Перегляд вихідного коду сторінки Арифметика

{{unibox}}
[[Файл:Magnitsky.djvu|page=3|thumb|Підручник з арифметики [[Магницький Леонтій Пилипович|Леонтія Магницького]], 1703 рік]]
'''Арифме́тика'''<ref>{{ВУЕ|Арифметика|Т.&nbsp;С. Клецька}}</ref>, або '''аритме́тика'''<ref>{{Cite book|url=http://www.inmo.org.ua/news/нова-редакція-українського-правопису.-повний-текст.html|title=Український правопис|last=|first=|year=2019|publisher=Українська національна комісія з питань правопису|location=|pages=125|language=|isbn=|accessdate=25 травня 2022|archive-date=20 жовтня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201020052812/http://www.inmo.org.ua/news/нова-редакція-українського-правопису.-повний-текст.html}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201020052812/http://www.inmo.org.ua/news/нова-редакція-українського-правопису.-повний-текст.html |date=2020-10-20 }}</ref> ({{lang-grc|ἀριϑμητική}}&nbsp;— мистецтво лічби, вчення про числа, від {{lang-grc|αριθμός}}&nbsp;— число)&nbsp;— наука про числа, їхні властивості й операції над ними<ref>[http://leksika.com.ua/14900824/ure/arifmetika «Арифметика»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308214002/http://leksika.com.ua/14900824/ure/arifmetika |date=8 березня 2016 }} в [[УРЕ]]</ref><ref name=ESU>[http://esu.com.ua/search_articles.php?id=43227 «Арифметика»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211129155047/https://esu.com.ua/search_articles.php?id=43227 |date=29 листопада 2021 }} в [[ЕСУ]]</ref>.

Арифметика розглядає дії над [[ціле число|цілими числами]], вчить розв'язувати задачі, які зводяться до [[додавання]], [[віднімання]], [[множення]] і [[ділення]] цих чисел. Арифметику часто вважають першою сходинкою [[математика|математики]], знаючи яку можна вивчати складніші її розділи&nbsp;— [[алгебра|алгебру]], [[математичний аналіз]] тощо. Навіть цілі числа&nbsp;— основний об'єкт арифметики&nbsp;— відносять, коли розглядають їхні загальні властивості і закономірності, до вищої арифметики, чи [[теорія чисел|теорії чисел]].

== Предмет арифметики ==
Предметом арифметики є [[число]]ві [[множина|множини]], властивості чисел і дії над числами<ref name=ESU/>. До неї належать також питання, пов'язані з технікою обрахунку, [[вимірювання]]ми<ref name="brit-arithmetic">{{cite web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic|title=Arithmetic|publisher=Encyclopædia Britannica|author=MacDuffee C. C.|accessdate=2012-03-20|archiveurl=https://www.webcitation.org/67ytRv4RV?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic|archivedate=2012-05-27|deadurl=no}}{{ref-en}}</ref>, походженням і розвитком поняття числа<ref name="MathEnc_Arith">{{книга|автор=[[Виноградов Іван Матвійович|Виноградов И. М.]]
 |частина = Арифметика |заголовок= Математическая энциклопедия |місце = М. |видавництво=Советская энциклопедия |рік=1977|том=1}}</ref>. Арифметика вивчає [[Натуральні числа|натуральні]] та [[Раціональні числа|раціональні]] числа, або [[Дріб|дроби]]<ref name="bse">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/Арифметика|title=Арифметика|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|accessdate=2013-01-20|archiveurl=https://www.webcitation.org/6BtoHcmjU?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/Арифметика|archivedate=2012-11-03|deadurl=no}}</ref>. На базі [[Аксіоми Пеано|аксіоматичної структури]] [[множина|множин]] натуральних чисел здійснюється побудова інших числових множин, включаючи [[Ціле число|цілі]], [[Дійсні числа|дійсні]] та [[Комплексні числа|комплексні]] числа, проводиться їхній аналіз<ref name="MathEnc_Arith"/>. Інколи в рамках арифметики розглядають також [[кватерніон]]и й інші [[Гіперкомплексне число|гіперкомплексні числа]]. Водночас з [[теорема Фробеніуса|теореми Фробеніуса]] випливає, що розширення поняття числа за межі [[комплексна площина|комплексної площини]] без втрати якихось його арифметичних властивостей є неможливим{{sfn|Арнольд|1938|с=3—5}}{{sfn|Понтрягин|1986|с=4—6}}.

