок між ними двома, і не змогли перетворити числення у потужній інструмент вирішення задач, який ми маємо сьогодні".<ref name=katz/>

=== Сучасні часи ===
{{quote box|width=30em|align=right|quote="Числення було першим досягненням сучасної математики і важко переоцінити його значимість. Я думаю, воно дає більш однозначні визначення ніж інші, і є початком сучасної математики, системою математичного аналізу, що є логічним розвитком, і як раніше втілює найбільший технічний розвиток точного мислення."|source=—[[Джон фон Нейман]]<ref>von Neumann, J., "The Mathematician", in Heywood, R. B., ed., ''The Works of the Mind'', University of Chicago Press, 1947, pp. 180–196.  Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., ''The Neumann Compedium'', World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, {{isbn|981-02-2201-7}}, pp. 618–626.</ref>}}

В Європі фундаментальною роботою в цьому напряму був трактат [[Бонавентура Кавальєрі]], який запропонував, що об'єми і площі треба розраховувати як суму об'ємів і площ нескінченно тонких розділених частин. Ідеї були схожими на ідеї Архімеда в праці ''{{нп|Метод механічних теорем|Метод|en|The Method of Mechanical Theorems}}'', але вважають що цей трактат було втрачено в 13-му столітті, і його знову було знайдено на початку 20-го століття, тому Кавальєрі він був не відомим. Роботу Кавальєрі спочатку не набула загального визнання, оскільки його метод міг призвести до неправильних результатів, а нескінченно малі які він запропонував спочатку не сприйняті.

Приблизно в той самий час, разом із формальним дослідженням числення нескінченно малих Кавальєрі в Європі розвивалося поняття [[Скінченні різниці|числення скінченних різниць]]. [[П'єр Ферма]], стверджуючи що позичив це у [[Діофант Александрійський|Діофанта]], запропонував поняття {{нп|Наближена рівність|наближеної рівності|en|adequality}}, що означало рівність до деякої нескінченно малої похибки.<ref>[[Андре Вейль|André Weil]]: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, {{isbn|0-8176-4565-9}}, p. 28.</ref> Поєднати це змогли [[Джон Валліс]], [[Ісаак Барроу]], і [[Джеймс Грегорі]], які згодом довели [[Формула Ньютона — Лейбніца|другу частину фундаментальної теореми числення]] близько 1670 р.

[[File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|200px|right|[[Ісаак Ньютон]] дослідив і використав числення у своїй роботі з [[Закони Ньютона|законів динаміки]] і [[Гравітація|гравітації]].]]

Такі поняття як [[правило добутку]] і [[Диференціювання складної функції|ланцюгове правило]],<ref>{{cite book |title=Calculus: Single Variable, Volume 1 |edition=illustrated |first1=Brian E. |last1=Blank |first2=Steven George |last2=Krantz |publisher=Springer Science & Business Media |year=2006 |isbn=978-1-931914-59-8 |page=248 |url=https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C |accessdate=30 березня 2018 |archive-date=21 квітня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190421114242/https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C }} [https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA248 Extract of page 248] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190421114252/https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA248 |date=21 квітня 2019 }}</ref> нотації [[Похідна#Похідні вищих (старших) порядків|похідних вищого порядку]] і [[Ряд Тейлора|ряди Тейлора]],<ref>{{cite book |title=The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s |edition=illustrated |first1=Giovanni |last1=Ferraro |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-387-73468-2 |page=87 |url=https://books.google.com/books?id=vLBJSmA9zgAC |accessdate=30 березня 2018 |archive-date=29 травня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210529072644/https://books.google.com/books?id=vLBJSmA9zgAC }} [https://books.google.com/books?id=vLBJSmA9zgAC&pg=PA87 Extract of page 87] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190421114243/https://books.google.com/books?id=vLBJSmA9zgAC&pg=PA87 |date=21 квітня 2019 }}</ref> і [[Аналітична функція|аналітичні функції]] були запропоновані [[Ісаак Ньютон|Ісааком Ньютоном]] у вигляді ідиосинкратичної нотації, яку Ньютон використовував для вирішення задач [[Математична фізика|математичної фізики]]. У своїй роботі, Ньютон перефразував свої ідеї так, щоб вони відповідали математичним ідіомам того часу, замінивши розрахунки нескінченномалих еквівалентними геометричними аргументами, які, як вважалося, були поза сумнівами. Він використав методи числення для вирішення задачі руху планет, форми поверхні рідини, яка обертається, сплющеності Землі, переміщення ваги, що рухається по [[Циклоїда|циклоїді]], і для багатьох інших задач, що описав у своїй роботі з ''[[Математичні начала натуральної філософії|Начал математики]]'' (1687). В іншій роботі, він дослідив розкладання функцій за допомогою рядів, включаючи дробові і ірраціональні степені, і було очевидно, що він зрозумів принципи [[Ряд Тейлора|рядів Тейлора]]. Він не опублікував ці дослідження, і в той час методи числення нескінченномалих досі піддавалися дискусіям.

