Перегляд вихідного коду сторінки Багатократний інтеграл

{{вичитати}}
{{Числення|expanded=Багатьох змінних}}
'''Багатокра́тний інтегра́л''' це [[Інтеграл|обмежений інтеграл]] [[Функція (математика)|функції]], що має декілька дійсних [[Змінна|змінних]], наприклад, {{math|''f''(''x'', ''y'')}} або {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}}. Інтеграли функцій двох змінних в області {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} — потрійними інтегралами:<ref name= "Stewart">{{cite book|authorlink=James Stewart (mathematician) |last=Stewart |first=James |date=2008 |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks Cole Cengage Learning |ISBN=978-0-495-01166-8}}</ref>

* [[подвійний інтеграл]]:
*: <math> \int \int f(x,y) \;dx \;dy </math>
* [[потрійний інтеграл]]:
*: <math> \int \int \int f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz </math>

==Визначення==
Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає [[Площа|площу]] області між графіком функції і віссю {{mvar|x}}, '''подвійний інтеграл''' додатної функції двох змінних визначає [[об'єм]] області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній [[Декартова система координат|системі декартових координат]] де {{math|''z'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'')}}) і площиною, що задає її [[Область визначення|область визначення]]. <ref name = "Stewart" /> Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати [[Чотиривимірний простір|гіпероб'єм]] багатовимірної функції.

Багатократний інтеграл функції із {{mvar|n}} змінними: {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} по області {{mvar|D}} зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтеграла в зворотньому порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (крайній правий інтеграл буде розраховуватися в першу чергу). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтеграла або, або в скороченій формі задається змінною біля інтеграла, що знаходиться праворуч від усіх:<ref>{{cite book|last1=Larson |last2=Edwards |date=2014 |title=Multivariable Calculus |edition=10th |publisher=Cengage Learning |ISBN= 978-1-285-08575-3}}</ref>

:<math> \int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>

== Геометрична інтерпретація ==
[[Файл:Volume under surface.png|thumb|200px|Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних буде інтегруватися]]
Нехай функція <math>f\left( x,y \right)</math> приймає в області <math>\ D</math> тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл <math>\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }</math> чисельно дорівнює об'єму <math>\ V</math> вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові <math>\ D</math> і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні <math>z=f\left( x,y \right)</math>.

==Математичне визначення==
Для {{math|''n'' > 1}}, розглянемо так звану "пів-відкриту" {{mvar|n}}-вимірну [[Гіперпрямокутник|гіперпрямокутну]] область значень {{mvar|T}}, визначену наступним чином:

:<math>T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \mathbf{R}^n.</math>

[[Розбиття множини|Розіб'ємо]] кожен інтервал {{math|[''a''<sub>''j''</sub>, ''b''<sub>''j''</sub>)}} на скінченну послідовність підінтервалів {{mvar|I<sub>j</sub>}}, що не перекриваються {{mvar|i<sub>j<sub>α</sub></sub>}}, де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.

Скінченна кількість підпрямокутників {{mvar|C}} буде визначатися наступним чином

:<math>C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n</math>

і є [[Розбиття множини|розбиттям]] області {{mvar|T}}; таке що, підпрямокутники {{mvar|C<sub>k</sub>}} не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати {{mvar|T}}.

Нехай {{math|''f'' : ''T'' → '''R'''}} є функцією визначеною в області {{mvar|T}}. Розглянемо розбиття {{mvar|C}} області {{mvar|T}} описане вище, так що {{mvar|C}} є сімейством із {{mvar|m}} підпрямокутниками {{mvar|C<sub>m</sub>}} і

:<math>T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m</math>

Ми можемо апроксимувати загальний {{math|(''n'' + 1)}}-вимірний об'єм, що обмежує собою {{mvar|n}}-вимірний [[гіперпрямокутник]] {{mvar|T}} і зверху обмежений {{mvar|n}}-вимірним графіком функції {{mvar|f}} за допомогою наступної [[Сума Рімана|суми Рімана]]:

:<math>\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)</math>

де {{mvar|P<sub>k</sub>}} це точка в {{mvar|C<sub>k</sub>}} і {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює {{mvar|C<sub>k</sub>}}.

