Перегляд вихідного коду сторінки Гільбертів простір

{{unibox}}[[Файл:Standing waves on a string.gif|thumb|Стан [[Вібрація струни|вібруючої струни]] можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних [[обертон]]ах задається проєкцією точки на координатні осі в просторі.]]
'''Гі́льбертів про́стір''' (на честь [[Давид Гільберт|Давида Гільберта]])&nbsp;— це узагальнення поняття [[Евклідів простір|евклідового простору]] на [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірний]] випадок. Є лінійним простором над [[поле (математика)|полем]] дійсних або комплексних чисел ([[прийменник]] «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним [[скалярний добуток|скалярним добутком]]. Останній дозволяє:

# вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута;
# визначити [[Метричний простір|метрику]], відносно якої гільбертів простір є [[Повний метричний простір|повним метричним простором]].

Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці&nbsp;— як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття [[Давид Гільберт|Давидом Гільбертом]], [[Ерхард Шмідт|Ерхардом Шмідтом]] і [[Фріджес Ріс|Фріджесом Рісом]]. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії [[Диференціальні рівняння в частинних похідних|диференціальних рівнянь у частинних похідних]], квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). [[Джон фон Нейман]] ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]]. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з [[Узагальнена функція|узагальнених функцій]], і простори Харді [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]].

Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]] і [[Правило паралелограма|правила паралелограма]]. На глибшому рівні&nbsp;— перпендикулярна проекція на [[лінійний підпростір]] або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з [[Декартова система координат|декартовими координатами]] в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.

== Означення ==
''Гільбертовим простором'' називається<ref name="eom">{{Cite web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space |title=Архівована копія |accessdate=22 лютого 2013 |archive-date=15 червня 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130615073308/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space }}</ref><ref>В.&nbsp;М.&nbsp;Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво [[Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна|ХНУ]], 2004&nbsp;— с.290</ref> [[векторний простір]] <math>H</math>над полем [[Дійсні числа|дійсних]] або [[комплексні числа|комплексних чисел]] разом зі скалярним добутком&nbsp;— функцією від двох змінних <math> (\cdot,\cdot):H\times H\to \R</math>(або <math>\Complex</math>, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:
# <math>(x,x)\geq0</math> для кожного <math>x\in H</math>
# <math>(x,x)=0</math> тоді і лише тоді, коли <math>x=0</math>
# <math>(x+y,z)=(x,z)+(y,z)</math> для довільних трьох <math>x,y,z\in H</math>
# <math>(\alpha x,y)=\alpha(x,y)</math>, де <math>x,y\in H</math>, <math>\alpha</math>&nbsp;— елемент скалярного поля. (<math>\R</math> або <math>\Complex</math>)
# <math>(x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H</math>
# Для довільної послідовності <math>x_n\in H,\ n=1,2,\ldots, </math>, для якої виконано (умова фундаментальності)
{{center|<math>\lim_{l,k\to\infty}(x_l-x_k,x_l-x_k)=0</math>,}}
:: знайдеться елемент <math>x\in H</math>, що для нього
{{center|<math>\lim_{n\to\infty}(x_n-x,x_n-x)=0</math>.}}
:: Тоді кажуть, що <math>x</math> є ''границею'' послідовності <math>x_n</math>.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові '''5''' маємо просто симетричність скалярного добутку: <math>(x,y)=(y,x)</math>.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось <math>dim H=\infty</math>, хоча, очевидно, евклідові ([[Скінченновимірний простір|скінченновимірні]]) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова '''6''' означає [[Повний метричний простір|повноту]] простору відносно [[Норма (математика)|норми]], заданої, як <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math> (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно [[банахів простір|банаховим простором]] (тобто, повним [[нормований простір|нормованим]] векторним простором) із нормою <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math>.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^n</math> так і [[Ермітів простір|ермітового простору]] <math>\Complex^n.</math>

'''Передгільбертів простір'''&nbsp;— векторний простір зі скалярним добутком (умови '''1'''-'''5'''). Умови [[повний простір|повноти простору]] '''6''' немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення <math>\ L:H_1 \to H_2</math> між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається''' ізометрією''', якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів <math>u,v \in H_1,</math> виконується рівність <math>(L(u),L(v))=(u,v).</math>
За допомогою тотожності паралелограма,
:: <math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>
(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; <math>x,y\in H</math>&nbsp;— довільні) доводиться, що <math>L</math> є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто <math>\|L(v)\|=\|v\|</math> для будь-якого <math>v\in H_1.</math> Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є [[Бієкція|бієкцією]], називається
[[ізоморфізм]]ом гільбертових просторів.

