Перегляд вихідного коду сторінки Безумовна збіжність

В [[математичний аналіз|математичному аналізі]],  [[ряд (математика)|ряд]] <math>\sum_{n=1}^\infty x_n</math> в [[банахів простір|банаховому просторі]] ''X'' називається '''безумовно збіжним''', якщо для довільної [[перестановка|перестановки]] <math>\sigma: \N \to \N</math> ряд <math>\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}</math> є збіжним і <math>\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}</math>=<math>\sum_{n=1}^\infty x_n</math>.

== Властивості ==
*Довільний [[абсолютна збіжність|абсолютно збіжний ряд]] є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли ''X''&nbsp;=&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>, тоді внаслідок [[теорема Рімана про умовно збіжний ряд|теореми Рімана]] , ряд <math>\sum x_n</math> є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
* Якщо <math>\{x_n\}\,</math> послідовність елементів [[гільбертів простір|гільбертового простору]] ''H'', то з безумовної збіжності ряду <math>\sum_{n=1}^\infty x_n</math> випливає <math>\sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 < \infty.</math>

=== Еквівалентні визначення ===

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли: 
*для довільної послідовності <math>(\varepsilon_n)_{n=1}^\infty</math>, де <math>\varepsilon_n\in\{-1, +1\}</math>, ряд <math>\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n</math> є збіжним.
*для довільної послідовності <math>(\alpha_n)_{n=1}^\infty</math>, такої що <math>\sup_n  |\alpha_n| < \infty</math>, ряд <math>\sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n</math> є збіжним.
*для довільної послідовності <math>1 \leq k_1 < k_2 < \ldots </math>,  ряд <math>\sum_{n=1}^\infty x_{k_n}</math> є збіжним.
*для довільного <math>\epsilon > 0</math> існує [[скінченна множина|скінченна підмножина]] <math>I \subset \N,</math> така що  <math>\lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, < \epsilon</math>  для довільної скінченної підмножини <math>J \subset \N \setminus I</math>

== Приклад ==
Нехай дано [[Простір Lp|простір <math>l^p\,,</math>]] де <math>1 \leqslant p < \infty</math> — банаховий простір [[числова послідовність|числових послідовностей]] з [[норма (математика)|нормою]]  <math> \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>. Розглянемо в ньому послідовність <math>x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots),</math> де ненульове значення стоїть на ''n''-му місці. Тоді ряд <math>\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}</math> є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.

== Див. також ==
*[[Абсолютна збіжність]]
*[[Умовна збіжність]]

== Посилання ==
*[http://popovm.by.ru/pdf/t1_Banach.pdf Попов Михайло. Геометрія банахових просторів]{{Недоступне посилання|date=лютий 2019 |bot=InternetArchiveBot }}{{ref-uk}}
*[http://people.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf Christopher Heil. A Basis Theory Primer] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131226202809/http://people.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf |date=26 грудня 2013 }} {{ref-en}}
*{{PlanetMath|urlname= UncoditionalConvergence|title=Безумовна збіжність}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}} 
* Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533. 
* Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
* P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .

[[Категорія:Збіжність]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Ряди]]