Перегляд вихідного коду сторінки Біноміальний розподіл

{{Розподіл ймовірностей
| name       = Біноміальний розподіл
| type       = pmf
| pdf_image  = Binomial distribution pmf.svg
| pdf_image_size = 434px
| pdf_image_alt = Функція ймовірностей біноміального розподілу
| pdf_caption = 
| cdf_image  = Binomial distribution cdf.svg
| cdf_image_size = 434px
| cdf_image_alt = Функція розподілу ймовірностей біноміального розподілу
| cdf_caption = <small>Кольори збігаються з попереднім малюнком</small>
| parameters = <math>n \geq 0</math> кількість випробувань ([[цілі числа|ціле]])<br /><math>0\leq p \leq 1</math> ймовірність успіху ([[дійсні числа|дійсне]])
| support    = <math>k \in \{0,\dots,n\}\!</math>
| pdf        = <math>{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!</math>
| cdf        = <math>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</math>
| mean       = <math>np\!</math>
| median     = одне із <math>\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lceil np \rceil\}</math><ref>Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.</ref>
| mode       = <math>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</math>
| variance   = <math>np(1-p)\!</math>
| skewness   = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!</math>
| kurtosis   = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math>
| entropy    = <math> \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math>
| mgf        = <math>(1-p + pe^t)^n \!</math>
| char       = <math>(1-p + pe^{it})^n \!</math>
| fisher     = <math> g_n(p) = \frac{n}{pq} </math><br />(для незмінного <math>n</math>)
}}

[[Дискретна випадкова величина]] ξ називається такою, що має '''біноміальний розподіл''', якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд:
<math>P(\xi=k) = C_n^k p^k q^{n-k},   k = 0,1,...n </math>, де <math>p, n</math>&nbsp;— параметри, що визначають розподіл, <math>p\in[0,1], q=1-p, n\in\mathbb{N}</math>.

Позначається <math>\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)</math>.

Біноміальний розподіл є [[Розподіл_ймовірностей#Дискретні_розподіли|дискретним розподілом імовірностей]] із параметрами ''n'' і ''p'' для кількості успішних результатів, що мають двійкове значення у послідовності із ''n'' [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежних]] [[Стохастичний експеримент|експериментів]], для кожного з яких ставиться питання "так або ні".  [[Імовірність]] виникнення успішного результату для кожного випробування задається параметром ''p'', а імовірність виникнення не успішного результату відповідно дорівнюватиме ''q'' = 1 − ''p''.

Єдиний успішний чи не успішний експеримент також називають [[Схема Бернуллі|випробуванням Бернуллі]] або експериментом Бернуллі, а послідовність результатів таких експериментів називаються {{нп|Процес Бернуллі|процесом Бернуллі|en|Bernoulli process}}; для однократного випробування, тобто, при ''n'' = 1, біноміальний розподіл є [[Розподіл Бернуллі|розподілом Бернуллі]]. Біноміальний розподіл є основою загальновживаної {{нп|Біноміальна перевірка|біноміальної перевірки|en|binomial test}} [[Статистична значущість|статистичної значущості]].

Біноміальний розподіл часто використовують для моделювання кількості успішних експериментів у вибірці розміром в  ''n'', де експерименти виконуються із [[Відбір вибірки (статистика)|поповненням]] із сукупності розміром ''N.'' Якщо відбір вибірки відбуватиметься без поповнення, тоді такі експерименти не будуть незалежними і їх результатний розподіл буде [[Гіпергеометричний розподіл|гіпергеометричним]], а не біноміальним.  Однак, для випадку, коли ''N'' набагато більше за ''n'', біноміальний розподіл використовують, оскільки він залишається добрим наближенням.

== Пояснення ==

В [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та [[математична статистика|математичній статистиці]], біноміальний розподіл є дискретним ймовірнісним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернуллі, або [[Схема Бернуллі|схемою Бернуллі]], зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо [[Розподіл Бернуллі]].