== Приклади ==
1. Простір <math>l^2,</math> що складається зі [[Збіжність за мірою|збіжних]] [[Послідовність (математика)|послідовностей]] [[комплексне число|комплексних чисел]]&nbsp;— тобто, послідовностей, для яких
: <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad
\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,</math>

із ермітовим скалярним добутком
: <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}x_n\overline{y_n}</math>

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з [[дійсні числа|дійсними]] членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,</math> тобто ряд збігається&nbsp;— не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із [[Нерівність Коші — Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]], застосованої до перших <math>n</math> членів послідовностей <math>\mathbf{x}</math> і <math>\mathbf{y}.</math> Отож, отримуємо, що
: <math>|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.</math>
У курсі [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]] доводиться також, що простір <math>l^2</math>&nbsp;— повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір <math>L^2[-\pi,\pi]</math> квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку <math>[-\pi,\pi]</math> утворюється з лінійного [[Простір неперервних функцій|простору неперервних]] [[Комплекснозначна функція|комплекснозначних функцій]] на цьому відрізку за операцією '''поповнення'''. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на <math>L^2[-\pi,\pi]</math>:
: <math>(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.</math>

== Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі ==
У будь-якому гільбертовому просторі <math>H</math> можна ввести систему координат, що
узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в <math>H.</math>

Система векторів <math>\{u_i: i\in I\}</math> гільбертового простору <math>H,</math> що індексується множиною <math>I,</math> називається''' ортогональною''', якщо <math>(u_i,u_j)=0</math> для будь-яких <math>i\ne j\in I</math>
і''' ортонормальною''', якщо додатково <math>(u_i,u_i)=1</math> для будь-якого <math>i\in I.</math>

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається''' повною''', якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій&nbsp;— [[щільна множина|щільна]] у <math>H.</math>

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору <math>H</math> називається''' ортонормальним базисом''' у <math>H.</math> Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

''' Координати''' вектора <math>w\in H</math> відносно даного ортонормального базису&nbsp;— це скаляри <math>a_i=(u_i,w), i\in I.</math> Вектор <math>w</math> повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:
: <math>w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.</math>

'''Сепарабельні''' гільбертові простори утворюють найважливіший клас [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірних]] гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із [[зліченна множина|зліченної множини]] векторів. Виявляється, що
за обранням ортонормального базису <math>\{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\},</math>
будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір <math>H</math> стає ізоморфним до <math>l^2.</math>

Дійсно, розгляньмо відображення
: <math>L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},</math>
яке будь-якому вектору <math>v\in H</math> ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису <math>\{u_n:n\in\N\}.</math> Тоді <math>L</math>&nbsp;— це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом <math>l^2.</math> Ці властивості випливають з наступної''' рівності Парсеваля'''.

== Рівність Парсеваля ==
Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math>&nbsp;— це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>
: <math>\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),</math>
де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається''' нерівністю Бесселя'''.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні [[ряди Фур'є|рядів Фур'є]] неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

: <math>2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad</math> де
: <math>a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1</math>&nbsp;— [[Перетворення Фур'є|коефіцієнти Фур'є]] дійсної функції <math>f(x), -\pi\leq x\leq\pi.</math> За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції <math>\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\Z\}</math> утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі <math>L^2[-\pi,\pi].</math>

== Див. також ==
* [[Банахів простір]]
* [[Теорема Ріса]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
* {{Колмогоров.Фомин}}
* ''Морен К.'', Методы гильбертова пространства.&nbsp;— М.: Мир, 1965.&nbsp;— 570 c.
* {{книга
|автор       = Вулих Б. З.
|заголовок   = Введение в функциональный анализ
|рік         = 1967
|видавництво = Наука
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 416
}}
* {{книга
|автор       = Иосида К.
|заголовок   = Функциональный анализ
|рік         = 1967
|видавництво = Мир
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 624
}}

{{Функційний аналіз}}

[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Квантова механіка]]
[[Категорія:Топологічні векторні простори]]
[[Категорія:Гільбертовий простір]]