До основних дій над числами належать [[додавання]], [[віднімання]], [[множення]] і [[ділення]]<ref name="ESU" />, рідше сюди відносять [[піднесення до степеня]], [[корінь (математика)|добування кореня]]<ref name="brit-arithmetic" /> та розв'язування числових [[Рівняння|рівнянь]]<ref name="ebse">Арифметика, наука //Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: в 86 т. (82 т. и 4 доп.).&nbsp;— СПб., 1890—1907.</ref>. Історично до списку арифметичних дій включали також власне [[усні обчислення|обчислення]], подвоєння (крім множення), ділення на два й [[ділення з остачею]] (крім ділення), пошук суми [[Арифметична прогресія|арифметичної]] і [[Геометрична прогресія|геометричної]] прогресій<ref name="bell-12">
{{книга |автор = Беллюстин В.  |частина = Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения |заголовок = Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики |місце = М. |видавництво=Типография К. Л. Меньшова |рік = 1909 |сторінок =}}</ref>. [[Джон Непер|Дж. Непер]] у своїй книзі «Логістичне мистецтво» розділив арифметичні дії за ступенями. На нижчому ступені перебувають додавання й віднімання, на наступному&nbsp;— множення й ділення, далі&nbsp;— піднесення до степеня й добування коренів{{sfn|Депман|1965|с=195—199}}. Відомий методист І.&nbsp;В.&nbsp;Арнольд до операцій третього ступеня зачисляв також [[логарифм]]ування{{sfn|Арнольд|1938|с=151—156}}. Традиційно арифметикою називають виконання операцій над різними об'єктами, як от: «арифметика [[Квадратична форма|квадратичних форм]]», «арифметика [[Матриця (математика)|матриць]]»<ref name="MathEnc_Arith"/>.

Власне математичні розрахунки та вимірювання, що є необхідними для практичних потреб, такі як [[Пропорція (математика)|пропорції]], [[процент]]и тощо, зачисляють до нижчої або практичної арифметики<ref name="ebse"/>, у той час як [[Математична логіка|логічний аналіз]] поняття числа відносять до теоретичної арифметики<ref name="MathEnc_Arith"/>. Властивості цілих чисел, ділення їх на частини, побудова неперервних дробів є складовою частиною [[Теорія чисел|теорії чисел]]<ref name="MathEnc_Arith"/>, яку тривалий час вважали вищою арифметикою<ref name="ebse"/>. Арифметика також є тісно пов'язаною з [[Алгебра|алгеброю]], яка вивчає власне [[Операція (математика)|операції]] без врахування особливостей і властивостей чисел<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="bse"/>. Такі арифметичні дії, як піднесення до степеня та добування коренів, є технічною частиною алгебри. З цього погляду, слідом за [[Ісаак Ньютон|Ньютоном]] і [[Карл Фрідріх Гаус|Гаусом]], алгебру прийнято вважати узагальненням арифметики<ref name="brit-arithmetic" /><ref name="ebse" />. Взагалі-то, чітких граней між арифметикою, [[Елементарна алгебра|елементарною алгеброю]] і [[теорія чисел|теорією чисел]] не існує.

Як і інші [[навчальна дисципліна|академічні дисципліни]], арифметика має справу з принциповими [[Методологія|методологічними]] проблемами; для неї є необхідним дослідження питань несуперечності та повноти [[Аксіома|аксіом]]<ref name="ebse"/>. Логічними побудовами [[Формальна система|формальної системи]] [[предикат]]ів і аксіом арифметики займається [[формальна арифметика]]<ref name="MathEnc_FormArith">{{книга|автор = Виноградов И. М. |частина = Арифметика формальная|заголовок=Математическая энциклопедия  |місце = М. |видавництво = Советская энциклопедия |рік=1977|том=1}}</ref>.