==Означення==

===Функція імовірностей===

У загальному випадку, якщо випадкова величина ''X'' відповідає біноміальному розподілу із параметрами ''n'' ∈ ℕ і ''p'' ∈ [0,1], записують ''X''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''p''). Імовірність випадання точно ''k'' успішних випадків при ''n'' випробуваннях задається наступною [[Функція маси імовірності|функцією маси імовірності]]:

:<math>f(k,n,p) = \Pr(k;n,p) = \Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

для ''k''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;''n'', де

:<math>\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>

це [[біноміальний коефіцієнт]], названий так само як і сам розподіл. Цю формулу можна розуміти таким чином. ''k'' успішних випадків виникають із імовірністю ''p''<sup>''k''</sup> і ''n''&nbsp;−&nbsp;''k'' не успішних результатів випадають із імовірністю (1&nbsp;−&nbsp;''p'')<sup>''n''&nbsp;−&nbsp;''k''</sup>. Однак, ''k'' успішних результатів можуть виникнути в будь-який момент серед даних ''n'' випробувань, тому існує <math>\binom{n}{k}</math> різних способів розподілення ''k'' успішних випадків у послідовності з ''n'' спроб.

При створенні довідникових таблиць для біноміального розподілу, як правило таблицю заповнюють значеннями до ''n''/2. Це тому що для ''k''&nbsp;>&nbsp;''n''/2, можна розрахувати як імовірність для її доповнення, таким чином

:<math>f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p). </math>

Якщо розглядати вираз ''f''(''k'',&nbsp;''n'',&nbsp;''p'') як функцію від ''k'', повинно існувати таке значення ''k'', яке максимізує її. Це значення ''k'' можна знайти, якщо розрахувати:
:<math> \frac{f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)} </math>
і прирівняти до 1. Завжди існуватиме ціле число ''M'' яке задовольняє умові

:<math>(n+1)p-1 \leq M < (n+1)p.</math>

''f''(''k'',&nbsp;''n'',&nbsp;''p'') є монотонно зростаючою при ''k''&nbsp;<&nbsp;''M'' і монотонно спадною для ''k''&nbsp;>&nbsp;''M'', за винятком випадку де (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p'' є цілим. В даному випадку, існує два значення в яких ''f'' є максимальною: (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p'' і (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''&nbsp;−&nbsp;1. ''M'' є ''найбільш імовірним'' результатом із усіх випробувань Бернуллі і називається [[Мода (статистика)|модою]].

===Функція розподілу===

[[Функція розподілу ймовірностей|Кумулятивна функція розподілу]] можна задати таким чином:

:<math>F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}</math>

де <math>\lfloor k\rfloor\,</math>&nbsp;— найбільше ціле число, яке менше або дорівнює ''k''.

Її також можна задати за допомогою [[Бета-функція#Неповна_бета-функція|регуляризованої неповної бета-функції]], таким чином:<ref>{{cite book |last=Wadsworth |first=G. P. |title=Introduction to Probability and Random Variables |year=1960 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |page=52 |url=https://books.google.com/books?id=NNtQAAAAMAAJ&pg=PA52 |accessdate=7 березня 2019 |archive-date=4 травня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190504231753/https://books.google.com/books?id=NNtQAAAAMAAJ&pg=PA52 }}</ref>

:<math>\begin{align}
F(k;n,p) & = \Pr(X \le k) \\
&= I_{1-p}(n-k, k+1) \\
& = (n-k) {n \choose k} \int_0^{1-p} t^{n-k-1} (1-t)^k \, dt.
\end{align}</math>

== Числові характеристики ==
Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і [[розподіл Бернуллі|розподілом Бернуллі]], наведені нижче, а також на властивості [[математичне сподівання|математичного сподівання]] і [[дисперсія|дисперсії]], можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.

===Математичне сподівання===
Якщо ''X'' ~ ''B''(''n'', ''p''), така що, ''X'' є біноміально-розподіленою випадковою величиною для якої, n - загальна кількість експериментів, а p це імовірність що кожен експеримент призведе до успішного результату, тоді [[математичне сподівання]] для ''X'' дорівнюватиме:<ref>See [https://proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Binomial_Distribution Proof Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190504231611/https://proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Binomial_Distribution |date=4 травня 2019 }}</ref>

:<math> \operatorname{E}[X] = np.</math>

Наприклад, якщо ''n'' = 100, а ''p'' =&nbsp;1/4, тоді середньою кількістю успішних випробувань буде 25.

