Перегляд вихідного коду сторінки Голоморфно опукла оболонка

У [[Математика|математиці]], зокрема у [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]], '''голоморфно опуклою оболонкою''' даної [[Компактна множина|компактної множини]] у ''n''-вимірному комплексному просторі <math>\Complex^n</math> є аналогом [[Опукла оболонка|опуклої оболонки]] де замість [[Лінійна функція|лінійних функцій]] беруться [[Голоморфна функція|голоморфні]].

== Означення ==
Нехай  <math>G \subset \Complex^n</math> — область ([[Відкрита множина|відкрита]] і [[Зв'язаний простір|зв'язана]] [[множина]]) або <math>n</math> вимірний [[комплексний многовид]]. Нехай  <math>{\mathcal{O}}(G)</math> позначає множину [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]] на <math>G.</math> Для підмножини  <math>K \subset G</math>, '''голоморфно опуклою оболонкою''' <math>K</math> є

: <math> \hat{K}_G := \left \{ z \in G \left | |f(z)| \leqslant \sup_{w \in K} |f(w)| \mbox{ for all } f \in {\mathcal{O}}(G) \right. \right \} .</math>

Якщо замість <math>\mathcal O(G)</math> взяти деяку довільну сім'ю функцій <math>F</math>, то подібним чином задана множина називається '''F-опуклою оболонкою'''. Зокрема для випадку [[Лінійна функція|лінійних функцій]] на <math>\Complex^n</math> одержується стандартна [[опукла оболонка]]. Ще одним важливим прикладом є коли <math>F</math> є множиною [[Многочлен|поліноміальних функцій]] на ''G''. Тоді ця оболонка називається ''поліноміально опуклою оболонкою''. Поліноміально опукла оболонка містить голоморфно опуклу оболонку.

Область <math>G</math> називається '''голоморфно опуклою''' якщо для кожної [[Компактна множина|компактної підмножини]] <math>K \subset G</math> голоморфно опукла оболонка <math>\hat{K}_G</math> у <math>\Complex^n</math> теж є компактною [[Підмножина|підмножиною]] у <math>G</math>. Мотивацією для даного означення є випадок звичайних опуклих множин. У цьому випадку відкрита зв'язана підмножина <math>\R^n</math> чи <math>\Complex^n</math> є опуклою [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли замикання опуклої оболонки будь-якої її компактної підмножини теж є її компактною підмножиною.

Аналогічно вводиться поняття '''F-голоморфно опуклої області''' для деякої сім'ї функцій <math>F.</math>

== Приклади == 

* Кожна [[Опукла множина|опукла]] область <math>G \subset \Complex^n</math> є також голоморфно опуклою.

:: Якщо <math>K \subset G</math> і <math>z \in G \setminus \bar{K}_G,</math> де <math>\bar{K}_G</math> — [[опукла оболонка]] <math>K</math> у <math>G,</math> то існує [[лінійна функція]] <math>l : \Complex^n \to \R</math> (де <math>\Complex^n</math> розглядається як дійсний простір розмірності <math>2n</math>) для якої <math>l(z) > \sup_{w \in K} l(w) </math> 
::Якщо <math>z = (z_1,\ldots,z_n)</math>, де <math>z_k = x_k + iy_k</math>, то за означенням <math display="inline">l(z) = \sum_{k=1}^n a_kx_k + b_ky_k + c.</math> Окрім того оскільки важливим є лише порівняння значення цієї функції для різних точок, можна вважати, що <math>c = 0</math>. Тоді якщо позначити <math>d_k = a_k - ib_k,</math> то також <math display="inline">l(z) = \Re \left ( \sum_{k=1}^n d_kz_k \right ) =  \Re L(z),</math> де <math>L(z)</math> — відповідна комплексна лінійна функція. Навпаки кожна дійсна лінійна функція у такий спосіб одержується як дійсна частина комплексної лінійної функції. 
::Оскільки для будь-якого комплексного числа <math>A</math> згідно означення експоненти: <math>|e^A| = \Re A,</math> то звідси <math>l(z) = \left |e^{L(z)} \right |.</math> Отож <math>z \in G \setminus \bar{K}_G,</math> якщо і тільки якщо <math>\left |e^{L(z)} \right | > \sup_{w \in K} \left |e^{L(z)} \right |</math> для деякої комплексної лінійної однорідної функції <math>L(z).</math>
::Але функції <math>e^{L(z)} </math> є голоморфними на <math>G,</math> а тому також <math>z \not \in \hat{K}_G.</math> Тобто голоморфно опукла оболонка є підмножиною опуклої оболонки і тому якщо <math>\bar{K}_G</math> є компактною підмножиною <math>G,</math> то <math>\hat{K}_G</math> як замкнута підмножина компактної множини є компактною.

* Будь-яка область <math>G \subset \Complex</math> є голоморфно опуклою.

:: Нехай <math>K \subset G</math> — компактна підмножина. Вона є [[Обмежена множина|обмеженою]] і за властивостями голоморфно опуклої оболонки <math>\hat{K}_G</math> теж є обмеженою. Позначимо її [[Замикання (топологія)|замикання]] у <math>\Complex</math> як <math> K_1.</math> Тоді <math>K_1</math> є компактною множиною і потрібно довести, що <math>K_1 \subset G.</math> Припустимо, що <math>z_0 \in K_1 \setminus G.</math> Тоді <math>z_0 \in \partial K_1 \cap \partial G</math> і функція <math>f(z) = 1/(z-z_0)</math> є голоморфною у <math>G.</math> Існує послідовність <math>z_i \in \hat{K}_G,</math> що прямує до <math>z_0.</math> Із означення голоморфно опуклої оболонки <math>|f(z_i)| \leqslant \sup_{w \in K} |f(w)| < \infty,</math> оскільки <math>K </math> — компактна підмножина. Але це неможливо оскільки очевидно <math>f(z_i) = 1/(z_i - z_0)</math> є необмеженою послідовністю.


== Властивості ==

* <math>K \subset \hat{K}_G.</math>
* <math>\hat{K}_G</math> є замкнутою підмножиною у <math>G</math> (але не обов'язково у<math>\Complex^n</math>).
* <math> \hat{(\hat{K}_G)}_G = \hat{K}_G.</math>
* Якщо <math>K_1 \subset K_2 \subset G,</math> то <math>\hat{K_1}_G \subset \hat{K_2}_G.</math>
* Якщо <math>K </math> є обмеженою множиною, то <math>\hat{K}_G</math> теж є обмеженою.
* Область <math>G \subset \Complex^n</math> є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо для кожної [[Нескінченна множина|нескінченної множини]] <math>D \subset G,</math> що не має [[Гранична точка|граничних точок]] у <math>G</math> існує функція <math>f \in \mathcal O(G),</math> що є необмеженою на множині <math>D.</math>
* Область <math>G \subset \Complex^n</math> є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо вона є [[Область голоморфності|областю голоморфності]] (теорема Картана — Тюллена).

== Див. також ==

* [[Голоморфна функція]]
* [[Опукла оболонка]]

== Література ==

* Lars Hörmander. ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables'', North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

{{Ізольована стаття|кільце2}}
[[Категорія:Комплексний аналіз]]