Перегляд вихідного коду сторінки Геометричний розподіл

{{Infobox probability distribution
| name       = Геометричний
| type       = mass
| pdf_image  = [[File:geometric pmf.svg|450px]]
| cdf_image  = [[File:geometric cdf.svg|450px]]
| parameters = <math>0 < p \leq 1</math> ймовірність успіху ([[дійсне число]])
| support    = ''k'' спроб, де <math>k \in \{1,2,3,\dots\}</math>
| pdf        = <math>(1 - p)^{k-1}p</math>
| cdf        = <math>1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor}</math> for <math>x\geq 1</math>,<br /><math>0</math> для <math>x<1</math>
| mean       = <math>\frac{1}{p}</math>
| median     = <math>\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil</math> <br />
(не єдина якщо <math>-1/\log_2(1-p)</math> це ціле число)
| mode       = <math>1</math>
| variance   = <math>\frac{1-p}{p^2}</math>
| skewness   = <math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}</math>
| kurtosis   = <math>6+\frac{p^2}{1-p}</math>
| entropy    = <math>\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}</math>
| mgf        = <math>\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t},</math><br />для <math>t<-\ln(1-p)</math>
| char       = <math>\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}</math>
| fisher     = <math>\tfrac{1}{p^2 \cdot(1-p)}</math>
| parameters2 = <math>0 < p \leq 1</math> ймовірність успіху ([[дійсне число]])
| support2   = ''k'' невдач, де <math>k \in \{0,1,2,3,\dots\}</math>
| pdf2       = <math>(1 - p)^k p</math>
| cdf2       = <math>1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor+1}</math> для <math>x\geq -1</math>,<br /><math>0</math> для <math>x<0</math>
| mean2      = <math>\frac{1-p}{p}</math>
| median2    = <math>\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil - 1</math> <br />
(не єдина якщо <math>-1/\log_2(1-p)</math> це ціле число)
| mode2      = <math>0</math>
| variance2  = <math>\frac{1-p}{p^2}</math>
| skewness2  = <math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}</math>
| kurtosis2  = <math>6+\frac{p^2}{1-p}</math>
| entropy2   = <math>\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}</math>
| mgf2       = <math>\frac{p}{1-(1-p)e^t},</math><br />для <math>t<-\ln(1-p)</math>
| char2      = <math>\frac{p}{1-(1-p)e^{it}}</math>
| fisher2    = <math>\tfrac{1}{p^2 \cdot(1-p)}</math>
}}
В [[теорія імовірностей|теорії імовірностей]] і [[статистика|статистиці]] '''геометричний розподіл''' визначається як будь-який з двох [[розподіл ймовірностей|розподілів ймовірностей]]:
* дискретна випадкова величина ''X'' має геометричний розподіл з параметром ''p'' , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні. 
*: <math>\Pr(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p\,</math>
*: де ''k'' = 1, 2, 3, ....
* величина ''Y''&nbsp;=&nbsp;''X''&nbsp;−&nbsp;1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.
*: <math>\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,</math>
*: де ''k'' = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. 
Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним.
Очікувана величина геометричного розподілу [[випадкова величина|випадкової величини]] ''X'' є 1/''p'' і її похибка (1&nbsp;−&nbsp;''p'')/''p''<sup>2</sup>:
:<math>\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p}, \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.</math>

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини ''Y'' є <math>(1-p)/p</math>, і її похибка <math>(1-p)/p^2</math>:
:<math>\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p}, \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.</math>

== Оцінка параметра ==
Для обох варіантів геометричного розподілу параметр ''p'' може оцінюватися через порівняння очікуваної величини. Це [[метод моментів]], який у цьому випадку проводить оцінки максимальної ймовірності ''p''.
Припустимо, для першого варіанту <math>k_1,\dots,k_n</math>, коли <math>k_i \geqslant 1</math> для <math>i=1,\dots,n</math>. Тоді ''p'' має такі оцінки
: <math>\widehat{p} = \left(\frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!</math>
: <math>p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n (k_i-1)\right). \!</math>.

: <math>\widehat{p} = \left(1 + \frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!</math>
: <math>p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n k_i\right). \!</math>

== Інші властивості ==
Функція імовірності ''X'' і ''Y'' , відповідно,
*:: <math>G_X(s) = \frac{s\,p}{1-s\,(1-p)}, \!</math>
*:: <math>G_Y(s) = \frac{p}{1-s\,(1-p)}, \quad |s| < (1-p)^{-1}. \!</math>
* Подібно неперервному аналогу ([[показниковий розподіл]]) , геометричний розподіл має властивість [[відсутність пам'яті розподілу|відсутності пам'яті]]. Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю. 
* Серед всіх дискретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл ''X'' з параметром ''p'' = 1/μ є одним 
Геометричний розподіл числа ''Y'' невдач перед першим успіхом є [[нескінченно ділимий|нескінченно ділимим]],для будь-якого додатнього цілого ''n'', існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини ''Y''<sub>1</sub>, ..., ''Y''<sub>''n''</sub> сума яких має такий самий розподіл як і ''Y''

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

{{Math-stub}}

{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Дискретні розподіли]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності]]