'''Доведення:''' Розрахуємо середнє, ''μ'', прямим способом виходячи із його визначення

:<math>\mu=\sum_{i=0}^n x_i p_i,</math>

і з теореми про [[біном Ньютона]]:

:<math>\begin{align}
 \mu &= \sum_{k=0}^n k\binom nk p^k (1-p)^{n-k}\\
                     &= np\sum_{k=0}^n k\frac{(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{\ell=0}^{n-1} \binom{n-1}\ell p^\ell (1-p)^{(n-1)-\ell} && \text{із } \ell:=k-1\\
                     &= np\sum_{\ell=0}^m \binom m\ell p^\ell (1-p)^{m-\ell} && \text{із } m:=n-1\\
                     &= np(p+(1-p))^m \\
                     &=np
\end{align}</math>

Середнє також можна вивести із рівняння <math>X=X_1+\cdots+X_n</math> де всі <math>X_i</math> є випадковими величинами із [[Розподіл Бернуллі|розподілом Бернуллі]] із <math>E[X_i]=p</math> (<math>X_i=1</math> якщо ''i''-ий експеримент є успішним і <math>X_i=0</math> навпаки). Отримаємо:
<math>E[X] = E[X_1+\cdots+X_n] = E[X_1]+\cdots+E[X_n] = \underbrace{p+\cdots+p}_{n\text{ times}} = np</math>

===Дисперсія===
[[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] біноміально-розподіленої випадкової величини:

:<math> \operatorname{D}(X) = np(1 - p).</math>

'''Доведення:''' Нехай <math>X=X_1+\cdots+X_n</math> де всі <math>X_i</math> є незалежними випадковими величинами із розподілом Бернуллі. Оскільки <math>\operatorname{D}(X_i) = p(1-p)</math>, отримаємо:

:<math>\operatorname{D}(X)=\operatorname{D}(X_1+\cdots+X_n)=\operatorname{D}(X_1)+\cdots+\operatorname{D}(X_n)=n \operatorname{D}(X_1)=np(1-p).</math>

===Мода===
Як правило [[Мода (статистика)|мода]] біноміального розподілу ''B''(''n'', ''p'') дорівнює <math>\lfloor (n+1)p\rfloor</math>, де  <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> позначає функцію округлення до найбільшого цілого числа, яке менше або дорівнює (тобто найближчого цілого числа, яке менше або дорівнює заданому числу. Однак, коли (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p'' є цілим, а ''p'' не є не 0 ні 1, тоді розподіл має дві моди: (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p'' і (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''&nbsp;−&nbsp;1. Коли ''p'' дорівнює 0 або 1, тоді мода дорівнюватиме 0 і ''n'' відповідно. Ці випадки можна узагальнити таким чином:
: <math>\text{Мода} =
      \begin{cases}
        \lfloor (n+1)\,p\rfloor & \text{, якщо }(n+1)p\text{ дорівнює 0 або не є цілим}, \\
        (n+1)\,p\ \text{ і }\ (n+1)\,p - 1 &\text{, якщо }(n+1)p\in\{1,\dots,n\}, \\
        n & \text{, якщо }(n+1)p = n + 1.
      \end{cases}</math>

'''Доведення:''' Нехай 
 
:<math>f(k)=\binom nk p^k q^{n-k}.</math>

Для <math>p=0</math> лише <math>f(0)</math> матиме не нульове значення <math>f(0)=1</math>. Для <math>p=1</math> маємо, що <math>f(n)=1</math> і <math>f(k)=0</math> для <math>k\neq n</math>. Це доводить, що мода дорівнює 0 для <math>p=0</math> і <math>n</math> для <math>p=1</math>.

Нехай <math>0 < p < 1</math>. Знайдемо, що

:<math>\frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}</math>.

