Перегляд вихідного коду сторінки Багатокутні числа

{{не плутати|Центровані багатокутні числа|центрованими багатокутними числами}}
'''Багатокутне число''' (полігональне число)&nbsp;— це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа&nbsp;— один з типів [[Фігурні числа|фігурних чисел]].

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати [[Арифметична прогресія|арифметичну прогресію]] з різницею <math>d</math> (<math>d</math>&nbsp;— натуральне число). Найпростіша [[послідовність]]&nbsp;— це послідовність [[Натуральні числа|натуральних чисел]]
(<math>d = 1</math>). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці <math>d</math>. Наведемо приклади:

[[Трикутне число|'''Трикутні числа''']]. Різниця <math>d = 1</math> приводить нас до суми <math>1+2+3+4+\cdots</math>, часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел <math>1,3,6,10,\dots</math>.

[[Квадратне число|'''Квадратні числа''']]. Різниця <math>d=2</math> приводить нас до суми <math>1+3+5+7+\cdots</math>, часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел <math>1,4,9,16,\dots</math>.

[[П'ятикутне число|'''П'ятикутні числа''']]. Різниця <math>d=3</math> приводить нас до суми <math>1+4+7+11+\cdots</math>, часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел <math>1,5,12,22,\dots</math>.

[[Шестикутне число|'''Шестикутні числа''']]. Різниця <math>d=4</math> приводить нас до суми <math>1+5+9+13+\cdots</math>, часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел <math>1,6,15,28,\dots</math>.

Інколи <math>0</math> визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд <math>0,1,3,6,10</math>.
<gallery>
Файл:Triangular number 10 as sum of gnomons.svg|10 — четверте число з трикутних чисел [[Трикутне число|Трикутні числа]].
Файл:Square number 16 as sum of gnomons.svg|16 — четверте число з квадратних чисел [[Квадратне число|Квадратні числа]].
Файл:Pentagonal number 22 as sum of gnomons.svg|22 — четверте число з п'ятикутних чисел [[П'ятикутне число|П'ятикутні числа]].
Файл:Hexagonal number 28 as sum of gnomons.svg|28 — четверте число з шестикутних чисел [[Шестикутне число|Шестикутні числа]]. 
</gallery>

== Формула ==
Якщо <math>s</math>&nbsp;— кількість сторін у [[многокутник]]у, формула <math>n</math>-го <math>s</math>-кутного числа <math>P(s,n)</math> наступна:

: <math>P(s,n) = \frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}</math>,

або
: <math>P(s,n) = (s-2)\frac{n(n-1)}{2}+n</math>.

<math>N</math>-те <math>s</math>-кутного число також пов'язане з трикутними числами <math>T_{n}</math> таким чином:

:<math>P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, .</math>

Звідси

: <math>\begin{align}
P(s,n+1)-P(s,n) &= (s-2)n + 1\, ,\\
P(s+1,n) - P(s,n) &= T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, .
\end{align}</math>

Для заданого <math>s</math>-кутного числа <math>P(s,n)=x</math> можна знайти <math>n</math> та <math>s</math> за допомогою формул:

: <math>n = \frac{\sqrt{8(s-2)x+{(s-4)}^2}+(s-4)}{2(s-2)}</math>,

: <math>s = 2+\frac{2}{n}\cdot\frac{x-n}{n-1}</math>.

=== Кожне шестикутне число є трикутним числом ===
Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

: <math>P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n </math>.

Якщо сторін 6, то
: <math>P(6,n) = 4T_{n-1} + n </math>,

але оскільки
: <math>T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2} </math>,

то звідси випливає, що
: <math>P(6,n) = \frac{4n(n-1)}{2} + n = \frac{2n(2n-1)}{2} = T_{2n-1}</math>.

