Перегляд вихідного коду сторінки Варіація функції

{{Інші значення|Варіація}}
'''Варіацією [[функція (математика)|функції]]''' називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в <math>\R^n</math> є узагальненням поняття довжини кривої.

== Означення ==
Нехай <math>f:[a,\;b]\to\R^n</math>. Тоді '''варіацією''' (також '''повною варіацією''' або '''повною зміною''') функції <math>f</math> на відрізку <math>[a,\;b]</math> називається наступна величина:
: <math>V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,</math>
тобто [[точна верхня грань]] за всіма [[розбиття множини|розбиттями]] відрізка <math>[a,\;b]</math> довжин ламаних у <math>\R^n</math>, кінці яких відповідають значенням <math>f</math> у точках розбиття.

== Пов'язані означення ==
* Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються '''функціями обмеженої варіації''', а клас таких функцій позначається <math>V[a,\;b]</math> або просто <math>V</math>.
** У такому випадку визначена функція <math>v(x)=V_a^x f</math>, що називається '''функцією повної варіації''' для <math>f</math>.
* '''Додатна варіація''' дійснозначної функції <math>f</math> на відрізку <math>[a,\;b]</math> називається наступна величина:
*: <math>P_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_k)\}.</math>
* Аналогічно означається '''від'ємна варіація''' функції:
*: <math>N_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}-\inf\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.</math>
* Таким чином повна варіація функції може бути представлена у вигляді суми
*: <math>V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.</math>

== Властивості функцій обмеженої варіації ==
* Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з <math>V</math> буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу <math>V</math>), якщо модуль знаменника на відрізку <math>[a,\;b]</math> буде більше, ніж позитивна стала.
* Якщо <math>a<x\leqslant y<b</math>, а <math>f\in V[a,\;b]</math>, то <math>V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f</math>.
* Якщо функція <math>f</math> [[неперервна функція|неперервна]] в точці <math>a</math> справа і належить <math>V[a,\;b]</math>, то <math>\lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0</math>.
* Функція <math>f(x)</math>, задана на відрізку <math>[a,\;b]</math>, є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на <math>[a,\;b]</math> функції ([[розклад Жордана]]).
* Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж [[зліченна множина|зліченну множину]] [[точка розриву|точок розриву]], причому всі першого роду.
* Функція обмеженої варіації може бути представлена у вигляді суми [[абсолютно неперервна функція | абсолютно неперервної функції]], [[сингулярна функція | сингулярної функції]] та [[функція стрибків|функції стрибків]] ([[розклад Лебега]]).
Всі ці властивості були встановлені Жорданом<ref name="Jordan"/><ref>{{книга|автор=Натансон, И. П.|заголовок=Теория функций вещественной переменной|місце=М.|видавництво=Наука|рік=1974|сторінки=234—238|сторінок=484}}</ref>.

== Обчислення варіації ==

=== Варіація неперервно диференційовної функції ===
Якщо функція <math>f:[a,\;b]\to\R^n</math> належить до класу <math>C^1</math>, тобто має [[неперервне відображення|неперервну]] [[похідна|похідну]] першого порядку на відрізку <math>[a,\;b]</math>, то <math>f</math> — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:
: <math>\int\limits_a^b\|f^\prime(x)\|\,dx,</math>
тобто рівна [[інтеграл]]у [[норма (математика)|норми]] похідної.

== Історія ==
Функції обмеженої варіації вивчалися [[Каміль Жордан|К. Жорданом]]<ref name="Jordan">''Jordan C.'' Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.</ref>.

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням [[Ознака Діріхле|ознаки Діріхле]] збіжності [[Ряд Фур'є | рядів Фур'є]] кусково монотонних функцій.
Жордан довів, що ряди Фур'є <math>2\pi</math>-періодичних функцій класу <math>V[0,\;2\pi]</math> збігаються в кожній точці дійсної осі.
Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії [[Інтеграл Стілтьєса | інтеграла Стілтьєса]].

== Узагальнення ==
[[Довжина кривої]] означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:
* [[варіація Фреше]],
* [[плоска варіація Тонеллі]].

=== Φ-варіація функції ===

==== Властивості ====
Якщо розглядати дві функції <math>\Phi_1(x)</math> і <math>\Phi_2(x)</math> такі, що
: <math>\varlimsup_{x\to 0^+}\frac{\Phi_1(x)}{\Phi_2(x)}<\infty,</math>
то для їх <math>\Phi</math>-варіацій справедливе відношення:
: <math>V_{\Phi_2}[a,\;b]\subset V_{\Phi_1}[a,\;b].</math>
Зокрема,
: <math>V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha})}\subset V_{\exp(-x^{-\beta})}</math>
при <math>1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha<\beta<\infty</math>.

== Див. також ==
* [[Варіаційне числення]]
* [[Інтеграл Стілтьєса]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{книга|автор=Лебег, А.|заголовок=Интегрирование и отыскание примитивных функций|ответственный=Пер. с франц|место=М.—Л.|издательство=ОНТИ|год=1934|страниц=324}}
* {{книга|автор=Бари, Н. К.|заголовок=Тригонометрические ряды|место={{М.}}|издательство=Государственное издательство физико-математической литературы|год=1961|страниц=936}}

== Примітки ==
{{примітки}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]