Перегляд вихідного коду сторінки Гіпотрохоїда

[[Файл:Hypotrochoid2 2.gif|thumb|300px|Гіпотрохоїда]]
[[Файл:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|thumb|300px| Гіпотрохоїда з параметрами {{math|1=''R'' = 5, ''r'' = 3, ''h'' = 5}}.]]

'''Гіпотрохоїда'''&nbsp;— [[плоска крива]], утворена фіксованою точкою, що лежить в площині деякого [[Коло|кола]], яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називають '''твірним''' (його радіус дорівнює r), нерухоме коло&nbsp;— '''напрямним''' (його радіус дорівнює R).{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}}

'''Початковою точкою''' гіпотрохоїди називають таку її точку <math>P</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від <math>C</math>, що і точка опори.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.805}}

'''Вершиною''' гіпотрохоїди називають таку її точку <math>V</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від <math>C</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}}

Будь-яка гіпотрохоїда має однакову кількість вершин і початкових точок.

Гіпотрохоїда є окремим випадком [[Рулета|рулети]]&nbsp;— кривої, що отримана як траєкторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Граничні випадки гіпотрохоїди:
* Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (<math>R \to \infty</math>), крива стає [[Трохоїда|трохоїдою]] з тим же радіусом твірного кола.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.814}}
* Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченності (<math>r \to \infty</math>), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою в площині цієї прямої, є подовженою або скороченою ''евольвентою кола''.

== Рівняння ==

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в [[Початок координат|початку координат]], його [[радіус]] дорівнює <math>R</math>, радіус кола, що котиться по ньому дорівнює <math>r</math>, а відстань від твірної точки до центру рухомого кола дорівнює <math>h</math>, то гіпотрохоїда описується [[Параметричне рівняння|параметричними рівняннями]] в [[Декартова система координат|прямокутній]] системі відносно <math>\varphi</math>:{{Sfn|J. Dennis Lawrence|1973}}
: <math>\begin{cases}
x(\varphi) = (R - r)\cos\varphi + h \cdot \cos(\frac{R - r}{r}\varphi) \\
y(\varphi) = (R - r)\sin\varphi - h \cdot \sin(\frac{R - r}{r}\varphi)
\end{cases} \qquad \begin{align}
& 0 \le \varphi \le 2\pi \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} = k - \text{натуральне число} ;\\
& 0 \le \varphi \le 2r \cdot \pi \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} =  \frac{p}{q} - \text{раціональне число} ; \\ 
& 0 \le \varphi \le \infty \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} - \text{ірраціональне число}.
\end{align} </math>

При цьому початкова точка гіпотрохоїди, з якої починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі <math>Ox</math>.

Кут <math>\varphi</math>&nbsp;— параметр, а саме&nbsp;— це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі <math>Ox</math>.

[[Параметричне рівняння]] повернутої відносно початку координат гіпотрохоїди має вигляд:
: <math>\begin{cases}
x(\varphi) = (R - r)\cos\varphi + h \cdot \cos(\frac{R - r}{r}\varphi -\alpha) \\
y(\varphi) = (R - r)\sin\varphi - h \cdot \sin(\frac{R - r}{r}\varphi-\alpha)
\end{cases} \qquad \begin{align}
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le 2\pi + \frac{r}{R} \cdot \alpha \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} = k - \text{натуральне число} ;\\
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le 2r \cdot \pi + \frac{r}{R} \cdot \alpha \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} =  \frac{p}{q} - \text{раціональне число} ; \\ 
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le \infty \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} - \text{ірраціональне число}.
\end{align} </math>

При цьому гіпотрохоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут <math>\beta=\frac{r}{R} \cdot \alpha</math> (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпотрохоїди (з якої починається утворення кривої) з початком координат, та віссю <math>Ox</math> дорівнює <math>\frac{r}{R} \cdot \alpha</math>.

Ввівши величину <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, отримаємо [[параметричне рівняння]] звичайної (неповернутої) гіпотрохоїди у вигляді:
: <math>\begin{cases}
& x (\varphi) = r \cdot (k - 1) \cos \varphi + h \cdot  \cos \left( (k - 1) \varphi \right) \\
& y (\varphi) = r \cdot (k - 1) \sin \varphi - h \cdot \sin \left( (k - 1) \varphi \right)
\end{cases}</math>

де <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] нерухомого кола, <br/> <math>r</math>&nbsp;— радіус кола, що котиться, <br/> <math>h</math>&nbsp;— відстань від твірної точки до центра рухомого кола.

Величина <math>k</math> визначає форму гіпотрохоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:<ref name=":0">[https://mathcurve.com/courbes2d.gb/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml Hypotrochoid] на сайті [https://mathcurve.com Mathcurve]</ref>

: <math>z(\varphi) = r \cdot (k-1)e^{ i \varphi} + h \cdot e^{-i(k-1) \varphi} </math> .