Отже, кожне <math>n</math>-те шестикутне число <math>P(6,n)</math> також є <math>(2n-1)</math>-м трикутним числом <math>T_{2n-1}</math>. Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши [[Непарні числа|непарні]] трикутні числа : '''1''', 3, '''6''', 10,'''15''', 21, '''28''', 36, '''45''', 55, '''66''', …

== Таблиця значень ==
Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою [[Дигамма-функція|дигамма функції]].<ref name="siam_07-003s">{{Cite web |url=http://www.siam.org/journals/problems/downloadfiles/07-003s.pdf |title=Archived copy |access-date=2010-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110615085610/http://www.siam.org/journals/problems/downloadfiles/07-003s.pdf |archive-date=2011-06-15 |url-status=dead }}</ref>
{| class="wikitable"
|-
! rowspan="2"|{{mvar|s}}
! rowspan="2"|Назва
! rowspan="2"|Формула
! colspan="10"| {{mvar|n}}
! rowspan="2" align="right" |Сума обернених значень<ref name="siam_07-003s" /><ref>{{Cite web |url=http://www.math.psu.edu/sellersj/downey_ong_sellers_cmj_preprint.pdf |title=Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers |accessdate=15 травня 2020 |archive-date=29 травня 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130529032918/http://www.math.psu.edu/sellersj/downey_ong_sellers_cmj_preprint.pdf }}</ref>
! rowspan="2" align="center" | [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]]
|-
! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
|-
| align="right" |[[Трикутник|3]]
|[[Трикутне число|Трикутні]]
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(''n''<sup>2</sup> + ''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 3
| align="right" | 6
| align="right" | 10
| align="right" | 15
| align="right" | 21
| align="right" | 28
| align="right" | 36
| align="right" | 45
| align="right" | 55
| align="center" | 2<ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000217|A000217]]
|-
| align="right" |[[Чотирикутник|4]]
|[[Квадратне число|Квадратні]]
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(2''n''<sup>2</sup> − 0''n'') <br/> {{=}} ''n''<sup>2</sup>}}
| align="right" | 1
| align="right" | 4
| align="right" | 9
| align="right" | 16
| align="right" | 25
| align="right" | 36
| align="right" | 49
| align="right" | 64
| align="right" | 81
| align="right" | 100
| align="center" | {{sfrac|{{pi}}<sup>2</sup>|6}}<ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000290|A000290]]
|-
| align="right" |[[П'ятикутник|5]]
|[[П'ятикутне число|П'ятикутні]]
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(3''n''<sup>2</sup> − ''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 5
| align="right" | 12
| align="right" | 22
| align="right" | 35
| align="right" | 51
| align="right" | 70
| align="right" | 92
| align="right" | 117
| align="right" | 145
| align="center" | {{math|3 ln3 − {{sfrac|{{pi}}{{sqrt|3}}|3}}}}<ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000326|A000326]]
|-
| align="right" |[[Шестикутник|6]]
|[[Шестикутне число|Шестикутні]]
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(4''n''<sup>2</sup> − 2''n'') <br/> {{=}} 2''n''<sup>2</sup>&nbsp;— ''n''}}
| align="right" | 1
| align="right" | 6
| align="right" | 15
| align="right" | 28
| align="right" | 45
| align="right" | 66
| align="right" | 91
| align="right" | 120
| align="right" | 153
| align="right" | 190
| align="center" | {{math|2 ln 2}}<ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000384|A000384]]
|-
| align="right" |[[Семикутник|7]]
| Семикутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(5''n''<sup>2</sup> − 3''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 7
| align="right" | 18
| align="right" | 34
| align="right" | 55
| align="right" | 81
| align="right" | 112
| align="right" | 148
| align="right" | 189
| align="right" | 235
| align="center" | <math>\begin{matrix}
\tfrac{2}{3}\ln 5  \\ 
+\tfrac{{1}+\sqrt{5}}{3}\ln\tfrac\sqrt{10-2\sqrt{5}}{2} \\ 
+\tfrac{{1}-\sqrt{5}}{3}\ln\tfrac\sqrt{10+2\sqrt{5}}{2} \\
+\tfrac{\pi\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{15}
\end{matrix}</math><ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000566|A000566]]
|-
| align="right" |[[Восьмикутник|8]]
| Восьмикутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(6''n''<sup>2</sup> − 4''n'') <br/> {{=}} 3''n''<sup>2</sup>&nbsp;— 2''n''}}
| align="right" | 1
| align="right" | 8
| align="right" | 21
| align="right" | 40
| align="right" | 65
| align="right" | 96
| align="right" | 133
| align="right" | 176
| align="right" | 225
| align="right" | 280
| align="center" | {{math|{{sfrac|3|4}} ln 3 + {{sfrac|{{pi}}{{sqrt|3}}|12}}}}<ref name="siam_07-003s" />
|[[oeis:A000567|A000567]]
|-
| align="right" |[[Дев'ятикутник|9]]
| Дев'ятикутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(7''n''<sup>2</sup> − 5''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 9
| align="right" | 24
| align="right" | 46
| align="right" | 75
| align="right" | 111
| align="right" | 154
| align="right" | 204
| align="right" | 261
| align="right" | 325
| align="center" |
|[[oeis:A001106|A001106]]
|-
| align="right" |[[Десятикутник|10]]
| Десятикутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(8''n''<sup>2</sup> − 6''n'') <br/> {{=}} 4''n''<sup>2</sup>&nbsp;— 3''n''}}
| align="right" | 1
| align="right" | 10
| align="right" | 27
| align="right" | 52
| align="right" | 85
| align="right" | 126
| align="right" | 175
| align="right" | 232
| align="right" | 297
| align="right" | 370
| align="center" | {{math|ln 2 + {{sfrac|{{pi}}|6}}}}
|[[oeis:A001107|A001107]]
|-
| align="right" |[[Одинадцятикутник|11]]
| 11-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(9''n''<sup>2</sup> − 7''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 11
| align="right" | 30
| align="right" | 58
| align="right" | 95
| align="right" | 141
| align="right" | 196
| align="right" | 260
| align="right" | 333
| align="right" | 415
