Перегляд вихідного коду сторінки Графік функції

{{unibox}}[[Файл:Cubicpoly.svg|thumb| Графік кубічного [[поліном]]а]]
'''Графік функції'''&nbsp;— [[Діаграма (представлення даних)|діаграма]] в [[Математика|математиці]], яка дає уявлення про [[Геометрія|геометричний]] образ [[Функція (математика)|функції]].

Графіком функції <math>\ f\colon X \to Y</math> називається [[підмножина]] [[декартів добуток|декартового добутку]] <math>\ X</math> на <math>\ Y</math> (<math>G \subset X \times Y </math>), що містить всі пари <math>(x, y)</math>, для яких <math>f(x)=y</math>.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають [[Абсциса|віссю абсцис]] (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають [[Ордината|віссю ординат]] (y). Ці осі разом утворюють [[Система координат|систему координат]]. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами <math>(0, 0)</math> називається ''початком координат''.

== Графіки [[Елементарні функції|елементарних функцій]] ==

# [[Пряма пропорційність]] <math>y=kx</math>
# [[Лінійна функція]] <math>y=kx+b</math>
# Обернена пропорційність <math>y=\frac{k}{x}</math>
# [[Квадратична функція однієї змінної|Квадратична функція]] <math>y=x^2</math>, <math>y=ax^2+bx+c</math>

== Побудова графіка функції ==
Побудова графіка функції, що базується на аналітичному [[Дослідження функції|дослідженні функції]].

[[Алгоритм]] дослідження функції:

# з'ясування [[Область визначення|області визначення функції]];
# вирішується питання про [[Парна функція|парності]] або [[Непарна функція|непарності]] функції;
# досліджується [[Періодична функція|періодичність функції]];
# знаходять точки перетину кривої з осями координат;
# знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
# проводять дослідження на [[екстремум]], знаходять екстремальні значення функції;
# шукаються [[Точка перегину|точки перегину]] та інтервали опуклості та угнутості кривій;
# відшукання [[Асимптота|асимптоти кривої]];
# отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

== Приклад побудови графіка функції ==
Провести дослідження функції &nbsp;<math>y=\frac{x^3}{3-x^2}</math> та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок <math>x=\sqrt{3}</math> та <math>x=-\sqrt{3}</math>.

2) Функція непарна, тому що виконується умова <math>f(-x) = f(x)</math>, а саме, <math>y(-x)=\frac{(-x)^3}{3-(-x)^2}=-\frac{x^3}{3-x^2}</math> , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для <math>0\leqslant x \leqslant + \infty</math>.

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці <math>x=\sqrt{3}</math> , причому <math>\lim_{x \to \sqrt{3}-0}=\frac{x^3}{3-x^2}= +\infty</math> , <math>\lim_{x \to \sqrt{3}+0}=\frac{x^3}{3-x^2}= -\infty</math>. Пряма <math>x=\sqrt{3}</math>&nbsp;— вертикальна асимптота.

6) Знаходимо <math>y'=\frac{9x^2-x^4}{(3-x^2)^2}</math> і прирівнюємо її до нуля:<math> \frac{3x^2(3-x)(3+x)}{(3-x^2)^2}</math> , звідки <math>x_1=-3</math>, <math>x_2=0</math><sub>,</sub> <math>x_3=3</math>. На екстремум треба досліджувати тільки точку <math>x_3=3</math> (точку <math>x_2=0</math> не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку <math>[0;+\infty)</math>.

В околі точки <math>x_3=3</math> має: <math>y'>0</math> при <math>x<3</math> та <math>y'<0</math> при <math>x<3</math> , отже, в точці <math>x_3</math> функція має максимум, <math>y_{max}(3)=-\frac{9}2</math>.

''Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.''

7) Знаходимо <math>y''=\frac{6x(9+x^2)}{(3-x^2)^3}</math>. Бачимо, що <math>y''=0</math> лише при <math>x=0</math>, при цьому <math>y''<0</math> при <math>x<0</math> та <math>y''>0</math> при <math>x>0</math>, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак <math>y''</math> і близько точок розриву функції. У даному випадку <math>y''>0</math> на проміжку <math>(0;\sqrt{3})</math> i <math>y''<0</math> на <math>(\sqrt{3};+\infty)</math>, отже, на <math>(0;\sqrt{3})</math> крива ввігнута і опукла на <math>(\sqrt{3};+\infty)</math>.

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти <math>x=\sqrt{3}</math> встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: <math>\lim_{x \to \infty}=\frac{x^3}{3-x^2}= \infty</math>, отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

<math>k=\lim_{x \to \infty}=\frac{x^3}{x(3-x^2)}= -1</math>, <math>b=\lim_{x \to \infty}(\frac{x^3}{3-x^2}+x)= \lim_{x \to \infty}\frac{3x}{3-x^2}=0</math>, виходячи з цього, <math>y=-x</math>&nbsp;— нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Наукова візуалізація]]
* [[Парна функція]]
* [[Непарна функція]]
* [[Перетворення графіків функцій]]

== Посилання ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Побудова графіків функцій|сторінки=190}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Загальний план дослідження функції та побудова її графіків|сторінки=324}}
* {{MathWorld|urlname=FunctionGraph}}
* [http://www.mdtvm.rv.ua/matem/grafik.html Динамічні математичні моделі]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}

[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Функції та відображення]]