Перегляд вихідного коду сторінки Блочна матриця

'''Блочна матриця''' — [[матриця (математика)|матриця]], що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

== Приклад ==
Матриця <math>P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{pmatrix}</math> складається з наступних блоків (матриць): <math>P_{11} = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix},
P_{12} = \begin{pmatrix}2 & 2\\2 & 2\end{pmatrix},
P_{21} = \begin{pmatrix}3 & 3\\3 & 3\end{pmatrix},
P_{22} = \begin{pmatrix}4 & 4\\4 & 4\end{pmatrix}.</math>

І може бути записана як блочна матриця
:<math>P = \begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12}\\
P_{21} & P_{22}\end{pmatrix}.</math>

== Множення блочних матриць ==
Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо
:<math>
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots &A_{1s}\\
A_{21} & A_{22} & \cdots &A_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
A_{q1} & A_{q2} & \cdots &A_{qs}\end{pmatrix}</math> — матриця розміру ''m''&times;''p'', поділена на ''q''&times;''s'' блоків,

:<math>
B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}\end{pmatrix}</math> — матриця розміру ''p''&times;''n'', поділена на ''s''&times;''r'' блоків,

тоді добуток
:<math>C=AB</math>

буде матрицею розміру ''m''&times;''n'', поділеною на ''q''&times;''r'' блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:
:<math>C_{ij} = \sum_{k=1}^{s}A_{ik} B_{kj}.</math>

Або, використовуючи [[нотація Ейнштейна|нотацію Ейнштейна]], цю формулу можна записати так:
:<math>C_{ij} = A_{ik} B_{kj}.</math>

== Обернена до блочної матриця ==
{{see also|Невироджена матриця#Обернення блоками}}
Нехай ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' є матрицями розмірів ''p''&times;''p'', ''p''&times;''q'', ''q''&times;''p'' і ''q''&times;''q'' відповідно і ''P''&nbsp;— наступна блочна матриця:
:<math>P = \begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}</math>

Якщо {{math|''A''}} і [[доповнення Шура]] {{math|''D'' - ''CA''<sup>-1</sup>''B''}} для блоку ''A'' матриці ''P'' є [[обернена матриця|оборотними]] матрицями, то
:<math>P^{-1} = \begin{pmatrix}
A^{-1} + A^{-1} B \left(D - C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B \left(D - C A^{-1} B\right)^{-1} \\ 
-\left(D - C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1} & \left(D - C A^{-1} B\right)^{-1}
\end{pmatrix}.
</math><ref>{{книга | автор = Dennis Bernstein | заголовок = Matrix Mathematics |видавництво    = Princeton University Press | рік = 2005 | сторінок = 44 | isbn = 0-691-11802-7}}</ref>

Якщо {{math|''D''}} і доповнення Шура {{math|''A'' - ''BD''<sup>-1</sup>''C''}} для блоку ''D'' матриці ''P'' є оборотними матрицями, то
:<math>P^{-1} = \begin{pmatrix}
\left(A - B D^{-1} C\right)^{-1} & -\left(A - B D^{-1} C\right)^{-1} B D^{-1} \\
-D^{-1} C\left(A - B D^{-1} C\right)^{-1} &  D^{-1} + D^{-1} C \left(A - B D^{-1} C\right)^{-1} B D^{-1}
\end{pmatrix}.
</math>

Якщо наведені вище умови виконуються разом, то
:<math>P^{-1} = \begin{pmatrix}
\left(A - B D^{-1} C\right)^{-1} & 0 \\
0 & \left(D - C A^{-1} B\right)^{-1}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
I_{p} & -B D^{-1} \\
-C A^{-1} & I_{q}
\end{pmatrix}.</math>

== Визначник блочної матриці ==
Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' розмірів ''p''&times;''p'', ''p''&times;''q'', ''q''&times;''p'' і ''q''&times;''q'' відповідно, при умові, що одна з матриць ''B'' або ''C'' [[нульова матриця|нульова]], можна вивести формулу [[визначник]]а, яка схожа на формулу визначника матриці 2&times;2:
:<math>\det\begin{pmatrix}A & 0\\ C & D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A & B\\ 0 & D\end{pmatrix}.</math>

Якщо ''A''&nbsp;— оборотна матриця, то
:<math>\det\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(A) \det\left(D - C A^{-1} B\right).</math>

Якщо ''D''&nbsp;— оборотна матриця, то
:<math>\det\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(D) \det\left(A - B D^{-1} C\right).</math>

Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і
:<math>P = \begin{pmatrix}
A & B\\ 
C & D
\end{pmatrix}.</math>

Якщо ''A'' і ''B'' [[комутативність|комутують]], то <math>\det P = \det(DA - CB).</math><ref>{{Cite journal|first= J. R.|last= Silvester|title= Determinants of Block Matrices|journal= Math. Gaz.|volume= 84|issue= 501|year= 2000|pages= 460–467|jstor= 3620776|url= http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|doi= 10.2307/3620776|access-date= 2021-06-25|archive-date= 2015-03-18|archive-url= https://web.archive.org/web/20150318222335/http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|url-status= dead}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|title=Determinants of block matrices with noncommuting blocks|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=January 2017|volume=512|pages=202–218|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|arxiv=1805.06027|s2cid=119272194}}</ref>