'''Діаметр''' підпрямокутника {{mvar|C<sub>k</sub>}} буде дорівнювати найбільшій довжині інтервала [[Декартів добуток множин|декартовим добутком]] якого є {{mvar|C<sub>k</sub>}}. Діаметр даного розбиття {{mvar|T}} визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття {{mvar|C}} до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників {{mvar|m}} стає більшою, а міра {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію {{mvar|f}} називають такою, що має '''Ріманів інтеграл''' якщо існує [[границя]]

:<math>S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)</math>

де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття {{mvar|T}} із діаметром {{mvar|δ}}.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref>

Якщо {{mvar|f}} інтегрована за Ріманом, то {{mvar|S}} називають '''Рімановим інтегралом''' функції {{mvar|f}} по області {{mvar|T}} і позначається наступним чином

:<math> \int \cdots \int_T\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>

Часто цей запис скорочують до наступного вигляду

: <math>\int_T\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.</math>

де {{math|'''x'''}} позначає {{mvar|n}}-кортеж {{math|(''x''<sub>1</sub>, ... ''x<sub>n</sub>'')}} і {{math|''d''{{isup|''n''}}'''x'''}} позначає {{math|n}}-вимірний об'ємний [[Диференціал (математика)|диференціал]].

===Властивості===
Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтеграла є те, що значення інтеграла не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як [[Теорема Фубіні]].<ref name="a">{{cite book|last=Jones |first=Frank |date=2001 |title=Lebesgue Integration on Euclidean Space |url=https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_393 |publisher=Jones and Bartlett |pages=[https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_393/page/n544 527]–529 |ISBN=}}{{ISBN missing}}</ref>

==Методи інтегрування==
Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні способу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для [[Неперервна функція|неперервних функцій]], це підтверджується [[Теорема Фубіні|Теоремою Фубіні]]. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.

Далі наведені найпростіші методи інтегрування:<ref name="Stewart" />

===Інтегрування константної функції===
Якщо під інтегралом знаходиться [[константна функція]] {{mvar|c}}, інтеграл буде дорівнювати добутку {{mvar|c}} на вимір області інтегрування. Якщо {{math|''c'' {{=}} 1}}, а область є частиною області {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, тоді інтеграл повертає об'єм.

<blockquote>'''Наприклад.''' Нехай {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} 2}} і

:<math>D = \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \right\}</math>

в такому випадку

:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ dx\, dy =2\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy= 2\cdot\mbox{area}(D) = 2 \cdot (2 \cdot 3) = 12</math>,

оскільки із визначення ми маємо наступне:

:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy=\mbox{area}(D).</math></blockquote>

===Використання симетрії===
Якщо область інтегрування симетрична відносно [[Початок координат|початку координат]] по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є [[Парні та непарні функції|парною]] по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.

<blockquote>'''Приклад 1.''' Розглянемо функцію {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} 2 sin(''x'') − 3''y''<sup>3</sup> + 5}} що інтегрується по області

:<math>T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},</math>

диск із [[радіус]]ом&nbsp;1 має центр в початку координат, із включеною межею.

Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:

:<math>\iint_T \left(2\sin x - 3y^3 + 5\right) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy</math>

Функція {{math|2 sin(''x'')}} є парною функцією для змінної {{mvar|x}} а диск {{mvar|T}} є симетричним відносно осі {{mvar|y}}, тому значення першого інтеграла дорівнює 0. Аналогічно, функція {{math|3''y''<sup>3</sup>}} є парною функцією для {{mvar|y}}, а {{mvar|T}} симетрична відносно осі {{mvar|x}}, і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5{{pi}}.</blockquote>

<blockquote>'''Приклад 2.''' розглянемо функцію  {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x'' exp(''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>)}}, оскільки область інтегрування є [[сфера|сферою]] із радіусом 2 із центром у початку координат,
:<math>T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.</math>
"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі {{mvar|x}} аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.</blockquote>

===Заміна змінних===

Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або через складну формулу інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш  "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.

