Перегляд вихідного коду сторінки Базис (математика)

[[Файл:Basis graph (no label).svg|thumb|500 px|Ілюстрація стандартного базису в '''''R'''<sup>2</sup>''. Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.]]
{{Otheruses|Базис}}
'''Ба́зисом''' ({{lang-grc|βασις}}, основа) [[векторний простір|векторного простору]] ''<math>V</math>'' називається впорядкований набір векторів <math>\{e_{1},...,e_{n}\}</math>, якщо кожний вектор із <math>V</math> можна однозначно представити у вигляді [[лінійна комбінація|лінійної комбінації]]:
: <math>v = \sum_{i=1}^n a_i e_i, \quad a_i \in \mathbb{K}.</math>

Коефіцієнти <math>a_{i}</math> кільця <math>\mathbb{K}</math> називаються ''координатами'' вектора <math>v</math> відносно базису <math>{\ e_i}</math><ref name="manin">{{cite book
|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин
|назва=Линейная алгебра и геометрия
}}</ref>. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

<math>a=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})</math>. Тобто так само, як і для запису [[Матриця (математика)|матриць]]. 

Якщо <math>a=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}),</math> <math>b=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})</math> та <math>\lambda</math> - деяке дійсне число, то 

<math>a=b\Leftrightarrow \alpha_{1}=\beta_{1}\land \alpha_{2}=\beta_{2}\land\alpha_{3}=\beta_{3},\quad\quad \lambda a=(\lambda \alpha_{1},\lambda \alpha_{2}, \lambda \alpha_{3}), \quad\quad a+b=(\alpha_{1}+\beta_{1},\,\,\alpha_{2}+\beta_{2},\,\,\alpha_{3}+\beta_{3}).</math>

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел<ref>{{Завало.Алгебра і теорія чисел}}</ref>. 

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається <math>\ \dim V.</math> Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір. 

Вектори базису є [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежними]].

== Обертання ==
[[Файл:Cartesian coordinate system handedness.svg|міні|348x348пкс|Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей. ]]

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору <math>e_{1},e_{2},...,e_{n}</math>(правий базис), або до набору <math>-e_{1},e_{2},...,e_{n}</math> (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори <math>e_{1},e_{2}</math> на кут <math>\frac{\pi}{2}</math>
[[Файл:Gwgewcec21.tif|центр|міні|570x570пкс|<math>e_{1},e_{2},...,e_{n}\rightarrow -e_{1},e_{2},...,e_{n}</math>]]
Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують<ref>{{Cite book|title=Moti Ben-Ari - A Tutorial on Euler Angles and Quaternions.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>. 
== Приклад ==
Вектори ''e''<sub>i</sub> = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' утворюють базис в <math>\mathbb{K}^n</math>.

== Нескінченовимірні простори ==
{{Розширити розділ|дата=грудень 2013}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Лема Стейніца про заміну]]
* [[Ортонормований базис]]
* [[Репер (математика)]]
* [[Тензор]]
* [[Базис циклів]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{Math-stub}}
{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]