[[File:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|200px|left|[[Готфрід Вільгельм Лейбніц]] був першим, хто опублікував свої результати з дослідження методів числення.]]

[[Готфрід Вільгельм Лейбніц]] впорядкував ці ідеї у справжнє числення нескінченномалих, хоча спочатку його звинувачували в [[Плагіат|плагіаті]] Ньютона.<ref name=leib>Leibniz, Gottfried Wilhelm. ''The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz''. Cosimo, Inc., 2008.  Page 228. [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=7d8_4WPc9SMC&oi=fnd&pg=PA3&dq=Gottfried+Wilhelm+Leibniz+accused+of+plagiarism+by+Newton&ots=09h9BdTlbE&sig=hu5tNKpBJxHcpj8U3kR_T2bZqrY#v=onepage&q=plagairism&f=false|Online Copy] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170716233344/https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=7d8_4WPc9SMC&oi=fnd&pg=PA3&dq=Gottfried+Wilhelm+Leibniz+accused+of+plagiarism+by+Newton&ots=09h9BdTlbE&sig=hu5tNKpBJxHcpj8U3kR_T2bZqrY#v=onepage&q=plagairism&f=false{{!}}Online |date=16 липня 2017 }}</ref> Тепер його вважають незалежним розробником, що вніс свій вклад в розвиток числення. Його вкладом було те, що він надав чіткий набір правил для роботи із нескінченномалими величинами, що дозволили розраховувати похідні другого і вищих порядків, і сформулював [[правило добутку]] і [[Диференціювання складної функції|ланцюгове правило]], в диференційній і інтегральній формах. На відміну від Ньютона, Лейбніц приділив увагу формалізму, часто витрачаючи на це цілі дні для пошуку правильних позначень для понять.

Сьогодні, обидва [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] і [[Ісаак Ньютон|Ньютон]] відзначені за свій незалежний вклад у започаткуванні числення. Ньютон був першим, хто застосував методи числення до загальної [[фізика|фізики]], а Лейбніц розробив більшість нотацій, що використовуються сьогодні. Базовими уявленнями, які сформулювали обидва Ньютон і Лейбніц були правила диференціювання і інтегрування, похідні другого і вищих порядків, і нотації наближення за допомогою поліноміальних рядів. За часів Ньютона фундаментальна теорема числення вже була відома.

Коли Ньютон і Лейбніц опублікували вперше свої результати, відбулася велика суперечка щодо того, хто з математиків заслужив визнання за відкриття. Ньютон отримав свої результати першим (і згодом опублікував у роботі ''[[Метод флюксій]]''), але Лейбніц опублікував свою роботу "{{нп|Nova Methodus pro Maximis et Minimis||en|Nova Methodus pro Maximis et Minimis}}" раніше за нього. Ньютон звинуватив Лейбніца, що той вкрав його ідеї з його не опублікованих записів, якими Ньютон поділився із декількома членами [[Лондонське королівське товариство|Лондонського королівського товариства]]. Ця полеміка розділяла англомовних математиків від математиків континентальної Європи багато років, що завдало шкоди англійській математиці. Уважне вивчення статей Лейбніца і Ньютона показує, що вони прийшли до своїх результатів незалежно, і в них Лейбніц спершу почав із інтегрування а Ньютон з диференціювання. Однак саме Лейбніц дав цій новій дисципліні її сучасну назву. Ньютон називав це  "наукою про флюксії".

Із часів Лейбніца і Ньютона, багато математиків зробили свій внесок в розвиток числення. Одну із перших і більш повних робіт із числення нескінченномалих і [[Інтеграл|інтегрального числення]] написала [[Марія Ґаетана Аньєзі]] в 1748 р..<ref>{{cite book |title=A Biography of Maria Gaetana Agnesi, an Eighteenth-century Woman Mathematician |edition=illustrated |first1=Antonella |last1=Cupillari |publisher=Edwin Mellen Press |year=2007 |isbn=978-0-7734-5226-8 |page=iii |url=https://books.google.com/books?hl=en&id=urEfAQAAIAAJ&focus=searchwithinvolume&q=most+complete |contributor-last=Allaire |contributor-first=Patricia R. |contribution=Foreword |accessdate=30 березня 2018 |archive-date=16 липня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170716233430/https://books.google.com/books?hl=en&id=urEfAQAAIAAJ&focus=searchwithinvolume&q=most+complete }}</ref><ref>{{cite web| url=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| title=Maria Gaetana Agnesi| first=Elif| last=Unlu| date=April 1995| publisher=Agnes Scott College| accessdate=30 березня 2018| archive-date=3 грудня 1998| archive-url=https://web.archive.org/web/19981203075738/http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm}}</ref>
[[File:Maria Gaetana Agnesi.jpg|thumb|150px|right|[[Марія Ґаетана Аньєзі]]]]