де
* кут <math>\varphi \in [0, 2\pi]</math> ;
* радіус твірного (рухомого) кола <math>r</math>;
* радіус напрямного (нерухомого) кола <math>R = kr</math>;
* відстань від твірної точки до центра рухомого кола <math>h</math>.

== Властивості та особливості форми ==
* Будь-яка гіпотрохоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами <math>|R - r - h|</math> та <math>|R - r + h|</math>.<br/>
На першому з них лежать вершини, а на другому&nbsp;— початкові точки гіпотрохоїди.
* При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) <math> O </math> на кут, кратний <math>2 \pi \cdot \frac{r}{R} </math>, гіпотрохоїда суміщається сама з собою.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.812}}
* Якщо <math>k = \frac{R}{r}</math>&nbsp;— [[натуральне число]], то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою <math>2 (k-1)</math> порядку; <br/>
Крива складається з <math>k</math> конгруентних гілок, а отже, має <math>k</math> вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить <math>(k-1)</math> повних обертів навколо свого центру.
* Якщо <math>k = \frac{R}{r} = \frac{p}{q}</math>&nbsp;— [[раціональне число]], виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою <math>2 \cdot |p - q|</math> порядку; <br/>
Крива складається з <math>p</math> конгруентних гілок, а отже, має <math>p</math> вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить <math>|p - q|</math> повних обертів навколо свого центру.

* Якщо <math>k</math>&nbsp;— [[ірраціональне число]], то гіпотрохоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість гілок, вершин та каспів. При необмеженому збільшенні параметра <math> \varphi </math>, крива щільно заповнює кільце, обмежене колами з радіусами <math>|R - r - h|</math> та <math>|R - r + h|</math>.
* Гіпотрохоїда має однакову кількість вершин та каспів;
* Гіпотрохоїду з параметрами <math>(R, r, h)</math> можна отримати так само як гіпотрохоїду з параметрами.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.816}}
: <math>R_1 =\frac{h}{r} \cdot R \, ; \quad r_1 = \frac{h}{r} \cdot (R - r) \, ; \quad h_1 = R-r</math>.<br/>
У випадку, коли <math>R < r </math>, крива <math>(R_1, r_1, h_1)</math> є епітрохоїдою з параметрами
: <math>R_1 =\frac{h}{r} \cdot  R \, ; \quad r_1 = \frac{h}{r} \cdot (r - R) \, ; \quad h_1 = r - R</math>.

Заувага: Гіпотрохоїда, яка при одному способі утворення, була подовженою, при іншому способі утворення виявляється скороченою (і навпаки).

* Властивість нормалі
Нормаль, що проведена через будь-яку точку <math>M</math> гіпотрохоїди, проходить через відповідну точку дотику <math>E</math> твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.817}}

== Метричні характеристики ==
* Довжина дуги гіпотрохоїди між точками, що відповідають кутам <math>0 \le \varphi \le \varphi_1</math>: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.818}}
: <math>\ell =  \left| \frac{R-r}{r} \right| \cdot \int^{\varphi_1}_0 \sqrt{r^2 + h^2 - 2rh\cdot \cos \left( \frac{R}{2r} \cdot \varphi \right)} d\varphi</math>
Ця дуга по довжині дорівнює довжині еліпса
: <math>\begin{cases}
& x (\varphi) = 2 (h-r) \cdot \frac{R-r}{R} \cdot \cos \left( \frac{R}{2r} \cdot \varphi \right) \\
& y (\varphi) = 2 (h+r) \cdot \frac{R-r}{R} \cdot \sin \left( \frac{R}{2r} \cdot \varphi \right)
\end{cases}</math>
між точками з тими ж значеннями кута <math>\varphi</math>.

Інтеграл в загальному випадку не виражається через елементарні функції, але у випадках, коли гіпотрохоїда є гіпоциклоїдою, його можна виразити в елементарних функціях.

Також довжину дуги гіпотрохоїди від її початку до точки, що відповідає параметру <math>\varphi</math> можна обчислити за формулою:<ref>[https://mathworld.wolfram.com/Hypotrochoid.html Hypotrochoid] на сайті [https://mathworld.wolfram.com/ Mathworld Wolfram]</ref>
: <math> \ell(\varphi) = 2 \cdot |(R-r)(r-h)| \cdot E \left( \frac{R}{2r} \cdot \varphi \, ; \frac{2i\cdot \sqrt{rh}}{|r-h|} \right) </math>
де <math> \textstyle{E} \left( x \, ;  m \right) </math>&nbsp;— еліптичний інтеграл другого роду.