Якщо ''A'' і ''C'' комутують, то <math>\det P = \det(AD - CB).</math>

Якщо ''B'' і ''D'' комутують, то <math>\det P = \det(DA - BC).</math>

Якщо ''C'' і ''D'' комутують, то <math>\det P = \det(AD - BC).</math>

== Блочні діагональні матриці ==
'''Блочна діагональна матриця'''&nbsp;— це блочна матриця що є [[квадратна матриця|квадратною матрицею]], блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є [[нульова матриця|нульовими матрицями]]. Тобто має форму
:<math> A = \begin{pmatrix} 
A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & A_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_{n} 
\end{pmatrix},</math>

де ''A''<sub>''k''</sub>&nbsp;— квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць ''A''<sub>1</sub>, …, ''A''<sub>''n''</sub>. Записується ''A''<sub>1</sub>&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;''A''<sub>2</sub>&nbsp;<math>\oplus\,\ldots\,\oplus </math>&nbsp;''A''<sub>''n''</sub> чи&nbsp; diag(''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>,<math>\ldots</math>, ''A''<sub>''n''</sub>).

[[Визначник]] та [[слід матриці|слід]] такої матриці мають наступні властивості:
:<math> \det A = \prod_{k=1}^{n} \det A_k</math>,
:<math> \operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{tr} A_k</math>.

Блочна діагональна матриця оборотна [[тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді
:<math>\begin{pmatrix}
    A_{1}  & 0      & \cdots & 0 \\
    0      & A_{2}  & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0      & 0      & \cdots & A_{n} 
  \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}
    A_{1}^{-1}  & 0      & \cdots & 0 \\
    0      & A_{2}^{-1}  & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0      & 0      & \cdots & A_{n}^{-1}
  \end{pmatrix}.
</math>

Для довільного натурального ''m'' буде:
:<math>\begin{pmatrix}
    A_{1}  & 0      & \cdots & 0 \\
    0      & A_{2}  & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0      & 0      & \cdots & A_{n} 
  \end{pmatrix}^{m} = \begin{pmatrix}
    A_{1}^{m}  & 0      & \cdots & 0 \\
    0      & A_{2}^{m}  & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0      & 0      & \cdots & A_{n}^{m}
  \end{pmatrix}.
</math>

Множина [[Власні вектори та власні значення|власних векторів]] блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і [[Власні вектори та власні значення|власних значень]].

== Блочна тридіагональна матриця ==
'''Блочна тридіагональна матриця''' - це [[квадратна матриця]], яка має квадратні матриці (блоки) на [[головна діагональ|головній діагоналі]] та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті [[тридіагональна матриця]], але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

:<math> 
A = \begin{pmatrix}
B_{1}  & C_{1}  &         &         & \cdots  &         & 0 \\
A_{2}  & B_{2}  & C_{2}   &         &         &         & \\
       & \ddots & \ddots  & \ddots  &         &         & \vdots \\
       &        & A_{k}   & B_{k}   & C_{k}   &         & \\
\vdots &        &         & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \\
       &        &         &         & A_{n-1} & B_{n-1} & C_{n-1}   \\
0      &        & \cdots  &         &         & A_{n}   & B_{n}
\end{pmatrix}
</math>

де ''A''<sub>''k''</sub>, ''B''<sub>''k''</sub> та ''C''<sub>''k''</sub> - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в [[Обчислювальна гідродинаміка|обчислювальній гідродинаміці]]). Існують оптимізовані чисельні методи для [[LU-розклад]]у, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. [[Алгоритм Томаса]], який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з [[тридіагональна матриця|тридіагональною матрицею]] також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

== Пряма сума ==
{{main|Додавання матриць#Пряма сума}}
Для довільних матриць ''A'' (розміру ''m''×''n'') та ''B'' (розміру ''p''×''q''), '''прямою сумою''' (позначається ''A''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;''B'') буде матриця 
 
:<math>
A \oplus B =
\begin{pmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
\end{pmatrix}.
</math>

Наприклад:

:<math>
\begin{pmatrix}
  1 & 3 & 2 \\
  2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\oplus
\begin{pmatrix}
  1 & 6 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
  2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
</math>

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб ''A'' та ''B'' мали однакову розмірність).

== Див. також ==
* [[Добуток Кронекера]]
* [[Жорданова нормальна форма]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Cite web |last=Strang |first=Gilbert |author-link=Gilbert Strang |url=http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-3-multiplication-and-inverse-matrices |title=Lecture 3: Multiplication and inverse matrices |publisher=MIT Open Course ware |at=18:30–21:10 |date=1999}}

== Примітки ==
{{Reflist}}


{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Типи матриць]]