Перегляд вихідного коду сторінки Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних

== З двома змінними ==
'''Диференціальним рівнянням з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними''' називається співвідношення між невідомою функцією <math>u(x,y)</math> та її частинними похідними до другого порядку включно.

<math>F\left(x,y,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = 0</math>

Рівняння називається '''лінійним відносно старших похідних''', якщо воно має вигляд:

<math>a_{11} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ 2 a_{12}\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + a_{22} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + F_0\left(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0</math>

де <math>a_{11},a_{12},a_{22}</math> &mdash; функції від x та y. 

Якщо <math>a_{11},a_{12},a_{22}</math> є функціями також від <math>u,\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}</math>, то таке рівняння називають '''квазілінійним'''.

Рівняння називається '''лінійним''', якщо має вигляд:
:<math>A\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+ 2B\frac{\partial^2 u }{\partial x \partial y} + C\frac{\partial^2 u }{\partial y^2} + D \frac{\partial u }{\partial x} + E \frac{\partial u }{\partial y} + Fu = f(x,y) \ \ (1)</math>,
де <math>A,B,C,D,E,F</math> &mdash; деякі функції від x та y.

Якщо <math>A,B,C,D,E,F</math> &mdash; сталі, то рівняння називають '''лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами'''.

Якщо <math>f(x,y)=0</math>, то рівняння '''однорідне''', інакше '''неоднорідне'''.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають '''канонічним'''. 

За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до
#[[диференціальне рівняння гіперболічного типу|гіперболічного]] типу, якщо <math>D>0</math>;
#[[диференціальне рівняння параболічного типу|параболічного]] типу, якщо <math>D=0</math>;
#[[диференціальне рівняння еліптичного типу|еліптичного]] типу, якщо <math>D<0</math>;
де <math>D=a_{12}^2 - a_{11} a_{22} = B^2 - AC</math> (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)

== З багатьма змінними ==
Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:
:<math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{ \partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i} + cu + f = 0\ \ \ (a_{ij}=a_{ji})</math>
<math>a_{ij}, b_i, c, f</math> &mdash; функції від <math>x_1,\ldots x_n</math>.

Йому відповідає [[квадратична форма]]:
:<math>Q(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \lambda_i \lambda_j </math>

[[зведення квадратичної форми до канонічного виду|Зводимо її до канонічного виду]], за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.

*Рівняння '''еліптичне''', якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку.
*Рівняння '''гіперболічне''', якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком.
*Рівняння '''параболічне''', якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.

== Література ==
* Перестюк М.О., Маринець В.В. [https://web.archive.org/web/20160304220226/http://www.mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/math_phys.zip Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник.] (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
* Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
* Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .


{{stub}} 
{{noiwiki}}

[[Категорія:Рівняння математичної фізики]]