== Основоположення ==
=== Границі і нескінченно малі ===
{{Main|Границя функції в точці|Нескінченно мала величина}}
Методи числення зазвичай розвивалися при роботі із дуже малими значеннями. Історично, перші методи, за допомогою яких це вирішувалося, вивчали [[Нескінченно мала величина|нескінченно малі величини]]. Це такі об'єкти, які можна розглядати як дійсні числа, але які, в деякому сенсі, є "нескінченно малими". Наприклад, нескінченно мале може бути більшим за 0, але меншим за будь-яке число у послідовності 1, 1/2, 1/3, ... і таким чином менше ніж будь-яке додатне [[дійсні числа|дійсне число]]. З цієї точки зору, числення це набір методів з маніпуляції нескінченно малими. Позначення ''dx'' і ''dy'' були прийняті для описання нескінченно малої, а похідна <math>dy/dx</math> є їх відношенням.

Підхід із використанням нескінченно малих перестав бути популярним в 19-му столітті, оскільки було важко точно сформулювати поняття нескінченно малої. Однак, поняття було відроджене в 20-му столітті із появою [[Нестандартний аналіз|нестандартного аналізу]] і {{нп|гладкого аналізу нескінченно малих||en|smooth infinitesimal analysis}}, які заклали основи для операцій над нескінченно малими.

В 19-му столітті, принцип нескінченно малих замінив підхід із [[(ε, δ)-визначення границі|величинами епсилон і дельта]], що застосовується до [[Границя функції в точці|границь]]. Границі описують значення [[Функція (математика)|функції]] у певній точці у термінах її значень у сусідніх точках. Вони задають поведінку у малому проміжку у контексті [[дійсні числа|системи дійсних чисел]]. З цієї точки зору, числення є набором технік із маніпуляції певними границями. Нескінченно малі були замінені дуже малими числами, а нескінченно мала поведінка функції досліджується шляхом вивчення поведінки границі для все менших і менших чисел. Границі були першим інструментом, що забезпечив основи методів числення, і з цієї причини вони стали стандартними методами.

=== Диференціальне числення ===
{{Main|Диференціальне числення}}
[[Файл:Tangent derivative calculusdia5.svg|thumb|300px|Дотична у точці {{math|(''x'', ''f''(''x''))}}. Похідна {{math|''f′''(''x'')}} кривої у точці є нахилом (вверх або вниз) дотичної прямої до кривої в цій точці.]]
[[Файл:Sec2tan.gif|thumb|300px|Похідна {{math|''f′''(''x'')}} кривої у точці є нахилом дотичної прямої до цієї кривої у заданій точці. Цей нахил визначається граничним значенням нахилу січних прямих. Функція, яка зображена (намальована червоним) є {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> − ''x''}}. Дотична пряма (зелена), що походить через точку {{nowrap|(−3/2, −15/8)}} має коефіцієнт нахилу 23/4. Зауважте, що вертикальний і горизонтальний масштаб зображення є різним.]]

Диференціальне числення це наука що визначає, вивчає властивості і застосування [[Похідна|похідної]] функції. Процедура знаходження похідної називається ''диференціюванням''. Дано функцію і точку у деякій області визначення, похідна у точці є способом представлення поведінки функції у малому масштабі в околі цієї точки. Якщо знайти похідну функції в кожній точці її області визначення, можна утворити нову функцію, що називається ''похідною функцією'' або просто ''похідною'' початкової функції. Формально, похідна є [[Лінійне відображення|лінійним оператором]], що приймає функцію на вхід і утворює іншу функцію в результаті. Це є складнішою абстракцією ніж значна кількість процесів, які вивчає елементарна алгебра, де функції зазвичай приймають на вхід число і повертають інше число. Наприклад, якщо функції подвоєння подати на вхід число три, тоді її результатом буде число шість а якщо функції піднесення в квадрат подати на вхід число три, результатом буде число дев'ять. Однак, похідна може прийняти на вхід функцію піднесення у квадрат. Це означатиме, що похідна обраховує всю інформацію про цю функцію—те що два в квадраті буде чотири, три в квадраті буде дев'ять, чотири&nbsp;— шістнадцять, і так далі—і використовує цю інформацію для утворення нової функції. Функція, що утворена в результаті диференціювання функції піднесення в квадрат, буде функцією подвоєння.

У більш зрозумілій формі «функцію подвоєння» можна позначити як {{math|''g''(''x'') {{=}} 2''x''}} а «піднесення у квадрат» як {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}. «Похідна» приймає на вхід функцію {{math|''f''(''x'')}}, що визначена виразом «{{math|''x''<sup>2</sup>}}», що є всією необхідною інформацією—про те що два в квадраті це чотири, три в квадраті це дев'ять або чотири в квадраті це шістнадцять і так далі— і використовую цю інформацію для утворення іншої функції, в результаті буде функція {{math|''g''(''x'') {{=}} 2''x''}}.