== Арифметика в школі ==
Арифметика є також назвою шкільної дисципліни, яка знайомить з додатними раціональними числами, [[чотири арифметичні дії|арифметичними діями]] з ними та деякими відомостями про [[подільність]] цілих чисел. Навчання арифметики розвиває [[логічне мислення]] дітей, їхню кмітливість, дає необхідну підготовку до практичної діяльності та подальшого вивчення математики й фізики. У середній школі вивчають також числа від'ємні раціональні, [[ірраціональне число|ірраціональні]] й [[алгебраїчні числа|алгебраїчні]]. Відповідні розділи теорії чисел прийнято об'єднувати в навчальну дисципліну вищої педагогічної школи під назвою [[теоретична арифметика]].

== Історія арифметики ==
[[Файл:Giuseppe Peano.jpg|thumb|right|[[Джузеппе Пеано]] у 1889 році сформулював [[Аксіоми Пеано|аксіоми натуральних чисел]]]]
{{main|Історія арифметики}}
Арифметика і [[геометрія]]&nbsp;— давні супутники людини. Ці науки з'явилися тоді, коли виникла необхідність рахувати предмети, вимірювати земельні ділянки та час. Арифметика виникла в країнах стародавнього Сходу: [[Вавилонія|Вавилоні]], [[Китай|Китаї]], [[Індія|Індії]], [[Єгипет|Єгипті]]. Наприклад, єгипетський [[папірус Рінда]] (названий на ім'я його власника Г. Рінда) належить до [[ХХ ст. до н. е.]] Серед інших відомостей він містить розклад [[дріб|дробів]] на суму дробів з [[чисельник]]ом&nbsp;— одиницею (див. [[Єгипетські дроби]]), наприклад:

: <math>\frac{2}{73} = \frac{1}{60} + \frac{1}{219} + \frac{1}{292} + \frac{1}{365}</math>

Математичні знання накопичені в країнах стародавнього Сходу розвивалися далі вченими [[Стародавня Греція|давньої Греції]]. Історія зберегла імена багатьох вчених, які займалися арифметикою в античному світі: [[Анаксагор]], [[Зенон Елейський|Зенон]], [[Евклід]], [[Архімед]], [[Ератосфен]], [[Діофант]]. Особливо варто виділити ім'я [[Піфагор]]а, Піфагорійці (учні й послідовники Піфагора) обожнювали числа, вважаючи, що в них міститься вся гармонія світу. Окремим числам і парам чисел приписувалися особливі властивості. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді ж було звернуто увагу на так звані [[досконалі числа]], [[дружні числа]] тощо.

У стародавньому світі математиці бракувало зручної [[система числення|системи числення]]: [[єгипетська система числення|єгипетська]], [[грецька система числення|грецька]] та [[римська система числення|римська]] системи числення були [[непозиційні системи числення|непозиційними]]. [[Позиційні системи числення|Позиційними]] були [[шістдесяткова система числення|шумерсько-вавилонсько система]] (на основі числа 60) та [[система числення майя|система майя]] (на основі числа 20), хоча в них замість [[цифри|цифр]] використовувалась адитивна система із ліній та точок.

У [[середньовіччя|середньовіччі]] розвиток арифметики також пов'язаний зі Сходом: [[Індія|Індією]], [[Арабський світ|арабським світом]] та [[Середня Азія|Середньої Азії]]. Від індійців прийшли до нас [[десяткова система числення]], сучасні [[цифри]] (використовувались в творах [[Аріабхата I]] (початок [[VI ст.]])), [[0 (число)|нуль]] ([[Брамагупта]] [[VII ст.]]); від [[аль-Каші]] (XV&nbsp;ст.), що працював у [[Самаркандська обсерваторія|Самаркандській обсерваторії]] [[Улугбек]]а,&nbsp;— [[десяткові дроби]].

Уперше в Європі [[арабські цифри]] були згадані у [[Вігіліанський кодекс|Вігіліанському кодексі]] в [[976]], хоча використання їх почалось із твору італійського вченого Леонардо Пізанського ([[Фібоначчі]]) «[[Книга абака]]» ([[1202]]), що ознайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і започаткував багато досліджень в арифметиці й алгебрі. Так завдяки розвитку торгівлі і впливу східної культури починаючи з [[XIII ст.]] підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Арифметика входила до семи [[вільні мистецтва|вільних мистецтв]], які викладалися у середньовічних [[університет]]ах.