З цього випливає

:<math>\begin{align}
k > (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) < f(k) \\
k = (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) = f(k) \\
k < (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) > f(k)
\end{align}</math>

Тож коли <math>(n+1)p-1</math> є цілим, тоді <math>(n+1)p-1</math> і <math>(n+1)p</math> є модою. У випадку, коли <math>(n+1)p-1\notin \Z</math>, тоді модою буде лише <math>\lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor</math>.<ref>See also [http://math.stackexchange.com/a/117940/32951 the answer to the question "finding mode in Binomial distribution"]</ref>

===Медіана===
Загалом, не існує єдиної формули для знаходження [[Медіана (статистика)|медіани]] біноміального розподілу, крім того вона може бути не унікальною. Однак існує декілька результатів для особливих випадків:
* Якщо ''np'' ціле число, тоді середнє, медіана і мода збігаються між собою і дорівнюють ''np''.<ref>{{cite journal|last=Neumann|first=P.|year=1966|title=Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung|journal=Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden|volume=19|pages=29–33|language=German}}</ref><ref>Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", [[The Mathematical Gazette]] 94, 331-332.</ref>
* Будь-яка медіана ''m'' обов'язково знаходиться в середині інтервалу ⌊''np''⌋&nbsp;≤&nbsp;''m''&nbsp;≤&nbsp;⌈''np''⌉.<ref name="KaasBuhrman">{{cite journal|first1=R.|last1=Kaas|first2=J.M.|last2=Buhrman|title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions|journal=Statistica Neerlandica|year=1980|volume=34|issue=1|pages=13–18|doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}}</ref>
* Медіана ''m'' не може знаходитися далеко від середнього: {{nowrap|&#124;''m'' − ''np''&#124; ≤ min{ ln 2, max{''p'', 1 − ''p''} }}}.<ref name="Hamza">{{Cite journal
| last1 = Hamza | first1 = K.
| doi = 10.1016/0167-7152(94)00090-U
| title = The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions
| journal = Statistics & Probability Letters
| volume = 23
| pages = 21–25
| year = 1995
| pmid =  
| pmc = 
}}</ref>
* Медіана буде єдиною і дорівнюватиме ''m''&nbsp;=&nbsp;[[Округлення|округлене]](''np'') якщо |''m''&nbsp;−&nbsp;''np''|&nbsp;≤&nbsp;min{''p'',&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;''p''} (крім випадку, коли ''p''&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|1|2}} та ''n'' є непарними).<ref name="KaasBuhrman"/>
* Якщо ''p''&nbsp;=&nbsp;1/2 та ''n'' непарні, будь-яке число ''m'' у інтервалі {{sfrac|1|2}}(''n''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;≤&nbsp;''m''&nbsp;≤&nbsp;{{sfrac|1|2}}(''n''&nbsp;+&nbsp;1) є медіаною біноміального розподілу. Якщо ''p''&nbsp;=&nbsp;1/2 і ''n'' парні, тоді ''m''&nbsp;=&nbsp;''n''/2 є єдиною медіаною.

==Коваріація між двома біноміальними розподілами==
Якщо одночасно спостерігалися дві біноміально розподілені випадкові величини ''X'' і ''Y'', може бути корисним визначити їх коваріацію. [[Коваріація]] це

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}(XY) - \mu_X \mu_Y.</math>

У випадку коли ''n''&nbsp;=&nbsp;1 (у випадку із схемою [[Схема Бернуллі|випробувань Бернуллі]]) ''XY'' не нульове лише коли обидві ''X'' і ''Y'' є одиницею, а ''μ''<sub>''X''</sub> і ''μ''<sub>''Y''</sub> дорівнюють двом імовірностям. Якщо визначити ''p''<sub>''B''</sub> як імовірність виникнення обох подій одночасно, отримаємо

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = p_B - p_X p_Y,</math>

і для ''n'' незалежних попарних випробувань

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y)_n = n ( p_B - p_X p_Y ).</math>

Якщо ''X'' і ''Y'' є однією і тією ж випадковою величиною, цей вираз спрощується до виразу визначення дисперсії, який наведено вище в цій статті.

== Зв'язок з іншими розподілами ==

Нехай незалежні [[випадкова величина|випадкові величини]] <math>\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n</math> мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто <math>\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}</math>, тоді випадкова величина <math>\xi=\sum_{i=1}^n\xi_i</math> має [[біноміальний розподіл]] з параметрами p, n, тобто <math>\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)</math>.