Найбільш широко вживаним символом для позначення похідної є знак подібний до [[апостроф]]а, що називається [[Штрих (знак)|штрих]]. Таким чином, похідна функції, що названа як {{math|''f''}} буде позначатися як{{math|''f′''}}, що вимовляється як «f штрих». Наприклад, якщо {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} є функцією піднесення в квадрат, тоді {{math|''f′''(''x'') {{=}} 2''x''}} є її похідною (функція подвоєння {{math|''g''}}, що згадувалася вище). Така нотація називається нотацією Лагранжа.

Якщо входом функції буде час, тоді похідна означатиме зміну із часом. Наприклад, якщо {{math|''f''}} є функцією, яка приймає на вхід час і повертає позицію кулі у цей час як результат, тоді похідною {{math|''f''}} є те наскільки позиція зміниться з часом, тобто це є [[швидкість|швидкістю]] кулі.

Якщо функція є [[лінійна функція|лінійною]] (тобто, якщо [[Графік функції|графіком]] функції є пряма лінія), тоді цю функцію можна записати у загальному вигляді як {{math|''y'' {{=}} ''mx'' + ''b''}}, де {{math|''x''}} є незалежною змінною, {{math|''y''}} є залежною змінною, {{math|''b''}} є значення у якому функція перетинає вісь ''y'', і:

: <math>m= \frac{\text{зміна по } y}{\text{зміна по } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>

Це дає точне значення нахилу прямої лінії. Якщо графіком функції не є пряма лінія, тоді різниця по {{math|''y''}} поділена на різницю по {{math|''x''}} є змінною. Похідна дає точне значення для зміни у виході функції по відношенню до зміни її входу. Аби конкретизувати це, нехай {{math|''f''}} є функцією, і виберемо деяку фіксовану точку {{math|''a''}} в області визначення {{math|''f''}}. {{math|(''a'', ''f''(''a''))}} є точкою на графіку функції. Якщо {{math|''h''}} є деяким числом близьким до нуля, тоді {{math|''a'' + ''h''}} є числом близьким до {{math|''a''}}. Таким чином, {{math|(''a'' + ''h'', ''f''(''a'' + ''h''))}} є близьким до {{math|(''a'', ''f''(''a''))}}. Коефіцієнтом нахилу відрізку між цими двома точками буде

: <math>m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.</math>

Цей вираз називають ''{{нп|Відношення приростів|відношенням приростів|en|difference quotient}}''. Пряма через дві точки кривої називається ''січною'', тому {{math|''m''}} є нахилом січної лінії між {{math|(''a'', ''f''(''a''))}} і {{math|(''a'' + ''h'', ''f''(''a'' + ''h''))}}. Січна лінія є лише наближенням поведінки функції у точці {{math|''a''}} оскільки, вона не враховує що відбувається між {{math|''a''}} і {{math|''a'' + ''h''}}. Не можливо дослідити поведінку функції в точці {{math|''a''}}, якщо задати {{math|''h''}} рівним нулю, оскільки це потребуватиме [[ділення на нуль]], яке не є визначеним. Похідна визначається за допомогою знаходження [[Границя|границі]] при тому як {{math|''h''}} прямує до нуля. Це означає, що розглядається поведінка {{math|''f''}} для всіх малих значень {{math|''h''}}, крім розгляду випадку коли значення {{math|''h''}} дорівнює нулю:

: <math>\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.</math>

Геометрично, похідна є нахилом [[Дотична|дотичної прямої]] до графіка {{math|''f''}} в точці {{math|''a''}}. Дотична пряма є границею січних прямих як і сама похідна, яка є границею відношення приростів. Тому, похідну іноді називають крутизною або приростом функції {{math|''f''}}.

Наведемо конкретний приклад, похідної квадратичної функції при вхідному значенні 3. Нехай {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} є квадратичною функцією.

: <math>\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6.
\end{align}
</math>

Коефіцієнт нахилу дотичної прямої до квадратичної функції в точці (3, 9) дорівнює 6, через це можна сказати, що функція зростає в на порядок у шість разів із тим, як вона проходить праворуч. Описаним методом, границю можна знайти для кожної точки із області визначення квадратичної функції. Це визначає ''похідну функцію'' квадратичної функції. Розрахунок схожий на приведений вище показує, що похідна квадратичної функції є функцією подвоєння.