| align="center" |
|[[oeis:A051682|A051682]]
|-
| align="right" |[[Дванадцятикутник|12]]
|[[Дванадцятикутник|12-кутні]]
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(10''n''<sup>2</sup> − 8''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 12
| align="right" | 33
| align="right" | 64
| align="right" | 105
| align="right" | 156
| align="right" | 217
| align="right" | 288
| align="right" | 369
| align="right" | 460
| align="center" |  
|[[oeis:A051624|A051624]]
|-
| align="right" |13
| 13-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(11''n''<sup>2</sup> − 9''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 13
| align="right" | 36
| align="right" | 70
| align="right" | 115
| align="right" | 171
| align="right" | 238
| align="right" | 316
| align="right" | 405
| align="right" | 505
| align="center" |  
|[[oeis:A051865|A051865]]
|-
| align="right" |[[Чотирнадцятикутник|14]]
| 14-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(12''n''<sup>2</sup> − 10''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 14
| align="right" | 39
| align="right" | 76
| align="right" | 125
| align="right" | 186
| align="right" | 259
| align="right" | 344
| align="right" | 441
| align="right" | 550
| align="center" | {{math|{{sfrac|2|5}} ln 2 + {{sfrac|3|10}} ln 3  + {{sfrac|{{pi}}{{sqrt|3}}|10}}}}
|[[oeis:A051866|A051866]]
|-
| align="right" |[[П'ятнадцятикутник|15]]
| 15-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(13''n''<sup>2</sup> − 11''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 15
| align="right" | 42
| align="right" | 82
| align="right" | 135
| align="right" | 201
| align="right" | 280
| align="right" | 372
| align="right" | 477
| align="right" | 595
| align="center" | 
|[[oeis:A051867|A051867]]
|-
| align="right" |16
| 16-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(14''n''<sup>2</sup> − 12''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 16
| align="right" | 45
| align="right" | 88
| align="right" | 145
| align="right" | 216
| align="right" | 301
| align="right" | 400
| align="right" | 513
| align="right" | 640
| align="center" | 
|[[oeis:A051868|A051868]]
|-
| align="right" |17
| 17-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(15''n''<sup>2</sup> − 13''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 17
| align="right" | 48
| align="right" | 94
| align="right" | 155
| align="right" | 231
| align="right" | 322
| align="right" | 428
| align="right" | 549
| align="right" | 685
| align="center" | 
|[[oeis:A051869|A051869]]
|-
| align="right" |18
| 18-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(16''n''<sup>2</sup> − 14''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 18
| align="right" | 51
| align="right" | 100
| align="right" | 165
| align="right" | 246
| align="right" | 343
| align="right" | 456
| align="right" | 585
| align="right" | 730
| align="center" | {{math|{{sfrac|4|7}} ln 2 − {{sfrac|{{sqrt|2}}|14}} ln (3 − 2{{sqrt|2}})}} {{math|+ {{sfrac|{{pi}}(1 + {{sqrt|2}})|14}}}}
|[[oeis:A051870|A051870]]
|-
| align="right" |19
| 19кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(17''n''<sup>2</sup> − 15''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 19
| align="right" | 54
| align="right" | 106
| align="right" | 175
| align="right" | 261
| align="right" | 364
| align="right" | 484
| align="right" | 621
| align="right" | 775
| align="center" | 
|[[oeis:A051871|A051871]]
|-
| align="right" |20
| 20-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(18''n''<sup>2</sup> − 16''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 20
| align="right" | 57
| align="right" | 112
| align="right" | 185
| align="right" | 276
| align="right" | 385
| align="right" | 512
| align="right" | 657
| align="right" | 820
| align="center" | 
|[[oeis:A051872|A051872]]
|-
| align="right" |21
| 21-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(19''n''<sup>2</sup> − 17''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 21
| align="right" | 60
| align="right" | 118
| align="right" | 195
| align="right" | 291
| align="right" | 406
| align="right" | 540
| align="right" | 693
| align="right" | 865
| align="center" | 
|[[oeis:A051873|A051873]]
|-
| align="right" |22
| 22-кутні
| align="center" |{{math|{{sfrac|1|2}}(20''n''<sup>2</sup> − 18''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 22
| align="right" | 63
| align="right" | 124
| align="right" | 205
| align="right" | 306
| align="right" | 427
| align="right" | 568
| align="right" | 729
| align="right" | 910
| align="center" | 
|[[oeis:A051874|A051874]]
|-
| align="right" |23
| 23-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(21''n''<sup>2</sup> − 19''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 23
| align="right" | 66
| align="right" | 130
| align="right" | 215
| align="right" | 321
| align="right" | 448
| align="right" | 596
| align="right" | 765
| align="right" | 955
| align="center" | 
|[[oeis:A051875|A051875]]
|-
| align="right" |24
| 24-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(22''n''<sup>2</sup> − 20''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 24
| align="right" | 69
| align="right" | 136
| align="right" | 225
| align="right" | 336
| align="right" | 469
| align="right" | 624
| align="right" | 801
| align="right" | 1000
| align="center" | 
|[[oeis:A051876|A051876]]
|-
| align="right" | ...
| ...
| align="center" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="right" | ...
| align="center" | ...
| ...
|-
| align="right" |10000
| 10000-кутні
| align="center" | {{math|{{sfrac|1|2}}(9998''n''<sup>2</sup> − 9996''n'')}}
| align="right" | 1
| align="right" | 10000
| align="right" | 29997
| align="right" | 59992
| align="right" | 99985
| align="right" | 149976
| align="right" | 209965
| align="right" | 279952
| align="right" | 359937
| align="right" | 449920
| align="center" | 
|[[oeis:A167149|A167149]]
|}