<blockquote>'''Приклад 1a.''' Функція дорівнює {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} (''x'' − 1)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}; якщо застосувати заміну {{math|''x''′ {{=}} ''x'' − 1}}, {{math|''y''′ {{=}} ''y''}} так що {{math|''x'' {{=}} ''x''′ + 1}}, {{math|''y'' {{=}} ''y''′}} буде одержана нова функція {{math|''f''<sub>2</sub>(''x'', ''y'') {{=}} (''x''′)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}.</blockquote>
* Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні  ({{mvar|x}} і {{mvar|y}}, які були перетворені вище в прикладі).
* диференціали {{mvar|dx}} і {{mvar|dy}} трансформуються за допомогою абсолютного значення [[Матриця Якобі|детермінанта матриці Якобі]], що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).

Існує три основні "види" заміни змінних (один для {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, два для {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.

====Полярні координати====
{{See also|Полярна система координат}}
[[File:Passaggio in coordinate polari.svg|thumb|270px|right|Перетворення від декартових до полярних координат.]]
Для {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати ''трансформування в полярні координати'' (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки {{math|''P''(''x'', ''y'')}} в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в [[Полярна система координат|полярній системі координат]]. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.

Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:

:<math>f(x,y) \rightarrow f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi ).</math>

<blockquote>'''Приклад 2a.''' Функцією є {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x'' + ''y''}}, застосувавши перетворення отримаємо
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho \cos \varphi + \rho \sin \varphi = \rho(\cos \varphi + \sin \varphi ).</math></blockquote>

<blockquote>'''Приклад 2b.''' Функцією є {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}, в такому випадку маємо:
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho^2 \left(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi\right) = \rho^2</math>
використовуючи [[Тригонометрична тотожність Піфагора|тригонометричну тотожність Піфагора]].</blockquote>

Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів {{math|''ρ'', ''φ''}} від початкових {{math|''x'', ''y''}}.
[[File:Esempio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg|thumb|230px|right|Приклад перетворення області із декартової системи координат в полярну.]]

<blockquote>'''Приклад 2c.''' Область задається як {{math|''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 4<nowiki>}</nowiki>}}, це коло радіусом 2; очевидно, що кут який воно покриває це кут усього кола, тому {{mvar|φ}} змінюється від 0 до 2{{pi}}, в той час як радіус змінюється від 0 до 2.</blockquote>

<blockquote>'''Приклад 2d.''' Область задається як {{math|''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, ''y'' ≥ 0<nowiki>}</nowiki>}}, це кругла дуга в додатній відносно осі {{mvar|y}} [[Півплощина|півплощині]] (див. малюнок); {{mvar|φ}} описує площину із зміною кута {{mvar|ρ}} в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде таким [[прямокутник]]ом:

:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le \pi \}.</math>

Детермінант [[Матриця Якобі|матриці Якобі]] для такого перетворення буде таким:

:<math>\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \varphi)} = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho</math>

який було отримано відповідно до часткових похідних для {{math|''x'' {{=}} ''ρ'' cos(''φ'')}}, {{math|''y'' {{=}} ''ρ'' sin(''φ'')}} в першому стовбці відповідно до {{mvar|ρ}} і в другому стовпці відповідно до {{mvar|φ}}, так що диференціали {{mvar|dx dy}} в цьому перетворенні стали замінені на {{mvar|ρ dρ dφ}}.

Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:

:<math>\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho \, d \rho\, d \varphi.</math>

{{mvar|φ}} є дійсним для інтервалу {{math|[0, 2π]}} в той час як {{mvar|ρ}}, що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.</blockquote>

<blockquote>'''Приклад 2e.'''  Функцією є {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x''}} а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для {{mvar|D}} ми вже знаємо інтервали для {{mvar|ρ}} (з 2 до 3) і для {{mvar|φ}} (з 0 до {{pi}}). Тепер ми змінюємо функцію:

:<math>f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\varphi) = \rho \cos \varphi.</math>

нарешті, застосуємо формулу інтегрування:

:<math>\iint_D x \, dx\, dy = \iint_T \rho \cos \varphi \rho \, d\rho\, d\varphi.</math>

Оскільки інтервали відомі, матимемо

:<math>\int_0^\pi \int_2^3 \rho^2 \cos \varphi \, d \rho \, d \varphi = \int_0^\pi \cos \varphi \ d \varphi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \Big[ \sin \varphi \Big]_0^\pi \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0.</math></blockquote>


====Циліндричні координати====
[[File:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|right|190px|Циліндричні координати.]]
В {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою ''переходу до [[Циліндрична система координат|циліндричних координат]]''; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:
:<math>f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z)</math>

Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.