=== Нотація Лейбніца ===
Загальною нотацією, яку запропонував [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]], для похідної у вищенаведеному прикладі є наступний запис:
:<math>
\begin{align}
y&=x^2 \\
\frac{dy}{dx}&=2x.
\end{align}
</math>
Відповідно до підходу, що оснований на границях, символ {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} необхідно інтерпретувати не як відношення двох чисел, але як скорочене представлення тієї границі, що розраховувалася вище. Проте, Лейбніц, мав намір представити його саме у вигляді відношення двох нескінченно малих чисел, {{math|''dy''}} є нескінченно малим приростом або зміною {{math|''y''}}, що спричинений нескінченно малим приростом {{math|''dx''}} застосованого до {{math|''x''}}. Ми також можемо вважати {{math|{{sfrac|''d''|''dx''}}}} диференційним оператором, який приймає функцію на вхід і повертає результат у вигляді іншої функції, похідну. Наприклад:
:<math>
\frac{d}{dx}(x^2)=2x.
</math>
При даному застосуванні, {{math|''dx''}} у знаменнику буде читатися: "по відношенню до {{math|''x''}}". Навіть, якщо числення виникло із застосування границь, а не нескінченно малих, маніпулювання символами типу {{math|''dx''}} і {{math|''dy''}} так, ніби вони є дійсними числами є загальноприйнятим; хоча такі маніпуляції можливо уникати, вони іноді є зручними для визначення операцій із [[Повна похідна|повною похідною]] та ін..

=== Інтегральне числення ===
{{Main|Інтеграл}}

''Інтегральне числення'' вивчає визначення, властивості, і застосування двох пов'язаних між собою понять, ''невизначеного інтегралу'' і ''визначеного інтегралу''. Процес знаходження значення інтеграла називають ''інтегруванням''. Технічною мовою, інтегральне числення вивчає два пов'язані [[Лінійне відображення|лінійні оператори]].

''Невизначений інтеграл'', також відомий як ''[[первісна]]'', і є оберненою операцією до диференціювання. {{math|''F''}} є невизначеним інтегралом над {{math|''f''}}, коли {{math|''f''}} є похідною {{math|''F''}}.  (Таке використання літер у нижньому і верхньому регістрах є загальним позначенням у численні.)

''Визначений інтеграл'' приймає на вхід функцію і повертає число, який повертає алгебраїчну суму площі між графіком вхідної функції і [[Декартова система координат|x-віссю]]. Технічне визначення визначеного інтегралу включає поняття [[Границя|границі]] суми площ прямокутників, що називається [[Сума Рімана|сумою Рімана]].

[[File:Constant velocity.png|left|thumb|Стала швидкість]]
[[File:Integral as region under curve.svg|right|thumb|280px|Інтегрування можна інтерпретувати як вимірювання площі під кривою, що задана функцією {{math|''f''(''x'')}}, на відрізку між двома точками ({{math|''a''}} і {{math|''b''}}).]]
Мотивуючим прикладом є пройдена відстань за заданий час.

:<math>\text{Відстань} = \text{Швидкість} \cdot \text{Час}</math>

Якщо швидкість не змінюється, результат можна отримати лише множенням, але якщо швидкість є змінною, необхідний більш складний метод визначення відстані. Одним із методів є апроксимувати пройдену відстань розбивши часові інтервали на багато коротких інтервалів часу, потім помноживши проміжок часу цього інтервалу на деяку швидкість під час руху в цей інтервал часу і взявши суму ([[Сума Рімана|суму Рімана]]) цих наближених відстаней в кожному з цих інтервалів можна знайти загальний пройдений шлях. Ідеєю цього методу є припущення, що для короткого інтервалу швидкість залишатиметься більш менш однаковою. Однак, Ріманова сума дає лише наближене значення пройденої відстані. Аби знайти точну відстань, необхідно знайти границю всіх таких сум Рімана.

Якщо швидкість не змінюється, загальну пройдену відстань за вказаний час можна розрахувати множенням швидкості на час. Наприклад, при подорожуванні з постійною швидкістю в 50&nbsp;км/год за 3 години буде пройдено загальний шлях в 150 кілометрів. На зображенні ліворуч, де зображено на графіку сталу швидкість і шкала часу, ці дві величини утворять прямокутник із висотою, що дорівнює швидкості і шириною, що дорівнює часу, що минув. Таким чином, добутком швидкості і часу також є площа прямокутника під (сталою) кривою швидкості. Цей зв'язок між площею під кривою і пройденою відстанню можна розширити до ''будь-якої'' області із неправильною формою, що представлятиме зміни швидкості за даний часовий період. Якщо {{math|''f''(''x'')}} на малюнку праворуч задає швидкість, яка змінюється з часом, пройдена відстань (між відмітками часу, що задані за допомогою {{math|''a''}} і {{math|''b''}}) буде площею зафарбованої області&nbsp;{{math|''s''}}.

Для того, щоб апроксимувати цю площу, інтуїтивним методом є поділити відстань між {{math|''a''}} і {{math|''b''}} на деяку кількість однакових відрізків (сегментів), довжина кожного відрізку задається символом {{math|Δ''x''}}. Для кожного невеликого сегменту, ми можемо вибрати одне значення функції {{math|''f''(''x'')}}. Позначимо це значення {{math|''h''}}. Тоді площа прямокутника із основою {{math|Δ''x''}} і висотою {{math|''h''}} дасть в результаті пройдену відстань (час {{math|Δ''x''}} помножений на швидкість {{math|''h''}}) у цьому сегменті. Із кожним сегментом пов'язане середнє значення функції над ним
, {{math|''f''(''x'') {{=}} ''h''}}. Сума площ всіх таких прямокутників дає наближення площі між віссю і кривою, що є наближенням загальної пройденої відстані. Менше значення для {{math|Δ''x''}} дозволить мати більше прямокутників і в більшості випадків кращу апроксимацію, але аби знайти точне значення необхідно знайти границю при тому як {{math|Δ''x''}} прямує до нуля.

Символом позначення інтегрування є <math>\int </math> — [[Довга s|видовжена латинська ''S'']] (де ''S'' означає "sum" - сума). Визначений інтеграл записується наступним чином:

:<math>\int\limits_a^b f(x)\, dx.</math>

і читається як "інтеграл від ''a'' до ''b'' функції ''f''-''x'' по змінній ''x''."  Нотація Лейбніца {{math|''dx''}} означає задум розділення площі під кривою на нескінченну кількість прямокутників, так що їх ширина {{math|Δ''x''}} стає нескінченно малою {{math|''dx''}}. При формулюванні для числення основаного на понятті границі, цю нотація

:<math>\int\limits_a^b \cdots\, dx</math>

розуміють як оператор, який приймає на вхід функцію і повертає число, площу, як результат. Кінцевий диференціал, {{math|''dx''}}, не є числом, і не є помноженою на {{math|''f''(''x'')}}, і нагадує про визначення границі {{math|Δ''x''}}, записана у кінці, її треба розуміти як символічне позначення інтегралу. Формально, диференціал вказує змінну по якій інтегрують функцію і слугує як закриваюча дужка для оператору інтегрування.

Невизначений інтеграл, або первісна, записується наступним чином:

:<math>\int f(x)\, dx.</math>

Функції, що відрізняються лише константою мають однакову похідну, і можливо показати, первісною для даної функції буде насправді ціле сімейство функцій, що відрізняються лише на константу. Оскільки похідною функції {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''C''}}, де {{math|''C''}} є довільною сталою, є {{math|''y′'' {{=}} 2''x''}}, то первісна останньої функції буде визначатися як:
:<math>\int 2x\, dx = x^2 + C.</math>
Ця невизначена стала {{math|''C''}}, що присутня у невизначеному інтегралі або похідній називається [[Стала інтегрування|сталою інтегрування]].

=== Фундаментальна теорема ===
{{Main|Формула Ньютона — Лейбніца}}
[[Формула Ньютона — Лейбніца|Фундаментальна теорема числення]], що відома як Формула Ньютона — Лейбніца, стверджує, що диференціювання і інтегрування є оберненими операціями. Точніше, вона пов'язує значення первісної до визначеного інтеграла. Оскільки зазвичай легше розрахувати первісну ніж застосувати визначений інтеграл, відповідно до його визначення, фундаментальна теорема числення надає практичний спосіб розрахунку визначених інтегралів. Це також можна інтерпретувати як точне твердження про те, що диференціювання є оберненою процедурою інтегрування.

Фундаментальна теорема числення стверджує: Якщо функція {{math|''f''}} є [[Неперервна функція|неперервною]] в інтервалі {{math|[''a'', ''b'']}} і якщо {{math|''F''}} є функцією, похідною якої є {{math|''f''}} на інтервалі {{math|(''a'', ''b'')}}, тоді

:<math>\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>

Крім того, для кожного {{math|''x''}} в інтервалі {{math|(''a'', ''b'')}},

:<math>\frac{d}{dx}\int\limits_a^x f(t)\, dt = f(x).</math>

Це поняття одночасно розробили [[Ісаак Ньютон|Ньютон]] і [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]], їх результати базувалися на попередній роботі [[Ісаак Барроу|Ісаака Барроу]]. Фундаментальна теорема надає алгебраїчний метод для розрахунку багатьох визначених інтегралів (без процесу знаходження границь) шляхом знаходження формул для [[Первісна|первісних]]. Вона також є базовою для вирішення [[Диференціальні рівняння|диференційних рівнянь]]. Диференційні рівняння пов'язують невідому функцію і її похідні, і широко використовуються в науці.

== Застосування ==
[[Файл:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|right|[[Логарифмічна спіраль]] {{нп|Наутиліди|мушлі молюска наутілуса|en|Nautilus}} є класичним прикладом, який приводять аби показати як процес росту і змін пов'язаний з численням.]]
Числення застосовують у кожній області фізичних наук, [[Актуарна математика|актуарній математиці]], комп'ютерних науках, статистиці, техніці, економіці, бізнесі, медицині, [[Демографія|демографії]], і інших областях, в яких задачу можна [[Математична модель|математично змоделювати]] і необхідно знайти [[Оптимізація (математика)|оптимальне]] рішення. Це дозволяє перейти від (не постійних) швидкостей зміни до загальної зміни чогось і навпаки, і в багатьох прикладах вирішення задач ми знаємо щось одне і намагаємося знайти друге.