[[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел]] уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній<nowiki>"</nowiki>) і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена  наступною тотожністю (див.  [https://oeis.org/A086270 A086270] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210413224726/https://oeis.org/A086270 |date=13 квітня 2021 }})&nbsp;:

: <math>2\,P(s,n) = P(s+k,n) + P(s-k,n),</math>

де

: <math>k = 0, 1, 2, 3, ..., s-3.</math>

== Чи є число багатокутним ==
'''Задача 1.''' (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число <math>N>2</math>, потрібно визначити чи є воно багатокутним числом <math>P_n^{(k)}</math> і якщо так, то для яких значень <math>k</math>, <math>n</math>. Діофант сформулював цю проблему так: «''визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел''». Алгоритм розв'язку задачі:{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=37—39|name=DD37}}.
# Випишемо всі натуральні [[дільник]]и числа <math>2N</math> (включаючи <math>1</math> та <math>2N</math>).
# Випишемо всі натуральні дільники числа <math>2N-2</math>.
# З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають <math>n</math>.
# Для кожного вибраного <math>n</math> обчислюємо <math>k=\dfrac{2N-2}{n-1}-\dfrac{2N}{n}+2</math>.
# Відкинемо пари <math>(n,k)</math>, де <math>k<3</math>.

Відповідно, всі пари <math>P_n^{(k)}</math>, що залишилися, рівні <math>N</math>.

