Перегляд вихідного коду сторінки Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину <math>\xi</math> яка приймає значення з множини <math>Z^+ = \{0,1,\ldots \}</math> будемо називати '''цілочисельною''', а її [[розподіл випадкової величини|розподіл]] будемо визначати ймовірностями <math>p_n = P\{ \xi = n \},\, n \in Z^+</math>, де <math>\sum_{n=0}^\infty p_n = 1</math>.

'''Генератрисою цілочисельної випадкової величини''' будемо називати функцію

:<math>\Psi_\xi(s) = M s^\xi\ (|s| \leq 1)</math>, 

яка виражається через [[закон розподілу]] такою функцією:

:<math>\Psi_\xi(s) = \sum_{n=0}^\infty p_n s^n</math>, 

яка очевидно збігається при <math>|s| \leq 1</math>.

== Застосування в теорії ймовірностей  ==
Якщо <math>\xi</math> — додатня цілочисленна [[випадкова величина]], то її [[математичне сподівання]] може бути виражене через генератрису
як значення першої [[Похідна|похідної]] в одиниці: <math>M[X] = \Psi'(1)</math>.

Дійсно, 
:<math>\Psi'(s)=\sum_{n=1}^\infty n p_n s^{n-1}</math>.

При підстановці <math>s=1</math> отримаємо величину <math>\Psi'(1)=\sum_{n=1}^\infty{n p_n}</math>, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини. 

Якщо цей ряд розбігається, то<math>\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty</math> -- а <math>X</math> має нескінченне математичне сподівання, <math>P'(1)=M[X]=\infty</math>

* Тепер візьмемо твірну функцію <math>Q(s)</math> послідовності «хвостів» розподілу <math>\{q_k\}</math>
: <math>q_k=\mathbb{P}(X>j)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.</math>
Ця [[Генератриса|твірна функція]] пов'язана з визначеною раніше функцією <math>P(s)</math> властивістю: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>.
З цього з [[Теорема Лагранжа|теореми про середнє]] випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:
: <math>M[X]=P'(1)=Q(1)</math>

* Диференціюючи <math>P'(s)=\sum_{k=1}^\infty{k p_k s^{k-1}}</math> і використовуючи співвідношення <math>P'(s)=Q(s)-(1-s)Q'(s)</math>, отримаємо:
: <math>M[X(X-1)]=\sum{k(k-1)p_k}=P''(1)=2Q'(1)</math>

Для того, щоб отримати [[Дисперсія випадкової величини|дисперсію]] <math>D[X]</math>, до цього виразу треба додати <math>M[X]-M^2[X]</math>, що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:
: <math>D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^2(1)=2Q'(1)+Q(1)-Q^2(1)</math>.
У випадку нескінченної дисперсії <math>\lim_{s\to 1}P''(s)=\infty</math>.

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Функції пов'язані з розподілами ймовірностей]]