Водночас із винаходом [[книгодрукування]] (середина [[XV ст.]]) з'явилися перші друковані книги з математики. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії в [[1478]] році. У «Повній арифметиці» німецького математика [[Михаель Штифель|Михаеля Штифеля]] (початок [[XVI ст.]]) вже є [[від'ємні числа]] та навіть ідея [[логарифм]]ування. Приблизно з [[XVI ст.]] розвиток арифметики зливається з [[алгебра|алгеброю]]. Значними подіями були праці [[Франсуа Вієт]]а, у яких числа позначені літерами. Починаючи з цього часу основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри.

В XVI—XVII&nbsp;ст. найсприятливіші умови для розвитку науки склалися в західно-європейських країнах. Тут у зв'язку з розвитком алгебри входять у [[вжиток]] від'ємні числа, впроваджуються [[комплексні числа]], відкриваються [[ланцюговий дріб|ланцюгові]] і, вдруге, десяткові дроби. Поступово поняття числа абстрагується від конкретних процесів лічби певних предметів та вимірювання, і числа вже не розглядаються як «іменовані». У [[XVIII ст.]] переважно завдяки дослідженням [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]] [[теорія чисел]] стає самостійною науковою дисципліною. В [[XIX ст.]] дослідження складних питань теорії чисел привели до значного узагальнення поняття цілого числа ([[Гаус Карл Фрідріх|Карл Гаусс]], [[Куммер Ернст Едуард|Ернст Куммер]], [[Дедекінд Юліус Вільгельм Ріхард|Юліус Дедекінд]], [[Золотарьов Єгор Іванович|Є.&nbsp;І.&nbsp;Золотарьов]]) і певного завершення теорії подільності. У зв'язку з цим український математик [[Вороний Георгій Феодосійович|Г.&nbsp;Ф.&nbsp;Вороний]] і німецький математик [[Герман Мінковський]] подали важливе узагальнення алгоритму ланцюгових дробів. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відома з початку століття, забезпечила їм права громадянства в алгебрі та [[математичний аналіз|математичному аналізі]] і стала основою подальших узагальнень. У свою чергу, сучасні теорії [[дійсне число|дійсного числа]] розроблено у зв'язку з потребами арифметики і математичного аналізу на основі властивостей раціональних чисел (Юліус Дедекінд, [[Георг Кантор]], [[Карл Веєрштрас]]). Тільки наприкінці XIX&nbsp;ст. досить повно розроблено [[аксіоматика|аксіоматику]] натуральних чисел і дій з ними (в основному [[Джузеппе Пеано]]).

== Загальний опис ==
Основний об'єкт арифметики&nbsp;— число. Натуральні числа виникли з рахунку конкретних предметів. Минуло багато тисячоліть, перш ніж люди засвоїли, що два птахи, дві руки, двоє людей можна назвати одним і тим же словом&nbsp;— «два». Важливе завдання арифметики&nbsp;— навчитися абстрагуватися від форми предметів, їх розміру, кольору. Вже у [[Фібоначчі]] є задача: «Сім жінок йдуть у Рим. У кожної по 7 мулів, кожен мул несе по 7 мішків, в кожному мішку по 7 хлібів, в кожному хлібі 7 ножів, кожен ніж в 7 ножнах. Скільки всіх?» Для розв'язку цієї задачі підсумувати різні сутності, додати жінок до мулів, мішки до хлібів тощо. Розвиток поняття числа&nbsp;— поява нуля і від'ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, способи запису чисел (цифри, позначення, системи числення)&nbsp;— все це має багату і цікаву історію.

У арифметиці числа [[додавання|додають]], [[віднімання|віднімають]], [[множення|множать]] і [[ділення|ділять]]. Мистецтво швидко і безпомилково виконувати ці дії над будь-якими числами довго вважалося найважливішим завданням арифметики. У наш час усно чи на папері ми робимо лише найпростіші обчислення, а складніші&nbsp;— за допомогою обчислювальної техніки. Математичні операції можуть бути записані з використанням відповідних символів «+», «—», «×» і «÷» та знаку рівності "=", наприклад
: 3 + 4 × 5 = 23.

Записані таким чином арифметичні операції виконуються в певному порядку, який називають [[Черговість операцій|черговістю операцій]]&nbsp;— спочатку множення і ділення, а потім додавання і віднімання. Послідовність виконання операцій можна змінити за допомогою [[дужки|дужок]].

[[Позиційна система числення]] дозволила спростити арифметичні операції, зводячи їх до дій із цифрами в одному розряді, тому практично для виконання обчислень досить пам'ятати результати операції додавання у межах 20, і [[таблиця множення|табличку множення]] у межах 100.

Для подальшого спрощення арифметичних операції традиційно до винаходу [[калькулятор]]ів використовувалися [[рахівниця|рахівниці]], а для множення&nbsp;— [[логарифмічна лінійка|логарифмічні лінійки]].

Серед важливих понять, які запровадила арифметика, були [[Пропорція (математика)|пропорції]] та [[відсотки]]. Більшість понять і методів арифметики ґрунтується на залежностях між числами. У історії математики процес злиття арифметики і [[геометрія|геометрії]] відбувався протягом багатьох століть. Можна чітко простежити «геометризацію» арифметики: складні правила і закономірності, виражені формулами, стають зрозумілішими, якщо вдається зобразити їх геометрично. Велику роль у самій математиці і її застосуваннях відіграє зворотний процес&nbsp;— переклад геометричної інформації на мову чисел. В основі цього перекладу лежить ідея французького філософа і математика [[Декарт Рене|Рене Декарта]] визначення [[точка|точок]] на [[площина|площині]] [[система координат|координатами]]. Зрозуміло, до нього ця ідея вже використовувалася, наприклад у морській справі, коли треба було визначити місцезнаходження [[корабель|корабля]], а також [[астрономія|астрономії]], [[геодезія|геодезії]]. Але саме від Декарта і його учнів йде послідовне застосування мови координат. І в наш час при управлінні складними процесами (наприклад, польотом [[космічний апарат|космічного апарата]]) воліють мати всю інформацію в вигляді чисел, які й обробляє [[комп'ютер|обчислювальна машина]].

== Практична арифметика ==
Практична сторона арифметики включає в себе методи, схеми і алгоритми для здійснення точних арифметичних дій, у тому числі використання лічильних машин та інших пристроїв, а також різні прийоми наближених обчислень, які з'явилися у зв'язку з неможливістю отримати точний результат при деяких вимірюваннях і дозволяють визначити його порядок, тобто перші значущі цифри{{sfn|Клейн|1987|с=35—36}}.

{{center|
<gallery caption="Найпростіші лічильні пристрої" widths="200" perrow="3">
Файл:RomanAbacusRecon.jpg|[[Абак (рахівниця)|Римський абак]]
Файл:Abacus 2.jpg|[[Суаньпань|Китайський суаньпань]]
Файл:Yupana 1.png|[[Юпана|Юпана інків]]
Файл:Schoty abacus.jpg|[[Рахівниця]]
Файл:Sliderule 2005.jpg|Типова [[логарифмічна лінійка]]. Показано обчислення добутку 1,3 × 2 = 2,6
Файл:Mechanical calculating machine.jpg|Механічний [[арифмометр]]
</gallery>
}}

=== Точні методи ===
Починаючи з XV століття пропонувалися різні алгоритми для здійснення арифметичних операцій над багатозначними числами, які відрізняються характером запису проміжних обчислень<ref name="MathEnc_Arith"/>. Арифметичні алгоритми побудовані на чинній [[позиційні системи числення|позиційній системі числення]], коли будь-яке позитивне дійсне число <math>x</math> єдиним способом може бути представлене у вигляді

: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots)_b = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k</math> де <math>a</math>&nbsp;— наступна цифра запису числа <math>x</math>, <math>b</math>&nbsp;— основа системи числення, <math>n</math>&nbsp;— кількість розрядів цілої частини числа <math>x</math>.

Усі дії над числами використовують таблиці додавання і множення до десяти та основні арифметичні закони. Як ілюстрацію відомий популяризатор науки [[Фелікс Клейн|Ф. Клейн]] наводить такий приклад:

: <math>7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84, </math>

у якому використовуються розподільчий та сполучний закони{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}.

Потреба у швидких і точних обчисленнях привела до створення найпростіших обчислювальних пристроїв: [[Абак (рахівниця)|абака]], [[Суаньпань|суаньпаня]], [[Юпана|юпани]] або [[Рахівниця|рахівниці]]. Наступним кроком було створення [[Вільям Отред|Вільямом Отредом]] у 1622 році [[Логарифмічна лінійка|логарифмічної лінійки]], яка дозволила здійснювати множення і ділення<ref name="col">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/АРИФМЕТИКА|title=Арифметика|publisher=[[Енциклопедія Кольєра]]|accessdate=2013-01-20|archiveurl=https://www.webcitation.org/6E6ZYET8N?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/АРИФМЕТИКА|archivedate=2013-02-01|deadurl=no}}</ref>.