===Сума біноміально-розподілених величин===
Якщо ''X''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''p'') і ''Y''&nbsp;~&nbsp;B(''m'',&nbsp;''p'') є незалежними випадковими величинами із біноміальним розподілом із однаковою ймовірністю ''p'', тоді ''X''&nbsp;+&nbsp;''Y''  також буде біноміально-розподіленою величиною, і її розподілом буде ''Z=X+Y''&nbsp;~&nbsp;B(''n+m'',&nbsp;''p''):

:<math>\begin{align}
  \operatorname P(Z=k) &= \sum_{i=0}^k\left[\binom{n}i p^i (1-p)^{n-i}\right]\left[\binom{m}{k-i} p^{k-i} (1-p)^{m-k+i}\right]\\
                       &= \binom{n+m}k p^k (1-p)^{n+m-k}
\end{align}</math>

Однак, якщо ''X'' і ''Y'' не мають однакової імовірності ''p'', тоді дисперсія суми величин буде меншою за дисперсію випадкової величини із біноміальним розподілом вигляду <math>B(n+m, \bar{p}).\,</math>

===Відношення двох біноміальних розподілів===

Нехай p<sub>1</sub> і p<sub>2</sub> це імовірності успішного випробування у біноміальних розподілах B(X,n) і B(Y,m) відповідно. Нехай T = (X/n)/(Y/m).

Тоді log(T) є наближено нормально розподіленою величиною із середнім log(p<sub>1</sub>/p<sub>2</sub>) і дисперсією ((1/p<sub>1</sub>) - 1)/n + ((1/p<sub>2</sub>) - 1)/m.<ref name=Katz1978>Katz D. ''et al''.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474</ref>

===Умовні біноміальні величини===
Якщо є ''X''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''p'') і, при ''X'' існує деяка умовна величина ''Y''&nbsp;~&nbsp;B(''X'',&nbsp;''q''), тоді ''Y'' є простою біноміальною величиною із розподілом ''Y''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''pq'').

Наприклад, уявімо, що хтось кидає ''n'' м'ячів у кошик ''U<sub>X</sub>'' і виймає ті м'ячі, які успішно потрапили у кошик та кладе їх у інший кошик ''U<sub>Y</sub>''. Якщо ''p'' означає імовірність влучити в ''U<sub>X</sub>'' тоді ''X''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''p'') це кількість м'ячів, які влучили у ''U<sub>X</sub>''. Якщо ''q'' це імовірність потрапити у ''U<sub>Y</sub>'' тоді кількістю м'ячів, які потраплять у ''U<sub>Y</sub>'' буде ''Y''&nbsp;~&nbsp;B(''X'',&nbsp;''q'') і таким чином ''Y''&nbsp;~&nbsp;B(''n'',&nbsp;''pq'').

{{hidden begin|style=width:60%|ta1=center|border=1px #aaa solid|title=[Доведення]}}
Оскільки <math> X \sim B(n, p) </math> і <math> Y \sim B(X, q) </math>, за [[Формула повної ймовірності|формулою повної імовірності]],
:<math>\begin{align}
   \Pr[Y = m] &= \sum_{k = m}^{n} \Pr[Y = m \mid X = k] \Pr[X = k] \\[2pt]
   &= \sum_{k=m}^n \binom{n}{k} \binom{k}{m} p^k q^m (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m}\\
 \end{align}</math>
Оскільки <math>\tbinom{n}{k} \tbinom{k}{m} = \tbinom{n}{m} \tbinom{n-m}{k-m},</math>, то вищенаведене рівняння можна записати в такій формі
:<math> \Pr[Y = m] = \sum_{k=m}^{n} \binom{n}{m} \binom{n-m}{k-m} p^k q^m (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} </math>
Розбивши на множники <math> p^k = p^m p^{k-m} </math> і виділивши всі множники, які не залежать від <math> k </math> суму можна звести до такого:
:<math>\begin{align}
   \Pr[Y = m] &= \binom{n}{m} p^m q^m \left( \sum_{k=m}^{n}  \binom{n-m}{k-m} p^{k-m} (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} \right) \\[2pt]
   &= \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{k=m}^{n}  \binom{n-m}{k-m} \left(p(1-q)\right)^{k-m} (1-p)^{n-k}  \right)
 \end{align}</math>
Замінивши <math> i = k - m </math> у вищенаведеному виразі, отримаємо
:<math> \Pr[Y = m] = \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{i=0}^{n-m} \binom{n-m}{i} (p - pq)^i (1-p)^{n-m - i} \right) </math>
Помітимо, що вищенаведена сума (у дужках) дорівнює <math> (p - pq + 1 - p)^{n-m} </math> відповідно до [[Біном Ньютона|теореми про біном Ньютона]]. Підставивши це у вираз, зрештою отримаємо
:<math>\begin{align}
   \Pr[Y=m] &=  \binom{n}{m} (pq)^m (p - pq + 1 - p)^{n-m}\\[4pt]
   &= \binom{n}{m} (pq)^m (1-pq)^{n-m}
 \end{align}</math>
і таким чином <math> Y \sim B(n, pq) </math>, що і треба було довести.
{{hidden end}}

