Перегляд вихідного коду сторінки Гармонічний ряд

{{Числення|expanded=Рядів}}
В [[Математика|математиці]], гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний [[Ряд (математика)|ряд]]:

: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!</math>

== Обчислення ==
<math>n</math>-ною частковою сумою <math> s_n </math> гармонічного ряду називається <math>n</math>-не [[гармонічне число]]:
: <math> s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} </math>

=== Деякі значення часткових сум ===
{| style="border: none" cellpadding="10"
|-
| <math>\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083\end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283 \\\\ s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718\end{matrix}</math>
|}

== Розбіжність ряду ==

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 10<sup>43</sup> елементів ряду).

=== Доведення 1 ===
Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
: <math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots.
\end{align}
</math>

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

=== Доведення 2 ===
Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна <math>~S</math>:
: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S</math>
Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
: <math>S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)</math>
Винесемо із других дужок <math>\tfrac{1}{2}</math>:
: <math>S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)</math>

Замінимо вираз в других дужках на <math>~S</math>:
: <math>S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S</math>

Перенесемо <math>\tfrac{1}{2}S</math> в ліву частину:
: <math>\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)</math>

Замінивши <math>~S</math> сумою ряду одержимо:
: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots</math>

Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

=== Доведення 3 ===
На початок запишемо суму [[геометрична прогресія|геометричної прогресії]]:

: <math>\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... </math>
де ''|x|<1''.

Візьмемо [[інтеграл]] з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

: <math>-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... </math>

Перейшовши до границі при <math> x \rightarrow 1 </math> одержуємо рівність:

: <math>-\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} </math>.

Оскільки <math> -\lim_{x\to 1} \ln(1-x) = -(-\infty) = \infty </math>, то також має місце <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty </math>

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

== Пов'язані ряди ==
{{section-stub}}

=== Знакопереміжний гармонічний ряд ===
[[Image:Alternating Harmonic Series.PNG|right|thumb|240px|Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).]]
Ряд
<math display=block>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots</math>
називається '''знакопереміжним гармонічним рядом'''. Він [[Умовна збіжність|умовно збіжний]] за [[Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів|теоремою Лейбніца]], але не [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжний]]. Його сума - {{iw|логарифм від 2|||natural logarithm of 2}}.{{r|freniche}}

Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний [[ряд Лейбніца]] для знаходження {{pi}}{{r|soddy}}
<math display=block>\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}.</math>

== Див. також ==
* [[Гармонічне число]]
* [[Константа Майсселя — Мертенса]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Клепко_ВМ|частина = Гармонічний ряд|сторінки =497}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}

== Зноски ==
<references>
<ref name=freniche>{{cite journal
 | last = Freniche | first = Francisco J.
 | doi = 10.4169/000298910X485969
 | issue = 5
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 10.4169/000298910x485969
 | mr = 2663251
 | pages = 442–448
 | title = On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series
 | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2010-05_117_5/page/442 | volume = 117
 | year = 2010}}</ref>
 
 <ref name=soddy>{{cite journal
 | last = Soddy | first = F. | author-link = Frederick Soddy
 | doi = 10.1098/rspa.1943.0026
 | journal = [[Proceedings of the Royal Society]]
 | mr = 9207
 | pages = 113–129
 | title = The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for <math>\pi</math>)
 | volume = 182
 | year = 1943}}</ref>
</references>

{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Ряди та послідовності]]
[[Категорія:Доведення без слів]]