Перегляд вихідного коду сторінки Графічне позначення Пенроуза

[[Файл:Matrix-product-state.png|міні|250x250пкс|Графічне позначення Пенроуза (позначення на тензорній діаграмі) [[Стан продукту матриці|стану матричного добутку]] п’яти частинок.]]
У [[Математика|математиці]] та [[Фізика|фізиці]] '''графічне позначення Пенроуза''' або '''тензорна діаграма''' — це (як правило рукописне) візуальне зображення [[Мультилінійна функція|мультилінійних функцій]] або [[Тензор|тензорів]], запропоноване [[Роджер Пенроуз|Роджером Пенроузом]] у 1971 році. <ref>[[Roger Penrose]], "Applications of negative dimensional tensors," in ''Combinatorial Mathematics and its Applications'', Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, ''Quantum invariants of knots and 3-manifolds'' (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.</ref> Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. [[Математична нотація|Нотація]] була широко вивчена [[Предраг Цвітанович|Предрагом Цвітановичем]], який використовував її, [[Діаграма Фейнмана|діаграми Фейнмана]] та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації [[Класичні групи Лі|класичних груп Лі]]. <ref>{{Cite book
|url=http://birdtracks.eu/
|title=Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups
|last=Predrag Cvitanović
|authorlink1=Predrag Cvitanović
|year=2008
|publisher=Princeton University Press
}}</ref> Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою [[Теорія представлень|теорії представлень]] до [[Спинова мережа|спінових мереж]] у фізиці та за допомогою [[Лінійна група|груп матриць]] до [[Діаграма трасування|діаграм сліду]] в [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]]. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній [[Квантова механіка|квантовій теорії]], зокрема в [[Стан продукту матриці|станах матричного добутку]] та [[Квантова схема|квантових схемах]] .

== Інтерпретації ==

=== Мультилінійна алгебра ===
Мовою [[Багатолінійна алгебра|мультилінійної алгебри]] кожна фігура представляє [[Мультилінійна функція|мультилінійну функцію]]. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, [[Композиція функцій|композицією функцій]].

=== Тензори ===
Мовою [[Тензор|тензорної алгебри]] окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає [[Абстрактний індексний запис|абстрактним]] [[Коваріантність і контраваріантність (математика)|верхнім та нижнім]] індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають [[Згортка тензора|згортці за відповідними індексами]]. Однією з переваг цієї [[Математична нотація|нотації]] є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від [[Базис (математика)|базису]]. <ref>[[Роджер Пенроуз|Roger Penrose]], ''[[Дорога до реальності: повний посібник із законів Всесвіту|The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe]]'', 2005, {{ISBN|0-09-944068-7}}, Chapter ''Manifolds of n dimensions''.</ref>

=== Матриці ===
Кожна фігура представляє матрицю, [[тензорний добуток]] позначається горизонтально, а [[множення матриць]] виконується вертикально.

== Зображення спеціальних тензорів ==

=== Метричний тензор ===
[[Метричний тензор]] представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.
{|
|[[Файл:Penrose_g.svg|обрамити| метричний тензор <math>g^{ab}</math>]]
|[[Файл:Penrose_g_ab.svg|обрамити| метричний тензор <math>g_{ab}</math>]]
|}

=== Тензор Леві-Чивіти ===
[[Символ Леві-Чивіти|Антисиметричний тензор Леві-Чивіти]] представлений товстою горизонтальною смужкою з ''ніжками'', спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.
{|
| valign="top" |[[Файл:Penrose_varepsilon_a-n.svg|обрамити|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}</math>]]
| valign="top" |[[Файл:Penrose_epsilon^a-n.svg|обрамити|<math>\varepsilon^{ab\ldots n}</math>]]
| valign="top" |[[Файл:Penrose_varepsilon_a-n_epsilon^a-n.svg|обрамити|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}\,\varepsilon^{ab\ldots n}</math><math>= n!</math>]]
|}

=== Структурна константа ===
[[Файл:Penrose_gamma_ab^c.svg|міні|144x144пкс| структурна константа <math>{\gamma_{\alpha\beta}}^\chi = -{\gamma_{\beta\alpha}}^\chi</math>]]
Структурні константи ( <math>{\gamma_{ab}}^c</math> ) [[Алгебра Лі|алгебри Лі]] представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.