<blockquote>'''Приклад 3a.''' Регіоном є {{math|''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, 0 ≤ ''z'' ≤ 5<nowiki>}</nowiki>}} (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:
:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le z \le 5 \}</math>
(це буде паралелепіпед, основа якого подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).

Оскільки компонент {{mvar|z}} не змінюється під час перетворення, диференціали {{mvar|dx dy dz}} змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на {{mvar|ρ dρ dφ dz}}.

Врешті-решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:

:<math>\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz.</math>

Цей метод зручно застосовувати у випадку, коли області є циліндричними або конічними або для областей, де легко виділити інтервал ''z'' і перетворити круглу основу і функцію.</blockquote>

<blockquote>'''Приклад 3b.''' Функція задана як {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''}} а область інтегрування є [[циліндр]]ом: {{math|''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, −5 ≤ ''z'' ≤ 5 <nowiki>}</nowiki>}}. Перетворення {{mvar|D}} в циліндричні координати є наступним:

:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ -5 \le z \le 5 \}.</math>

а функція перетворюється на

:<math>f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) = \rho^2 + z</math>

Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:

:<math>\iiint_D \left(x^2 + y^2 +z\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \left( \rho^2 + z\right) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz;</math>

продовжуючи перетворення формули отримаємо

:<math>\int_{-5}^5 dz \int_0^{2 \pi} d\varphi \int_0^3 \left( \rho^3 + \rho z \right)\, d\rho = 2 \pi \int_{-5}^5 \left[ \frac{\rho^4}{4} + \frac{\rho^2 z}{2} \right]_0^3 \, dz = 2 \pi \int_{-5}^5 \left( \frac{81}{4} + \frac{9}{2} z\right)\, dz = \cdots = 405 \pi.</math></blockquote>

====Сферичні координати====
[[File:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|thumb|right|190px|Сферичні координати.]]
В {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися ''переходом до [[Сферична система координат|сферичної системи координат]]''; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:
:<math>f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi, \rho \sin \theta \sin \varphi, \rho \cos \varphi)</math>

Точки на осі {{mvar|z}} не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому {{mvar|θ}} може змінюватися між значеннями 0 і 2{{pi}}.

Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.

<blockquote>'''Приклад 4a.''' Область задана як {{math|''D'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> ≤ 16}} (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область
:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}.</math>

Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:

:<math>\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \varphi)} = \begin{vmatrix}
\cos \theta \sin \varphi & - \rho \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \cos \varphi \\
\sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \sin \varphi & \rho \sin \theta \cos \varphi \\
\cos \varphi & 0 & - \rho \sin \varphi \end{vmatrix} = \rho^2 \sin \varphi</math>

Диференціали {{mvar|dx dy dz}} таким чином перетворюються на {{math|''ρ''<sup>2</sup> sin(''φ'') ''dρ'' ''dθ'' ''dφ''}}.

Це приводить до остаточної формули інтегрування:

:<math>\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi.</math></blockquote>

Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична '''і''' коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).

:<math>\iiint_T f(a,b,c) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi.</math>

Додаткові {{math|''ρ''<sup>2</sup>}} і {{math|sin ''φ''}} взяті із Якобіана.

В наступних прикладах ролі {{mvar|φ}} і {{mvar|θ}} були замінені навпаки.

<blockquote>'''Приклад 4b.''' {{mvar|D}} є такою ж областю як і в прикладі 4a, а {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>}} є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:

:<math>f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) = \rho^2,</math>

ми знаємо інтервали перетвореної області {{mvar|T}} із {{mvar|D}}:

:<math>T=\{0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi\}.</math>

Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:

:<math>\iiint_D \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \rho^2 \, \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi,</math>

і з цього ми отримаємо

:<math>\iiint_T \rho^4 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \int_0^{\pi} \sin \varphi \,d\varphi \int_0^4 \rho^4 d \rho \int_0^{2 \pi} d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin \varphi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \, d \varphi = 2 \pi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \Big[- \cos \varphi \Big]_0^{\pi} = \frac{4096 \pi}{5}.</math></blockquote>

<blockquote>'''Приклад 4c.''' Область {{mvar|D}} це шар із центром в початку координат і радіусом {{math|3''a''}},

:<math>D = \left \{ x^2 + y^2 + z^2 \le 9a^2 \right \}</math>

а {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} - функція інтегрування.

Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область {{mvar|T}} є очевидними:

:<math>T=\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le \theta \le \pi\}.</math>

Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо

:<math>f(x,y,z) = x^2 + y^2 \longrightarrow \rho^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi = \rho^2 \sin^2 \theta</math>.

Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:

:<math>\iiint_T \rho^2 \sin^2 \theta \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi</math>

що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для {{mvar|T}} будуть наступними

:<math>T=\left\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ - \sqrt{9a^2 - \rho^2} \le z \le \sqrt{9a^2 - \rho^2}\right\};</math>

інтервал {{mvar|z}} було отримано за допомогою розділення кулі на дві [[сфера|напівсфери]] шляхом вирішення [[Нерівність|нерівності]] із формули для {{mvar|D}} (і виконавши пряме перетворення {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} у {{math|''ρ''<sup>2</sup>}}). Нова функція тоді буде простою {{math|''ρ''<sup>2</sup>}}. Застосовуючи формулу інтегрування

:<math>\iiint_T \rho^2 \rho \ d \rho d \varphi dz</math>.

Тоді ми отримаємо

:<math>\begin{align} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{3a} \rho^3 d\rho \int_{-\sqrt{9a^2 - \rho^2}}^{\sqrt{9 a^2 - \rho^2}}\, dz &= 2 \pi \int_0^{3a} 2 \rho^3 \sqrt{9 a^2 - \rho^2} \, d\rho \\
&= -2 \pi \int_{9 a^2}^0 (9 a^2 - t) \sqrt{t}\, dt && t = 9 a^2 - \rho^2 \\
&= 2 \pi \int_0^{9 a^2} \left ( 9 a^2 \sqrt{t} - t \sqrt{t} \right ) \, dt \\
&= 2 \pi \left( \int_0^{9 a^2} 9 a^2 \sqrt{t} \, dt - \int_0^{9 a^2} t \sqrt{t} \, dt\right) \\
&= 2 \pi \left[9 a^2 \frac23 t^{ \frac32 } - \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} \right]_0^{9 a^2} \\
&= 2 \cdot 27 \pi a^5 \left ( 6 - \frac{18}{5} \right ) \\
&= \frac{648 \pi}{5} a^5. \end{align}</math>

Завдяки переходу в циліндричні координати стало можливим спростити потрійний інтеграл до простого інтеграла з однією змінною.</blockquote>

==Приклади==

=== Подвійний інтеграл по прямокутнику ===
Припустимо, що ми хочемо проінтегрувати функцію багатьох змінних {{mvar|f}} по області {{mvar|A}}:
:<math>A = \left \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ 11 \le x \le 14 \ ; \ 7 \le y \le 10 \right \} \mbox{ and } f(x,y) = x^2 + 4y\,</math>

З цього ми записуємо формулювання багатократного інтеграла

:<math>\int_7^{10} \int_{11}^{14} (x^2 + 4y) \, dx\, dy </math>

Внутрішній інтеграл застосовується першим, інтегруючи відносно змінної {{mvar|x}} і приймаючи {{mvar|y}} за константу, так ніби вона не є [[Диференціал (математика)|змінною інтегрування]]. Результат цього інтеграла, що є функцією яка залежить від лише від змінної {{mvar|y}}, потім інтегрують по {{mvar|y}}.

:<math>\begin{align}
\int_{11}^{14} \left(x^2 + 4y\right) \, dx & = \left [\frac13 x^3 + 4yx \right]_{x=11}^{x=14} \\
&= \frac13(14)^3 + 4y(14) - \frac13(11)^3 - 4y(11) \\
&= 471 + 12y \end{align}</math>

Тепер інтегруємо результат відносно {{mvar|y}}.