[[Фізика]] є особливим прикладом використання числення; всі поняття з [[Класична механіка|класичної механіки]] і [[електромагнетизм]]а співвідносяться за допомогою числення. [[Маса]] об'єкта відомої [[Густина|густини]], [[момент інерції]] об'єктів, так само як загальна енергія тіла у потенційному полі можна знайти за допомогою числення. Прикладом використання числення в механіці є [[Закони Ньютона|другий закон Ньютона]]: в історичному твердженні він напряму використовує термін «зміна руху» із чого випливає вислів '''Зміна''' ''моменту тіла дорівнює результуючій силі, що діє на тіло і має той самий напрям.'' Що зазвичай представляється сьогодні як Сила&nbsp;=&nbsp;Маса&nbsp;×&nbsp;прискорення, це приводить до диференційного числення, оскільки прискорення є похідною по часу для швидкості або і другою похідною від часу для траєкторії чи просторової позиції. Якщо починати із того, що відомо як прискорюється об'єкт, ми застосовуємо числення аби отримати його шлях.

Теорія електромагнетизму Максвела і [[Загальна теорія відносності|загальна теорія відносності]] [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейна]] також описуються за допомогою мови диференційного числення. В хімії використовують числення для визначення швидкостей реакції та радіоактивного розпаду. В біології, при побудові моделі динаміки популяції вивчають темпи відтворення і смерті.

Числення можна використовувати разом із іншими математичними дисциплінами. Наприклад, його можна застосовувати разом із [[лінійна алгебра|лінійною алгеброю]] для знаходження «найкраще відповідне» лінійне наближення для відомої множини точок у деякій області значень. Або у [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] для знаходження ймовірності неперервної випадкової змінної із заданої функції щільності. В [[аналітична геометрія|аналітичній геометрії]], при вивченні графіків функцій, числення використовують для знаходження точок мінімуму і максимуму, нахилу, [[Угнута функція|увігнутості]] і [[Точка перегину|точок перегину]].

[[Теорема Гріна]], яка задає задає співвідношення між криволінійним інтегралом по простій замкненій кривій ''C'' і подвійним інтегралом по області на площині ''D'', що обмежена кривою ''C'', закладена у принцип дії інструменту відомого як [[планіметр]], який використовують для вимірювання площі пласкої фігури на кресленні. Наприклад, його можна використати для розрахунку площі, яку займає квіткова клумба неправильної форми, або басейн при проектуванні.

== Див. також ==
* [[Математичний аналіз]]
* [[Таблиця інтегралів]]

==Література==
=== Книжки ===
{{Refbegin|2}}
* Диференціальне та інтегральне числення : навч. посіб. / [[Стефан Банах|С. Банах]] ; пер. з пол. та ред. П.І. Каленюка, О.М. Рибицької. – Львів : Львівська політехніка, 2017. – 428 с. – ISBN 966-941-110-5. ([https://vlp.com.ua/node/18117 Коротко про видання] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200219180052/http://vlp.com.ua/node/18117 |date=19 лютого 2020 }})
* Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної : навч.-метод. посіб. / [О. Я. Мильо та ін.] ; Львів. нац. ун-т ім. Івана Франка. - Львів : ЛНУ ім. І. Франка, 2011. - 267 с. : рис. - ISBN 978-966-613-860-9
* [[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl Benjamin]] (1949). [https://books.google.com/books?id=KLQSHUW8FnUC&printsec=frontcover ''The History of the Calculus and its Conceptual Development''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170716233456/https://books.google.com/books?id=KLQSHUW8FnUC&printsec=frontcover |date=16 липня 2017 }}. Hafner. Dover edition 1959, {{isbn|0-486-60509-4}}
* [[Ріхард Курант|Courant, Richard]] {{isbn|978-3-540-65058-4}} ''Introduction to calculus and analysis 1.''
* [[Edmund Landau]]. {{isbn|0-8218-2830-4}} ''Differential and Integral Calculus'', [[American Mathematical Society]].
* Robert A. Adams. (1999). {{isbn|978-0-201-39607-2}} ''Calculus: A complete course''.
* Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) ''Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985—1986 Survey'', Mathematical Association of America No. 7.
* [[John Lane Bell]]: ''A Primer of Infinitesimal Analysis'', Cambridge University Press, 1998. {{isbn|978-0-521-62401-5}}. Uses [[synthetic differential geometry]] and nilpotent infinitesimals.
* [[Florian Cajori]], «The History of Notations of the Calculus.» ''Annals of Mathematics'', 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep. 1923), pp.&nbsp;1–46.
* Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: «Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus», Princeton Univ. Press, 2004.
* [[Cliff Pickover]]. (2003). {{isbn|978-0-471-26987-8}} ''Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind''.
* [[Michael Spivak]]. (September 1994). {{isbn|978-0-914098-89-8}}'' Calculus''. Publish or Perish publishing.
* [[Tom M. Apostol]]. (1967). {{isbn|978-0-471-00005-1}} ''Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra''. Wiley.
* [[Tom M. Apostol]]. (1969). {{isbn|978-0-471-00007-5}} ''Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications''. Wiley.
* [[Silvanus P. Thompson]] and [[Мартін Гарднер|Martin Gardner]]. (1998). {{isbn|978-0-312-18548-0}} ''Calculus Made Easy''.
* [[Mathematical Association of America]]. (1988). ''Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter'', The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
* Thomas/Finney. (1996). {{isbn|978-0-201-53174-9}} ''Calculus and Analytic geometry 9th'', Addison Wesley.
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalTheoremofCalculus.html «Second Fundamental Theorem of Calculus.»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171202102816/http://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalTheoremofCalculus.html |date=2 грудня 2017 }} From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis: «Calculus», John Willey and Sons Pte. Ltd., 2002. {{ISBN|978-81-265-1259-1}}
* {{iw|Ron Larson (mathematician)|Larson, Ron}}, Bruce H. Edwards (2010). ''Calculus'', 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-547-16702-2}}
* McQuarrie, Donald A. (2003). ''Mathematical Methods for Scientists and Engineers'', University Science Books. {{isbn|978-1-891389-24-5}}
* {{Cite book |last1= Salas |first1= Saturnino L. |last2= Hille |first2= Einar |author2-link= Einar Hille |last3= Etgen |first3= Garret J. |year= 2007 |title= Calculus: One and Several Variables |edition= 10th |location= [[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn= 978-0-471-69804-3 }}
* [[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2012). ''Calculus: Early Transcendentals'', 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-538-49790-9}}
* [[George B. Thomas|Thomas, George B.]], Maurice D. Weir, [[Joel Hass]], Frank R. Giordano (2008), ''Calculus'', 11th ed., Addison-Wesley. {{isbn|0-321-48987-X}}
{{Refend}}