=== Комп'ютерна арифметика ===
[[Файл:Schickardmaschine.jpg|Копія обчислювальної машини Шиккарда|left|thumb]]
[[Дональд Кнут|Кнут]] вважав арифметичні дії «справою [[комп'ютер]]ів»{{sfn|Кнут|с=216}}. Перші обчислювальні машини, що дозволяли механізувати чотири арифметичні дії, були сконструйовані у XVII&nbsp;ст. «Арифметична машина» [[Вільгельм Шиккард|Шиккарда]], як він сам її називав, була виготовлена у 1623 році. Операції додавання та віднімання проводились з використанням обертових циліндрів, спеціальні циліндри були також для множення та ділення. Крім того, машина могла переносити десятки. [[Паскаліна|Сумувальна машина Паскаля]] була розроблена ним у 1642 році для допомоги батькові у виконанні фінансових розрахунків. Вона мала той же принцип роботи, що і машина Шиккарда. Основну частину машини становив механізм перенесення десятків. Разом з тим ремеслене виготовлення таких машин все ще залишалось невигідним{{sfn|История математики, т. II|1970|с=66—67}}. Спроби удосконалити арифмометр тривали усе XVIII&nbsp;ст., але лише у XIX&nbsp;ст. використання [[арифмометр]]ів стало поширеним{{sfn|История математики, т. III|1972|с=42—45}}.

У XX&nbsp;ст. на зміну арифмометрам прийшли електронні обчислювальні машини. В основі їх роботи лежать алгоритми, що використовують найменшу кількість [[Елементарна операція|елементарних операцій]] для виконання арифметичних дій<ref name="MathEnc_Arith"/>. Комп'ютерна арифметика включає алгоритми виконання операцій над [[Число з рухомою комою|числами з рухомою комою]], дробами та дуже [[Довга арифметика|великими числами]]{{sfn|Кнут|с=216}}.

=== Вимірювання ===
Крім предметів, які підлягають обліку, існують предмети, які можна виміряти, в першу чергу це довжина і маса{{sfn|Клейн|1987|с=45—49}}. Як і при обліку, першими мірами довжини у людини були пальці рук. Згодом відстань почали вимірювати кроками, подвійними кроками, [[миля]]ми (тисяча подвійних кроків), [[Стадій|стадіями]]. Крім того, для вимірювання довжини використовували лікті, долоні, [[Сажень|сажні]], [[дюйм]]и. У різних регіонах встанавлювались свої системи мір, що рідко були кратними десяти{{sfn|Депман|1965|с=263—267}}. Різноманіття мір, зокрема, дозволяло обходитись без використання дробів{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|loc=Arithmetic and logistic}}{{sfn|Арифметика|1951|с=57—71}}. Торгова арифметика включала в собі вміння оперувати величинами (грошовими одиницями, одиницями мір і ваг) у недесятковій системі числення{{sfn|Кнут|с=216, 221}}.

Наприкінці XVIII століття [[Велика французька революція|французьким революційним урядом]] започатковане запровадження [[Метрична система|метричної системи]], в основі якої лежить десяткова система числення. Наразі, окрім мір часу і кута, усі інші одиниці мір пов'язані з десятковою системою{{sfn|Депман|1965|c=275—285}}.

=== Наближені методи ===
Історично наближені обчислення виникли при пошуку довжини діагоналі одиничного квадрата, але набули поширення при переході до десяткової системи і використанні кінцевих [[Десятковий дріб|десяткових дробів]] замість ірраціональних чисел і чисел, виражених нескінченним періодичним дробом{{sfn|Клейн|1987|с=49—57}}.

Для оціночних обчислень використовують, у першу чергу, закони монотонності. Наприклад, щоб визначити порядок добутку <math>567\cdot 134</math>, можна скористатись такою оцінкою <math>560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140</math>{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}.

