Геометричний розподіл

Шаблон:Infobox probability distribution В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

• дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.

  $\mathrm{Pr}(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$

  де k = 1, 2, 3, ....

• величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.

  $\mathrm{Pr}(Y=k)=(1-p{)}^{k}p$

  де k = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p²:

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p},\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\frac{1-p}{p^2}.$

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є $(1-p)/p$, і її похибка $(1-p)/p^2$:

$\mathrm{E}(Y)=\frac{1-p}{p},\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=\frac{1-p}{p^2}.$

Оцінка параметра

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини. Це метод моментів, який у цьому випадку проводить оцінки максимальної ймовірності p. Припустимо, для першого варіанту $k_1,\dots ,k_n$, коли $k_i⩾1$ для $i=1,\dots ,n$. Тоді p має такі оцінки

$\hat{p}={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{k}_i\right)}^{-1}.$

$p\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(\alpha +n,\beta +\sum _{i=1}^n(k_i-1)).$.

$\hat{p}={(1+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{k}_i)}^{-1}.$

$p\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(\alpha +n,\beta +\sum _{i=1}^n{k}_i).$

Інші властивості

Функція імовірності X і Y , відповідно,

• $G_X(s)=\frac{sp}{1-s(1-p)},$

  $G_Y(s)=\frac{p}{1-s(1-p)},|s|<(1-p{)}^{-1}.$

• Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті. Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
• Серед всіх дискретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y₁, ..., Y_n сума яких має такий самий розподіл як і Y

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко