Перегляд вихідного коду сторінки Гіпотеза Каталана

'''Гіпотеза Каталана'''&nbsp;— твердження в [[Теорія чисел|теорії чисел]]:
{{Теорема|Рівняння
: <math>x^a - y^b = 1 \quad (x, y, a, b > 1)</math>
має єдиний розв'язок у натуральних числах: <math>x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3</math>.}}
Іншими словами, крім <math>2^3 = 8</math> і <math>3^2 = 9</math> не існує інших послідовних степенів натуральних чисел.

Гіпотезу сформулював [[Ежен Каталан]] 1844 року<ref>{{Стаття|author=E. Catalan|title=Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur|url=|language=fr|видання=J. Reine Angew. Math.|тип=|date=1844|том=27|номер=192|pages=165–186}}</ref>{{Sfn|Стюарт|2015|с=170}}. 

2002 року математик румунського походження {{Iw|Преда Міхалеску||en|Preda Mihăilescu}} в університеті міста [[Падерборн]] ([[Німеччина]]) довів цю гіпотезу<ref>{{Стаття|author=P. Mihăilescu|title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture|url=http://www.degruyter.com/view/j/crll.2004.2004.issue-572/crll.2004.048/crll.2004.048.xml|language=en|видання=J. Reine angew. Math.|тип=|date=2004|том=572|номер=572|pages=167–195|doi=10.1515/crll.2004.048|accessdate=12 січня 2021|archivedate=22 жовтня 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121022032054/http://www.degruyter.com/view/j/crll.2004.2004.issue-572/crll.2004.048/crll.2004.048.xml}}</ref>. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати '''теоремою Міхалеску'''.

== Історія ==
Історія задачі сягає принаймні з [[Леві бен Гершон|Герсоніда]], який довів частковий випадок гіпотези в 1343 році, де (''x'', ''y'') було обмежено як (2, 3) або (3, 2). 

Перший значний прогрес після того, як Каталан висловив свою гіпотезу, з'явився 1850 року, коли {{Нп|Віктор-Амеде Лебег||de|Victor-Amédée Lebesgue}} розглянув випадок ''b'' = 2. Він довів, що рівняння x<sup>m</sup> - y<sup>2</sup> = 1 не має розв'язку для y≠3<ref>{{Citation|last=Victor-Amédée Lebesgue|author-link=Віктор-Амеде Лебег|title=Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation ''x<sup>m</sup>''=''y''<sup>2</sup>+1|journal=Nouvelles annales de mathématiques|series=1<sup>re</sup> série|volume=9|year=1850|pages=178–181}}</ref>.

1921 року Т. Нагель повністю дослідив рівняння  <math>x^3 - z^t = 1</math> і <math>x^y - z^3 = 1</math> для y≠2{{sfn|Сендеров, Френкин|2007|c=9}}.

Для рівняння <math>x^4 - z^t = 1</math> задачу вирішив Сельберг (1932), а для рівняння <math>x^2 - z^t = 1</math> — китайський математик Ко Чао (1960){{sfn|Сендеров, Френкин|2007|c=9}}.

Таким чином гіпотезу було доведено в кількох окремих випадках. 

Фундаментальний прорив стався в середині XX-го сторіччя, коли Кассельс довів таку теорему{{sfn|Сендеров, Френкин|2007|c=9—10}}:
{{Теорема|Нехай ''p'' та ''q'' — прості числа, такі, що ''p > q ≥ 2''; ''a'' та ''b'' — цілі числа, більші одиниці, і
:<math>a^p - b^q = \pm 1 </math>
Тоді ''a'' ділиться на ''q'', а ''b'' ділиться на ''p''.}}

Разом із деякими раннішими результатами теорема Кассельса вже дозволяла стверджувати, що якщо гіпотеза Каталана й не справджується, то лише для досить великих чисел (''a, b'' > 10<sup>5</sup>){{sfn|Сендеров, Френкин|2007|c=10}}. 