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
* [[Теоретична арифметика]]
* [[Формальна арифметика]]
* [[Елементарна алгебра]]
* [[Теорія чисел]]
** [[Арифметична геометрія]]
* [[Арифметичні дослідження (Гаусс)]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Література ==
* {{книга |автор = Арнольд І. В.
|заголовок = Теоретична арифметика: навч. посіб. : пер. з рос.
|місце = К. |видавництво = Радянська школа |рік = 1939  |сторінок = 482  
|ref = Арнольд}}
* {{книга |автор = Погребиський Й. Б.
|заголовок = Арифметика : підручник для фізико-математичних факультетів учительських інститутів |місце = К. |видавництво = |рік = 1953  |сторінок = 282  
|ref = Погребиський}}
* {{книга|автор=Кужель О. В.
|заголовок = Основи арифметики  
|відповідальний = О. В. Кужель|місце = К. |видавництво = Радянська школа |рік = 1965|сторінок = 129
|ref=Кужель}}
* {{книга|автор = Бородін О.І. 
|заголовок = Теорія чисел
|відповідальний =  О.І. Бородін| місце = К.|видання = Вища школа|рік = 1970|сторінок = 275
|ref = Бородін}}
* {{Дрозд.Теорія алгебричних чисел}}
* {{книга |автор = Беллюстин В. 
|заголовок = Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики|місце= М.|видавництво = | рік = 1940  | сторінок = 200
|ref = Беллюстин}}
* {{книга |автор = Кэджори Ф. 
|заголовок = История элементарной математики. Пер. с англ. |місце = Одесса|видавництво =    | рік = 1917
|ref = Кэджори}}
* {{книга |автор = Депман И. Я.
|заголовок = История арифметики |посилання = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm
|місце = М. |видавництво = Просвещение |рік = 1965  |сторінок = 400  
|ref = Депман}}
* {{книга |автор = [[Фелікс Клейн|Клейн Ф.]] 
|заголовок = Элементарная математика с точки зрения высшей   |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm I: Арифметика. Алгебра. Анализ]
|місце = М. |видавництво = Наука |рік = 1987
|сторінок = 432
|ref = Клейн}}
* {{книга |автор = [[Дональд Кнут|Кнут Д. Е.]]
|заголовок = Искусство программирования |часть=Арифметика |том=II 
|місце = М. 
|сторінок = 830  
|ref = Кнут}}
* {{книга |автор = Меннингер К.
|заголовок = История цифр. Числа, символы, слова |
|місце = М. |видавництво = ЗАО Центрполиграф |год = 2011
|сторінок = 543 |isbn = 9785952449787   
|ref = Меннингер}}
* {{книга |автор = Нечаев В. И.
|заголовок = Числовые системы |
|місце = М. |видавництво = Просвещение |рік = 1975
|сторінок = 199 |isbn =   
|ref = Нечаев}}
* {{книга |автор=[[Понтрягін Лев Семенович|Понтрягин Л. С.]] 
|посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm 
|заголовок=Обобщения чисел 
|місце=М. |видавництво=Наука |рік=1986 
|сторінок=120 |серія=Библиотечка «Квант»
|ref = Понтрягин }}
* {{книга |автор = [[Жан-П'єр Серр|Серр Ж.-П.]]
|заголовок = Курс арифметики
|посилання = http://www.ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm
|відповідальний = пер. с франц. А. И. Скопина под ред. А. В. Малышева
|місце = М.
|видавництво = Мир
|рік = 1972
|сторінок = 184
|ref = Серр}}
* {{книга |
  |заголовок=История математики: в 3 т.
  |відповідальний=под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]]
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1970 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm I: С древнейших времён до начала Нового времени] 
  |строрінок=
  |ref = История математики, т. I}}
* {{книга |частина=
  |заголовок=История математики: в 3 т.
  |відповідальний=под редакцией А. П. Юшкевича
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1970 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm II: Математика XVII столетия]
  |строрінок=
  |ref = История математики, т. II}}
* {{книга |частина=
  |заголовок=История математики: в 3 т.
  |відповідальний=под редакцией А. П. Юшкевича
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1972 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm III: Математика XVIII столетия]
  |строрінок=
  |ref = История математики, т. III}}
{{Вільні мистецтва}}
{{Розділи математики|state=collapsed}}

[[Категорія:Розділи математики]]
[[Категорія:Арифметика|*]]