===Розподіл Бернуллі===
[[Розподіл Бернуллі]] є особливим випадком біноміального розподілу, де ''n''&nbsp;=&nbsp;1. Символічно, ''X''&nbsp;~&nbsp;B(1,&nbsp;''p'') має однакове середнє як і ''X''&nbsp;~&nbsp;B(''p''). І навпаки, будь-який біноміальний розподіл, B(''n'',&nbsp;''p''), є розподілом суми із ''n'' [[Схема Бернуллі|випробувань Бернуллі]], B(''p''), кожне з яких має однакову імовірність ''p''.<ref>{{cite web|last1=Taboga|first1=Marco|title=Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics|url=https://www.statlect.com/probability-distributions/binomial-distribution#hid3|website=statlect.com|accessdate=18 грудня 2017|archive-date=22 грудня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171222051739/https://www.statlect.com/probability-distributions/binomial-distribution#hid3}}</ref>

===Нормальне наближення===

[[File:Binomial Distribution.svg|right|250px|thumb|Біноміальна [[функція маси імовірності]] і апроксимація [[Густина імовірності|функції густини імовірностей]] нормального розподілу для ''n''&nbsp;=&nbsp;6 і ''p''&nbsp;=&nbsp;0.5]]

Якщо ''n'' є досить великим, тоді зсув біноміального розподілу не буде дуже великим. В такому випадку [[Нормальний розподіл|нормальний розподіл]] може бути виправданим наближенням для B(''n'',&nbsp;''p'').

:<math> \mathcal{N}(np,\,np(1-p)),</math>

а це базове наближення можна покращити використавши вдалу {{нп|Поправка неперервності|поправку для неперервності|en|continuity correction}}.
Базове наближення значно стає кращим при збільшенні ''n'' (принаймні більше ніж 20) і буде кращим, коли ''p'' не є близькою до 0 або 1.<ref name="bhh">{{cite book|title=Statistics for experimenters|url=https://archive.org/details/statisticsforexp00geor|author=Box, Hunter and Hunter|publisher=Wiley|year=1978|page=[https://archive.org/details/statisticsforexp00geor/page/130 130]}}</ref> Можуть використовуватися різні [[Емпіричне правило|емпіричні правила]], які визначають чи є ''n'' достатньо великою, а значення ''p'' є досить далеким від крайніх значень нуля або одиниці:

*Одне із правил<ref name="bhh"/> говорить, що для {{nowrap|''n'' > 5}} нормальне наближення буде адекватним, якщо абсолютне значення зсуву є строго меншим ніж 1/3; тобто, якщо
::<math>\frac{|1-2p|}{\sqrt{np(1-p)}}=\frac1{\sqrt{n}}\left|\sqrt{\frac{1-p}p}-\sqrt{\frac{p}{1-p}}\,\right|<\frac13.</math>