1976 року {{Нп|Роберт Тейдеман||en|Robert Tijdeman}} застосував {{Нп|Теорема Бейкера|метод Бейкера|en|Baker's theorem}} в [[Теорія трансцендентних чисел|теорії трансцендентності]] для встановлення меж на a, b і використав існуючі результати, що обмежують ''x'', ''y'' через ''a'', ''b,'' щоб отримати ефективну верхню межу для ''x'', ''y'', ''a'', ''b'' . Мішель Ланжевен обчислив значення <math>\exp \exp \exp \exp 730 \approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}</math> для межі.<ref>{{Citation|title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem|first=Paulo|last=Ribenboim|author-link=Пауло Рібенбойм|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year=1979|isbn=0-387-90432-8|zbl=0456.10006|page=236}}</ref> Це розв'язало гіпотезу Каталана для всіх випадків, крім деякої скінченної (втім, дуже великої) кількості. Проте, остаточні обчислення, необхідні для завершення доведення теореми, були занадто трудомісткими.

Гіпотезу Каталана довів [[Преда Міхалеску]] в квітні 2002 року. Доведення опубліковано 2004 року в ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]''. Воно широко застосовує теорію [[Кругове поле|кругових полів]] та {{Нп|Модуль Галуа|модулі Галуа|en|Galois module}}. [[Юрій Білу]] продемонстрував доведення на {{Нп|Семінар Бурбакі|семінарі Бурбакі|en|Séminaire Nicolas Bourbaki}}<ref>{{Citation|last=Bilu|first=Yuri|title=Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923|series=Astérisque|year=2004|volume=294|chapter=Catalan's conjecture|pages=1–26|chapter-url=http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/|accessdate=12 січня 2021|archive-date=14 січня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210114080948/http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/}}</ref>. У 2005 році Міхалеску опублікував спрощене доведення<ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2005}}</ref>.

== Узагальнення ==
Узагальненням гіпотези Каталана є [[гіпотеза Піллаї]]<ref>{{cite web |author=Weisstein, Eric W. |title=Pillai's Conjecture |work=MathWorld — A Wolfram Web Resource |url=https://mathworld.wolfram.com/PillaisConjecture.html |accessdate=2021-12-06 |archive-date=6 грудня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211206174604/https://mathworld.wolfram.com/PillaisConjecture.html }}</ref>:
{{Теорема|Для будь-якого натурального ''k'' (''k''>1) рівняння
: <math>x^m-y^n=k</math>
має лише скінчену кількість розв'язків <math>(x,y,m,n)</math> у натуральних числах для <math>(m,n)\neq(2,2)</math>.}}

== Див. також ==
* [[Гіпотеза Ферма — Каталана]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Публікація|стаття|автор=Сендеров |автор ім'я=В. |автор2=Френкин|автор2 ім'я= Б. |назва=Гипотеза Каталана|видання=[[Квант (журнал)|Квант]]|номер=4|рік=2007|посилання=http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/39d5606e-aa59-fa73-767d-46a56918a4a9/2007_04_Gipoteza_Katalana.pdf |ref=Сендеров, Френкин}}
* {{Стаття|author=Jeanine Daems|title=A cyclotomic proof of Catalan's conjecture|url=}}
* {{Стаття|author=Yuri F. Bilu|title=Catalan's conjecture (after Mihailescu)|date=2002|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.16.8528&rep=rep1&type=pdf|accessdate=12 січня 2021|archivedate=4 березня 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304222437/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.16.8528&rep=rep1&type=pdf}}
* {{Книга
|автор = [[Єн Стюарт|Иэн Стюарт]]
|заголовок = 
|місце = М.
|видавництво = [[Альпина нон-фикшн]]
|рік = 2015
|сторінок = 460
|ISBN = 978-5-91671-318-3
|ref = Стюарт
|назва = Величайшие математические задачи
}}
* {{Публікація|стаття | автор ім'я=Preda | автор=Mihăilescu | назва=Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture | видання=European Congress of Mathematics | рік=2005 | сторінки=325—340 | видавець=Eur. Math. Soc. | місце=Zurich | mr=2185753 | посилання=https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf |ref=Mihăilescu }}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=CatalansConjecture|title=Catalan's Conjecture}}
[[Категорія:Діофантові рівняння]]
[[Категорія:Доведені гіпотези]]
[[Категорія:Теореми в теорії чисел]]