== Тензорні операції ==

=== Згортка індексів ===
[[Згортка тензора|Згортка]] індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення [[Дельта Кронекера|дельти Кронекера]] та [[Скалярний добуток|скалярного добутку]]:
{|
|[[Файл:Penrose_delta^a_b.svg|міні|120x120пкс| [[Символ Кронекера|Дельта Кронекера]] <math>\delta^a_b</math>]]
|[[Файл:Penrose_beta_a_xi^a.svg|міні|120x120пкс| [[Скалярний добуток]] <math>\beta_a\,\xi^a</math>]]
|[[Файл:Penrose_g_ab_g^bc-d^c_a-g^cb_g_ba.svg|міні|257x257пкс| <math>g_{ab}\,g^{bc} = \delta_a^c = g^{cb}\,g_{ba}</math>]]
|}

=== Симетризація ===
[[Симетричний тензор|Симетризація]] індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.
{|
|[[Файл:Penrose_asymmetric_Q^a-n.svg|міні|242x242пкс| Симетризація<br /><math>Q^{(ab\ldots n)}</math><br />(де <math>{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}</math> )]]
|}

=== Антисиметризація ===
[[Антисиметричний тензор|Антисиметризація]] індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.
{|
|[[Файл:Penrose_symmetric_E_a-n.svg|міні|205x205пкс| Антисиметризація<br /> <math>E_{[ab\ldots n]}</math><br />(де <math>{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}</math> )]]
|}

== Визначник ==
Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.
{|
|[[Файл:Penrose_det_T.svg|міні|386x386пкс| [[Визначник]] <math>\det\mathbf{T} = \det\left(T^a_{\ b}\right)</math>]]
|[[Файл:Penrose_T^-1.svg|міні|533x533пкс| Обернена матриця <math>\mathbf{T}^{-1} = \left(T^a_{\ b}\right)^{-1}</math>]]
|}

=== Коваріантна похідна ===
[[Коваріантна похідна|Коваріантну похідну]] ( <math>\nabla</math> ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.
{|
|[[Файл:Penrose_covariant_derivate.svg|обрамити| Коваріантна похідна <math>
12\nabla_a\left( \xi^f\,\lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} \right)</math><math>= 12\left( \xi^f (\nabla_a \lambda^{(d}_{fb[c}) \, D^{e)b}_{gh]} + (\nabla_a \xi^f) \lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} + \xi^f \lambda^{(d}_{fb[c} \, (\nabla_a D^{e)b}_{gh]} ) \right)
</math>]]
|}

== Тензорні маніпуляції ==
Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «<nowiki/>[[Тотожність|тотожностей]]<nowiki/>» тензорних маніпуляцій.

Наприклад, <math>\varepsilon_{a...c} \varepsilon^{a...c} = n!</math>, де ''n'' є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.

=== Тензор кривини Рімана ===
Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення
{|
|[[Файл:Penrose_riemann_curvature_tensor.svg|міні|120x120пкс| Позначення [[Тензор кривини|тензора кривини Рімана]]]]
|[[Файл:Penrose_ricci_tensor.svg|міні|120x120пкс| [[Тензор Річчі]] <math>R_{ab} = R_{acb}^{\ \ \ c}</math>]]
|[[Файл:Penrose_ricci_identity.svg|міні|156x156пкс| Тотожність Річчі <math>(\nabla_a\,\nabla_b -\nabla_b\,\nabla_a)\,\mathbf{\xi}^d</math><math>= R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf{\xi}^c</math>]]
|[[Файл:Penrose_bianchi_identity.svg|міні|138x138пкс| [[Форма кривини|Тотожність Б'янкі]] <math>\nabla_{[a} R_{bc]d}^{\ \ \ e} = 0</math>]]
|}

== Розширення ==
Позначення було розширено завдяки [[Спінор|спінорам]] і [[Твістор|твісторам]] . <ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=CzhhKkf1xJUC
|title=Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields
|last=Penrose
|first=R.
|last2=Rindler
|first2=W.
|year=1984
|publisher=Cambridge University Press
|pages=424–434
|isbn=0-521-24527-3
}}</ref> <ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=f0mgGmtx0GEC
|title=Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry
|last=Penrose
|first=R.
|last2=Rindler
|first2=W.
|year=1986
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=0-521-25267-9
}}</ref>

== Дивіться також ==

* [[Діаграми Фейнмана]]
* [[Багатолінійна алгебра|Мультилінійна алгебра]]
* [[Стан матричного добутку]]
* [[Тензор]]
* [[Тензорні мережі]]

== Примітки ==
{{Reflist}}
[[Категорія:Математична нотація]]
[[Категорія:Теоретична фізика]]
[[Категорія:Тензорне числення]]
[[Категорія:Математика]]