*Більш посилене правило говорить, що нормальна [[апроксимація]] буде прийнятною лише якщо всі можливі значення знаходяться в межах 3 [[Стандартне відхилення|стандартних відхилень]] від середнього значення; тобто, лише якщо
::<math>\mu\pm3\sigma=np\pm3\sqrt{np(1-p)}\in(0,n).</math>
:Це правило про 3-стандартні відхилення буде еквівалентне наступним наведеним умовам, які також зумовлюють виконання і першого правила, описаного вище.
::<math>n>9\,\frac{1-p}p\quad\hbox{і}\quad n>9\,\frac{p}{1-p}.</math>
{{hidden begin|style=width:66%|ta1=center|border=1px #aaa solid|title=[Доведення]}}
Правило <math> np\pm3\sqrt{np(1-p)}\in(0,n)</math> є повністю еквівалентним вимозі, що
:<math>np-3\sqrt{np(1-p)}>0\quad\hbox{і}\quad np+3\sqrt{np(1-p)}<n.</math>
Якщо переставити множники отримаємо:
:<math>np>3\sqrt{np(1-p)}\quad\hbox{і}\quad n(1-p)>3\sqrt{np(1-p)}.</math>
Оскільки <math>0<p<1</math>, ми можемо піднести вирази у квадрат і поділити на відповідні множники <math>np^2</math> та <math>n(1-p)^2</math>, і отримаємо бажані умови:
:<math>n>9\,\frac{1-p}p\quad\hbox{і}\quad n>9\,\frac{p}{1-p}.</math>
Зауважимо, що ці умови автоматично означають, що <math>n>9</math>. З іншого боку, знову застосувавши квадратний корінь до нерівностей і поділивши на 3,
:<math>\frac{\sqrt{n}}3>\sqrt{\frac{1-p}p}>0 \quad \hbox{і} \quad \frac{\sqrt{n}}3 > \sqrt{\frac{p}{1-p}}>0.</math>
Віднявши другий набір нерівностей із першого, отримаємо:
:<math>\frac{\sqrt{n}}3>\sqrt{\frac{1-p}p}-\sqrt{\frac{p}{1-p}}>-\frac{\sqrt{n}}3;</math>
тож, необхідне перше правило буде виконуватися,
:<math>\left|\sqrt{\frac{1-p}p}-\sqrt{\frac{p}{1-p}}\,\right|<\frac{\sqrt{n}}3.</math>
{{hidden end}}

*Іншим загальновживаним правилом є те, що обидва значення <math>np</math> і <math>n(1-p)</math> мають бути більшими або дорівнювати&nbsp;5. Однак, конкретне значення цього числа зустрічається різним в різних джерелах, і залежить від того наскільки хорошим має бути наближення. Зокрема, якщо використати значення&nbsp;9 замість наведеного&nbsp;5, правило призводить до результатів, що отримані в попередній частині розділу.
{{hidden begin|style=width:66%|ta1=center|border=1px #aaa solid|title=[Доведення]}}
Припустимо, що обидва значення <math>np</math> і <math>n(1-p)</math> є більшими за число&nbsp;9. Оскільки <math>0< p<1</math>, ми можемо стверджувати, що 
:<math>np\geq9>9(1-p)\quad\hbox{і}\quad n(1-p)\geq9>9p.</math>
Тепер необхідно лише поділити це на відповідні множники <math>p</math> і <math>1-p</math>, аби вивести альтернативну форму правила про 3-стандартні відхилення:
:<math>n>9\,\frac{1-p}p\quad\hbox{і}\quad n>9\,\frac{p}{1-p}.</math>
{{hidden end}}

Наведемо приклад застосування {{нп|Поправка неперервності|поправку неперервності|en|continuity correction}}. Припустимо, що необхідно розрахувати Pr(''X''&nbsp;≤&nbsp;8) для біноміально-розподіленої випадкової величини ''X''. Якщо ''Y'' має розподіл заданий у вигляді нормального наближення, тоді Pr(''X''&nbsp;≤&nbsp;8) можна наблизити за допомогою Pr(''Y''&nbsp;≤&nbsp;8.5). Додавання 0.5 є поправкою неперервності; нормальне наближення без поправки дає менш точний результат.

Це наближення відоме як [[Локальна теорема Муавра — Лапласа]], вона дозволяє значно зекономити час, якщо розрахунки виконуються вручну (точний розрахунок при великих ''n'' є дуже обтяжливим); історично, це було першим застосуванням нормального розподілу, яке було представлено у книзі [[Абрахам де Муавр|Абрахама де Муавра]] ''{{нп|Доктрина шансів||en|The Doctrine of Chances}}'' в 1738. Сьогодні, її можна розглядати як наслідок із [[Центральна гранична теорема|центральної граничної теореми]] оскільки B(''n'',&nbsp;''p'') є сумою із ''n'' незалежних, однаково розподілених випадкових величин із [[Розподіл Бернуллі|розподілом Бернуллі]] із параметром&nbsp;''p''. Цей факт є основою для [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірки статистичних гіпотез]], "пропорційного z-тесту", для значення ''p'' використовуючи розрахунок ''x/n'', що є пропорцією вибірки і оцінкою для ''p'' у [[Перевірка статистичних гіпотез|загальних статистичних перевірках]].<ref>[[NIST]]/[[SEMATECH]], [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc24.htm "7.2.4. Does the proportion of defectives meet requirements?"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181130122322/https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc24.htm|date=30 листопада 2018}} ''e-Handbook of Statistical Methods.''</ref>