:<math>\begin{align}
\int_7^{10} (471 + 12y) \ dy & = \Big[471y + 6y^2\Big]_{y=7}^{y=10} \\
&= 471(10)+ 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \\
&= 1719 \end{align}</math>

Іноді, порядок інтегрування можна змінити місцями, тобто, інтегрування спочатку по ''x'' потім по ''y'' і навпаки дає однаковий результат. Наприклад, виконавши попередні розрахунки змінивши порядок навпаки приведе до того ж результату:

:<math> \begin{align}
\int_{11}^{14} \int_{7}^{10} \, \left(x^2 + 4y\right) \, dy\, dx & = \int_{11}^{14} \Big[x^2 y + 2y^2 \Big]_{y=7}^{y=10} \, dx \\
&= \int_{11}^{14} \, (3x^2 + 102) \, dx \\
&= \Big[x^3 + 102x \Big]_{x=11}^{x=14} \\
&= 1719. \end{align}</math>

Умови при яких порядок можна змінювати визначає [[Теорема Фубіні]].

==Деякі практичні застосування==
Як правило, як і для випадку з однією змінною, багатократний інтеграл можна використовувати для пошуку середнього значення функції в рамках заданої множини. Дана множина {{math|''D'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup>}} і інтегрована функція {{mvar|f}} по {{mvar|D}}, середнє значення функції {{mvar|f}} по області задається наступним чином

:<math>\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, dx,</math>

де {{math|''m''(''D'')}} це [[Міра множини|міра]] для {{mvar|D}}.

Крім того, багатократні інтеграли використовуються в багатьох задачах з [[фізика|фізики]]. Нижче наводяться приклади, які також показують деякі варіації в нотації.

В [[Механіка|механіці]], [[момент інерції]] розраховується як об'ємний інтеграл (потрійний інтеграл) [[Густина|густини]] зваженої як квадрат відстані від осі:

:<math>I_z = \iiint_V \rho r^2\, dV.</math>

[[Гравітаційний потенціал]], що пов'язаний із розподіленням маси, що задається [[Міра Бореля|мірою Бореля]] для маси {{mvar|dm}} в тривимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} буде задано як<ref>{{Cite book |title=Classical Mechanics |title-link=Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) |edition=5th |publisher=[[Imperial College Press]] |year=2004 |isbn=978-1-86094-424-6 |author1 = Kibble |first1 = Tom W. B. |last2 = Berkshire |first2=Frank H.}}</ref>
:<math>V(\mathbf{x}) = -\iiint_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\,dm(\mathbf{y}).</math>

Якщо задана неперервна функція {{math|''ρ''('''x''')}}, що задає густину розподілення для {{math|'''x'''}}, таким чином що {{math|''dm''('''x''') {{=}} ''ρ''('''x''')''d''{{isup|3}}'''x'''}}, де {{math|''d''{{isup|3}}'''x'''}} є Евклідовим елементом об'єму, тоді гравітаційний потенціал дорівнює
:<math>V(\mathbf{x}) = -\iiint_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\,\rho(\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y}.</math>

В [[електромагнетизм]]і, [[Рівняння Максвелла]] для розрахунку загального магнітного і електричного полів можна записати із використанням багатократного інтеграла.<ref>{{cite book | last = Jackson | first = John D. | title = Classical Electrodynamics |author-link=John David Jackson (physicist) |edition = 3rd | publisher = Wiley | year = 1998 | isbn = 0-471-30932-X}}</ref> В наведеному прикладі, [[електричне поле]], утворене через розподілення [[Електричний заряд|електричних зарядів]] задається за допомогою об'ємної [[Густина заряду|густини заряду]] {{math|''ρ''(<math> \vec r </math>)}} що розраховується за допомогою ''потрійного інтеграла'' векторної функції:

:<math>\vec E = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint \frac {\vec r - \vec r'}{\left \| \vec r - \vec r' \right \|^3} \rho (\vec r')\, d^3 r'.</math>

Це також можна записати як інтеграл, відповідно до мирі із врахуванням знаку, що буде задавати розподілення заряду.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Поняття про подвійний інтеграл|сторінки=458}}

{{math-stub}}
{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Інтегральне числення]]