=== Інтернет книжки ===
{{Refbegin|2}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{cite book |author=Boelkins, M. |year=2012 |title=Active Calculus: a free, open text |access-date=1 лютого 2013 |url=http://gvsu.edu/s/km |archive-url=https://web.archive.org/web/20130530024317/http://faculty.gvsu.edu/boelkinm/Home/Download_files/Active%20Calculus%20ch1-8%20%28v.1.1%20W13%29.pdf |archive-date=30 травня 2013 |deadurl=yes }}
* Crowell, B. (2003). "''Calculus''". Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6 May 2007 from [http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180205163333/http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf |date=5 лютого 2018 }}
* Garrett, P. (2006). "''Notes on first year calculus''". University of Minnesota. Retrieved 6 May 2007 from [http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf <nowiki>http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf</nowiki>] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160402094310/http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf |date=2 квітня 2016 }}
* Faraz, H. (2006). "''Understanding Calculus''". Retrieved 6 May 2007 from UnderstandingCalculus.com, URL http://www.understandingcalculus.com {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190326003217/https://understandingcalculus.com/ |date=26 березня 2019 }} (HTML only)
* Keisler, H. J. (2000). "''Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals''". Retrieved 29 August 2010 from [http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html <nowiki>http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html</nowiki>] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110501113944/http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html |date=1 травня 2011 }}
* Mauch, S. (2004). "''Sean's Applied Math Book''" (pdf). California Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from [https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf <nowiki>https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf</nowiki>]
* Sloughter, Dan (2000). "''Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus''". Retrieved 17 March 2009 from [http://synechism.org/drupal/de2de/ http://synechism.org/drupal/de2de/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120414143704/http://synechism.org/drupal/de2de |date=14 квітня 2012 }}
* Stroyan, K.D. (2004). "''A brief introduction to infinitesimal calculus''". University of Iowa. Retrieved 6 May 2007 from https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
* Strang, G. (1991). "''Calculus''" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from [http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100225114644/http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm |date=25 лютого 2010 }}
* Smith, William V. (2001). "''The Calculus''". Retrieved 4 July 2008 [http://www.math.byu.edu/~smithw/Calculus/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171030191502/https://www.math.byu.edu/~smithw/Calculus/ |date=30 жовтня 2017 }} (HTML only).
{{Refend}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Застосування диференціала для наближених значень|сторінки= 267}}
* http://books.google.com/books?id=ha1ad_abDKwC&printsec=frontcover {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150321020726/http://books.google.com/books?id=ha1ad_abDKwC&printsec=frontcover |date=21 березня 2015 }}

{{math-stub}}
{{Перекласти|en|Calculus}}

{{Математичний аналіз|state=expanded}}
{{Розділи математики}}

[[Категорія:Розділи математики]]
[[Категорія:Числення|*]]