'''Приклад 1'''. Нехай <math>N=105</math>.
* Дільники <math>2N=210</math>: <math>1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210</math>.
* Дільники <math>2N-2=208</math>: <math>1,2,4,8,13,16,26,52,104,208</math>.
* Виписуємо <math>n= 2,3,5,14,105</math>.
* Відповідно <math>k= 105,36,12,14,2</math>. Останнє значення відкинемо.

Відповідь: <math>105</math> зустрічається як <math>P_2^{(105)}</math>, <math>P_3^{(36)}</math>, <math>P_5^{(12)}</math>, <math>P_14^{(14)}</math>, тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

'''Задача 2.''' Дано [[Натуральні числа|натуральне число]] <math>N>2</math>, потрібно визначити чи є воно <math>k</math>-кутним числом <math>P_n^{(k)}</math>. На відміну від попередньої задачі, тут <math>k</math> задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта{{sfn|Деза Е., Деза М.|2016|с=39—39|name=DD39}}:
: <math>8(k-2)P^{(k)}_n + (k-4)^2 = (2n(k-2) - (k-4))^2</math>.

Цю [[тотожність]] легко отримати з наведеної вище загальної формули для <math>P_n^{(k)}</math>. З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо <math>N</math> є <math>k</math>-кутне число, тобто <math>N=P_n^{(k)}</math> для деякого <math>N</math>, то <math>8(k-2)N+(k-4)^2</math>&nbsp;— це деяке квадратне число <math>R^2</math> і навпаки. При цьому номер <math>n</math> знаходиться за формулою

: <math>n = \frac{R+k-4}{2k-4}</math>.

'''Приклад 2'''. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення <math>8(k-2)N+(k-4)^2</math> тут рівне <math>98596=314^2</math>, тому задане число є 10-кутним. <math>n=20</math>, отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

== Твірна функція ==
[[Степеневий ряд]], коефіцієнти якого <math>k</math>-кутні числа, збігається при <math>|x|<1</math>:

: <math>P^{(k)}_1x + P^{(k)}_2 x^2 + P^{(k)}_3 x^3 + \dots = \frac{x(1+(k-3)x)}{(1-x)^3}</math>.

Вираз справа є [[Генератриса|твірною функцією]] для послідовності <math>k</math>-кутних чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=17—19}}.

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в [[Теорія чисел|теорії чисел]] і [[Комбінаторика|комбінаториці]] методи [[Математичний аналіз|математичного аналізу]]. Наведена формула також пояснює появу <math>k</math>-кутних чисел серед коефіцієнтів [[ряд Тейлора|ряду Тейлора]] для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

: При <math>k=3</math> : <math>\frac{x}{(1-x)^3}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}3x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\cdots </math>,

: при <math>k=4</math> : <math>\frac{x(x+1)}{(1-x)^{3}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}3x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\cdots</math>,

: при <math>k=5</math> : <math>\frac{x(2x+1)}{(1-x)^{3}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}3x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\cdots</math>.

== Див. також ==
* [[Фігурні числа]]
* [[Центровані багатокутні числа]]
* [[Теорема Ферма про багатокутні числа]]

==Примітки==
{{reflist}}

==Література==
*''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'', David Wells (Penguin Books, 1997) [{{isbn|0-14-026149-4}}].
*[http://planetmath.org/encyclopedia/PolygonalNumber.html Polygonal numbers at PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160220053427/http://planetmath.org/encyclopedia/PolygonalNumber.html |date=20 лютого 2016 }}
*{{MathWorld | title=Polygonal Numbers | urlname=PolygonalNumber}}
*{{cite book|author=F. Tapson|title=The Oxford Mathematics Study Dictionary|url=https://archive.org/details/oxfordmathematic0000taps_a4b1|publisher=Oxford University Press|year=1999|pages=[https://archive.org/details/oxfordmathematic0000taps_a4b1/page/88 88]–89|edition=2nd|isbn=0-19-914-567-9}}

== Посилання ==
* {{springer|title=Polygonal number|id=p/p073600}}
*[http://www.virtuescience.com/polygonal-numbers.html Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337] {{Webarchive|url=https://www.webcitation.org/673ZIp9J1?url=http://www.virtuescience.com/polygonal-numbers.html |date=20 квітня 2012 }}
*{{youtube|id=YOiZ459lZ7A|title=Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid}}
* Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161129003903/http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 |date=29 листопада 2016 }}

[[Категорія:Фігурні числа]]