Перегляд вихідного коду сторінки Границя

{{Otheruses|Кордон}}
{{значення}}
'''Границя'''&nbsp;— одне з основних понять [[Математика|математики]], яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між [[Елемент (математика)|елементами]] ([[точка]]ми) [[множина|множини]], в якій вказана величина набуває значення. 

Основні поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]]&nbsp;— [[неперервна функція|неперервність]], [[похідна]], [[інтеграл]]&nbsp;— визначають через границю.

== Границя послідовності ==
{{Main|Границя числової послідовності}}

Стале число <math>a</math> називають границею послідовності <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, якщо для кожного додатного числа <math>\varepsilon</math>, скільки б малим воно не було, існує такий номер <math>N</math>, що всі значення <math>x_n</math>, в яких номер <math>n > N</math>, задовольняють нерівність
: <math>|x_n - a| < \varepsilon</math>
Той факт, що <math>a</math> є границею послідовності, позначають так: <math>\lim_{n \rightarrow  \infty  }  x_n=a</math> або просто <math>\lim x=a</math> чи <math>x_n \rightarrow a, n \rightarrow \infty</math>. Номер <math>N</math> залежить від вибору числа <math>\varepsilon</math>. При зменшенні <math>\varepsilon</math> число <math>N</math> буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени <math>x_n</math> послідовності до <math>a</math> вимагати, тим більші значення їх індексів.

== Границя функції ==
[[Зображення:Límite 01.svg|thumb|Точка {{math|''x''}} знаходиться в межах {{math|δ}} одиниць {{math|''c''}}.]]
[[Зображення:Limit-at-infinity-graph.png|thumb|Для всіх {{math|''x'' > ''S''}}, {{math|''f''(''x'')}} перебуває в межах {{math|ε}} із {{math|''L''}}.]]
{{main|Границя функції в точці}}

Нехай <math>A \subset \mathbb{R}</math>, причому <math>A \ne \emptyset</math>, і <math>x_0</math>&nbsp;— [[гранична точка]] множини <math>A</math>. У подальшому будемо розглядати функції <math>f:\, A \to \mathbb{R}</math>.

=== Означення за Коші ===
Число <math>a</math> називається '''границею функції <math>f</math> в точці'''&nbsp;<math>x_0</math>, якщо для кожного додатного числа <math>\varepsilon</math> існує додатне число <math>\delta</math> таке, що для довільного <math>x \in A \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{x_0\}</math> виконується нерівність <math>|f(x)-a|<\varepsilon.</math>

Позначення:
: <math> a=\lim_{x \to x_0}{f(x)} </math>
або
: <math>f(x) \to a </math> при <math> x \to x_0 </math>.

Під <math>\varepsilon</math> і <math>\delta</math> можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка <math>\varepsilon</math> обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані <math>\delta</math> до граничної точки.

=== Означення за Гейне ===
Число <math>p</math> називається '''границею функції <math>f</math> в точці'''&nbsp;<math>x_0</math>, якщо для довільної послідовності <math>\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty} \subset A</math>, <math>x_n \ne x_0</math> при <math>n \in \mathbb{N}</math>, що збігається до числа <math>x_0</math>, відповідна послідовність значень функції <math>\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}</math> збіжна і має границею одне і теж саме число&nbsp;<math>p</math>.


Наприклад, 

:<math> f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} </math>.

Як видно {{math|''f''(1)}} не визначено, але коли {{mvar|x}} наближається до 1, то {{math|''f''(''x'')}} відповідно наближається до 2:

{| class="wikitable"
|{{math|''f''(0.9)}}||{{math|''f''(0.99)}}||{{math|''f''(0.999)}}|| {{math|''f''(1.0)}} ||{{math|''f''(1.001)}}||{{math|''f''(1.01)}}||{{math|''f''(1.1)}}
|-
|    {{math|1.900}} ||     {{math|1.990}} ||      {{math|1.999}} ||  {{math|не визначено}} ||      {{math|2.001}} ||     {{math|2.010}} ||    {{math|2.100}}
|}

Таким чином, {{math|''f''(''x'')}} можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши {{mvar|x}} досить близьким до 1. Тобто

: <math> \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2. </math>

Це також можна обчислити алгебраїчно як <math display="inline">\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1</math> для всіх дійсних чисел {{math|''x'' ≠ 1}}.

Оскільки <math display="inline">x+1</math> визначене при <math display="inline">x = 1</math>, то можна підставити 1 замість {{mvar|x}}, що приведе до рівності

: <math>\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 1 + 1 = 2.</math>

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

: <math>f(x) = \frac{2x-1}{x}</math>,
для якої
* {{math|1=''f''(100) = 1.9900}}
* {{math|1=''f''(1000) = 1.9990}}
* {{math|1=''f''(10000) = 1.9999}}

Коли x стає надзвичайно великим, значення {{math|''f''(''x'')}} наближається до 2, а значення {{math|''f''(''x'')}} можна наблизити до 2, зробивши {{mvar|x}} достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя {{math|''f''(''x'')}} при {{mvar|x}}, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

: <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x} = 2.</math>

== Обчислюваність границі ==
Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, {{не перекладено|Модуль збіжності|модуль збіжності|en|Modulus of convergence}} яких [[Алгоритмічно нерозв'язна задача|нерозв’язний]]. У [[Теорія обчислюваності|теорії обчислюваності]] {{не перекладено|Гранична лема|гранична лема|en|Limit lemma}} показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі<ref>''Recursively enumerable sets and degrees'', Soare, Robert I.</ref>.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Границя функції в точці]]
** [[Одностороння границя]]: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної {{mvar|x}}, коли {{mvar|x}} прямує до точки зліва або справа
** [[Список границь]]: список границь поширених функцій
** [[Стискна теорема]]: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
* [[Верхня і нижня границі]]
* [[Швидкість збіжності]]
* [[Асимптотичний аналіз]]: метод опису граничної поведінки
** [[Нотація Ландау]]: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
* [[Фундаментальна послідовність]]
** [[Повний метричний простір]]
* [[Рівномірна збіжність]]
* [[Збіжність майже всюди]]
* [[Збіжність за мірою]]
* [[Збіжність випадкових величин]]
* [[Границя (теорія категорій)| Границя в теорії категорій]]
** [[Індуктивна границя]]
** [[Проєктивна границя]]
* [[Межа (значення)]]

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

[[Категорія:Границі| ]]
[[Категорія:Збіжність]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Асимптотичний аналіз]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Загальна топологія]]