* Площа сектора, що описується полярним радіусом <math>OM</math> гіпотрохоїди, коли точка <math>M</math> пробігає по дузі між точками, що відповідають кутам <math>0 \le \varphi \le \varphi_1</math>: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819}}
: <math>S =  \frac{(R-r)}{2} \cdot \left( \left( R-r-\frac{h^2}{r} \right) \cdot \varphi_1+ \frac{h(R-2r)}{R} \cdot \sin \left( \frac{R}{r} \cdot \varphi_1 \right) \right) .</math>

Тут площа розглядається як спрямована величина, тобто приймається, що в тих проміжках зміни параметра <math>\varphi</math>, де полярний радіус обертається у від'ємному напрямку, він описує від'ємну площу.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.820}}

* Радіус кривини будь-якої гіпотрохоїди в деякій її точці <math>M</math>, що відповідає куту <math>\varphi</math>{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.817}}:
: <math>\rho = (R-r) \cdot \frac{\left( r^2 + h^2 - 2rh\cdot \cos \left( \frac{R}{r} \cdot \varphi \right)\right)^{3/2}}{\left| r^3 - h^2(R-r) + rh(R-2r)\cdot \cos \left( \frac{R}{r} \cdot \varphi \right)\right|} </math>

== Окремі випадки ==
Окремими випадками гіпотрохоїди є:
* [[Гіпоциклоїда]] (коли точка, що її утворює, лежить на самому твірному колі, тобто при <math> h=r </math>);
* [[Еліпс]] з центром в початку координат (при параметрах <math> R=2r \, ; \, h \ne r</math>).<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=-LRumtTimYgC&pg=PA906|title=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|edition=Second|last=Gray|first=Alfred|date=29 грудня 1997 |authorlink=Alfred Gray (mathematician)|publisher=CRC Press|isbn=9780849371646|language=en|page=906}}</ref>

Напіввісі цього еліпса дорівнюють: <math> a=r+h \, ; \, b = |r-h|</math>; кінцями великої осі є початкові точки гіпотрохоїди, кінцями малої осі&nbsp;— її вершини.

Ексцентриситет цього еліпса:
: <math>e=\frac{2\sqrt{h/r}}{1+(h/r)}</math>
[[Файл:Ellipse as hypotrochoid.gif|right|400px|thumb|[[Еліпс]] (червона лінія) може бути представлений як окремий випадок гіпотрохоїди з параметрами {{math|1=''R'' = 2''r''}} ([[Tusi couple]]); на цьому рисунку {{math|1=''R'' = 10, ''r'' = 5, ''d'' = 1}}.]]

Якщо за сталих <math>R</math> та <math> r </math>, що пов'язані співвідношенням <math> R=2r </math>, різниця <math> r - h </math> прямує до нуля, то мала вісь [[еліпс]]а необмежено зменшується, а велика наближається до діаметра напрямного кола. Звичайна [[гіпоциклоїда]], що утворюється в граничному випадку (<math> r = h </math>), являє собою [[відрізок]] прямої, а саме той [[діаметр]] напрямного кола, що з'єднує початкові точки.
* [[Троянда (плоска крива)|Троянда]] з індексом <math>n > 1</math> (при <math>h = R - r</math>).<ref name=":0"/>

Початок координат є вузловою точкою.

Рівняння кривої в полярних координатах має вигляд:
: <math>\rho= 2 h \cdot \cos \left( \frac{k}{k-2} \cdot  \theta \right) </math>

== Цікаві факти ==
* [[Логотип]] [[Adobe Acrobat]] являє собою дещо деформовану гіпотрохоїду.

== Див. також ==
* [[Рулета]]
* [[Трохоїда]]
* [[Епітрохоїда]]
* [[Спірограф]]&nbsp;— дитяча іграшка, яка дозволяє малювати гіпотрохоїди.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{cite book|author=J. Dennis Lawrence|title=A catalog of special plane curves|publisher=Dover Publications|year=1972|isbn=0-486-60288-5|pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/165 165–168]|url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/165
|ref= J. Dennis Lawrence}}

* {{Книга| автор= Выгодский М.Я.
| заголовок= Справочник по высшей математике
| видання= изд.10
| видавництво= Наука| рік=1973
| isbn=
| місце= москва
| посилання= http://flibusta.site/b/744132
| ref= Выгодский М.Я.}}

* {{книга|автор=[[Вірченко Ніна Опанасівна|Вирченко&nbsp;Н.&nbsp;А.]], [[Ляшко Іван Іванович|Ляшко&nbsp;И.&nbsp;И.]], [[Швецов Костянтин Іванович|Швецов&nbsp;К.&nbsp;И.]] |заголовок=Графики функций&nbsp;: справочник |посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/59393 |відповідальний= |місце={{К.}} |видавництво=[[Наукова думка]] |рік=1979 |том= |сторінок=320 |сторінки= 295-297|isbn=|ref= }}{{ref-ru}}


== Посилання ==
* {{MathWorld|Hypotrochoid|Hypotrochoid}}
* {{springer|title=Trochoid|id=18583}}
* {{MacTutor | class=Curves | id=Hypotrochoid | title=Hypotrochoid}}
* Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET [https://mathcurve.com/courbes2d.gb/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml Гіпотрохоїда] на сайті [[https://mathcurve.com/ Mathcurve]] , 2017

{{Криві}}
[[Категорія:Рулети (криві)]]