Перегляд вихідного коду сторінки Головна кривина

[[Файл:Minimal surface curvature planes-uk.svg|thumb|300px|right|[[Сідлова точка#Сідлова поверхня|Сідлова поверхня]] з нормальними площинами, що містять головні напрямки точки, до якої проведена нормаль]]
У [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] '''головні кривини''' [[Поверхня|поверхні]] в точці&nbsp;— це екстремальні значення [[Кривина (математика)#Кривина поверхні|нормальних кривин]] у цій точці. Вони вимірюють, наскільки сильно поверхня вигинається в різних напрямках у даній точці.

== Означення ==
Нехай {{mvar|B}} та {{mvar|D}}&nbsp;— матриці [[перша квадратична форма|першої]] та [[друга квадратична форма|другої]] квадратичних форм поверхні в точці {{mvar|P}} відповідно, тобто
{{center|<math>B = \begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}
L & M \\
M & N
\end{pmatrix}.</math>}}

''Головними кривинами'' поверхні в точці {{mvar|P}} називаються розв'язки {{math|''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>}} рівняння <math>\det(B - \lambda D) = 0.</math>

[[Дотичний вектор]] <math>a \ne 0</math> називається ''головним напрямком'' на поверхні в точці {{mvar|P}}, якщо він задовольняє умові <math>B a = \lambda D a,</math> де <math>\lambda = k_1, k_2.</math>

== Властивості ==
Якщо {{math|''k''<sub>1</sub>}} та {{math|''k''<sub>2</sub>}} співпадають, то будь-який напрямок у відповідній [[дотична площина|дотичній площині]] є головним. Інакше головних напрямків буде двоє, причому вони будуть [[ортогональність|ортогональними]].

Нехай <math>\theta</math>&nbsp;— кут між деяким дотичним вектором {{mvar|b}} в точці {{mvar|P}} та головним напрямком, який відповідає головній кривині {{math|''k''<sub>1</sub>}} в точці {{mvar|P}}. Тоді для нормальної кривини в {{mvar|P}} у напрямку {{mvar|b}} справедлива формула [[Леонард Ейлер|Ейлера]]
{{center|<math>k_{n} = k_1 \cos^{2} \theta + k_2 \sin^{2}\theta.</math>}}
Наслідком з наведеної формули є те, що нормальна кривина поверхні в точці досягає найменшого та найбільшого значень в головних напрямках цієї точки.

== Гауссова та середня кривини ==
{{main|Кривина Гаусса|Середня кривина}}
''Гауссовою кривиною'' поверхні в точці називається добуток головних кривин поверхні в цій точці: <math>K = k_1 k_2.</math>

''Середньою кривиною'' поверхні в точці називається половина суми головних кривин поверхні в цій точці: <math>H = \frac{1}{2}(k_1 + k_2).</math>

Якщо ці величини відомі, то головні кривини будуть коренями рівняння
{{center|<math>\lambda^2 - 2 H \lambda + K = 0.</math>}}

== Класифікація точок поверхні ==
Точка поверхні називається ''еліптичною'', якщо в ній <math>K > 0.</math> Якщо при цьому <math>k_1 = k_2 \ne 0,</math> то точка називається ''[[омбілічна точка|омбілічною]]'' (або ''точкою округлення'').

Точка поверхні називається ''гіперболічною'', якщо в ній <math>K < 0.</math>

Точка поверхні називається ''параболічною'', якщо в ній <math>K = 0,</math> причому <math>k_{1}^{2} + k_{2}^{2} \ne 0.</math> Якщо <math>k_1 = k_2 = 0,</math> то точка поверхні називається ''точкою сплощення''.

== Лінія кривини ==
Крива <math>\gamma</math> на поверхні {{mvar|X}} називається ''лінією кривини'' цієї поверхні, якщо головний напрямок на {{mvar|X}} у кожній точці {{mvar|P}} кривої <math>\gamma</math> є дотичним вектором до <math>\gamma</math> в точці {{mvar|P}}.

Знаходити лінії кривини поверхні {{mvar|X}} можна за допомогою наступного [[диференціальні рівняння|диференціального рівняння]]:
{{center|<math>\frac{L du + M dv}{E du + F dv} = \frac{M du + N dv}{F du + G dv},</math>}}
де {{mvar|E}}, {{mvar|F}} та {{mvar|G}}&nbsp;— коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні {{mvar|X}}, а {{mvar|L}}, {{mvar|M}} та {{mvar|N}}&nbsp;— коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні {{mvar|X}}.

== Див. також ==
* [[Теорема Меньє]]

== Література ==
* {{Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія}}
* {{cite book|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Майкл Співак|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1}}

{{Портали|Математика}}

[[Категорія:Кривина (Математика)]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія поверхонь]]