Наприклад, припустимо, що хтось зробив вибірку по ''n'' людям із усієї популяції людей і запитав їх чи погоджуються вони з певним твердженням. Частка людей, яка погодиться з висловлюванням очевидно буде залежати від вибірки. Якщо групи із ''n'' людей були обрані повторно і дійсно випадковим чином, ця пропорція буде відповідати наближеному нормальному розподілу із середнім, що дорівнює істинному співвідношенню ''p'' того що люди погоджуються із твердженням в цій сукупності і матиме стандартне відхилення <math>\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}</math>

===Наближення Пуассона===
Біноміальний розподіл наближається до [[Розподіл Пуассона|Розподілу Пуассона]] якщо кількість спроб зростає до [[Нескінченність|нескінченності]] в той час як добуток ''np'' залишається незмінним або ''p'' прямує до нуля. Тому, розподіл Пуассона із параметром ''λ'' = ''np'' може використовуватися для наближення біноміального розподілу B(''n'', ''p'') якщо ''n'' має досить велике значення і ''p'' значно мала.  Відповідно до двох правил, це наближення є добрим, якщо ''n''&nbsp;≥&nbsp;20 і ''p''&nbsp;≤&nbsp;0.05, або якщо ''n''&nbsp;≥&nbsp;100 і ''np''&nbsp;≤&nbsp;10.<ref name="nist">[[NIST]]/[[SEMATECH]], [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm "6.3.3.1. Counts Control Charts"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080311104804/http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm|date=11 березня 2008}}, ''e-Handbook of Statistical Methods.''</ref><ref>Що стосується точності наближення Пуассона, див Novak S.Y. (2011) Extreme value methods with applications to finance. London: CRC/ Chapman & Hall/Taylor & Francis. {{ISBN|9781-43983-5746}} ch. 4, and references therein.</ref>

===Граничні розподіли===

* ''[[Теорема Пуассона]]'': З тим як ''n'' наближається до ∞ і ''p'' наближається до 0 при сталому добутку ''np'', Біноміальний розподіл B(''n'',&nbsp;''p'') наближається до  [[Розподіл Пуассона|розподілу Пуассона]] із [[Математичне сподівання|математичним сподіванням]] ''λ = np''.<ref name="nist"/>
* ''[[Локальна теорема Муавра — Лапласа]]'': З тим як ''n'' наближається до ∞ поки ''p'' залишається сталим, розподіл величини

::<math>\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}</math>

:наближається до [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] із математичним сподіванням&nbsp;0 і [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]]&nbsp;1.  Цей результат в не суворій формі іноді формулюють як те, що розподіл величини ''X'' буде {{нп|Асимптотичний розподіл|асимптотично нормальним|en|Asymptotic normality}} із математичним сподіванням&nbsp;''np'' і дисперсією&nbsp;''np''(1&nbsp;−&nbsp;''p''). Цей результат є особливим випадком [[Центральна гранична теорема|центральної граничної теореми]].

===Бета-розподіл===

[[Бета-розподіл]]и дозволяють мати сімейство [[Апріорна ймовірність|апріорних розподілів імовірностей]] для біноміальних розподілів при [[Баєсове виведення|Баєсовому виведенні]]:<ref name=MacKay>{{cite book| last=MacKay| first=David| title = Information Theory, Inference and Learning Algorithms| url=https://archive.org/details/informationtheor0000mack|year=2003| publisher=Cambridge University Press; First Edition |isbn=978-0521642989}}</ref>
:<math>P(p;\alpha,\beta) = \frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}</math>.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Розподіл Бернуллі]]
* [[Розподіл ймовірностей]]
* [[Схема Бернуллі]]
* [[Функція розподілу ймовірностей]]

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

== Примітки ==
{{reflist|3}}

{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Дискретні розподіли]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]
[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства]]