Перегляд вихідного коду сторінки Аналітична функція

{{Комплексний аналіз}}
'''Аналіти́чна фу́нкція'''&nbsp;— [[функція (математика)|функція]], яка збігається зі своїм [[ряд Тейлора|рядом Тейлора]] в [[окіл|околі]] будь-якої точки [[область визначення|області визначення]].

У випадку функції [[комплексні числа|комплексної]] змінної ця властивість збігається із властивістю [[голоморфна функція|голоморфності]].

== Означення ==

=== Означення 1 ===
Однозначна [[Функція (в математиці)|функція]] <math> f:\mathbb R\to\mathbb R</math> називається '''аналітичною в точці''' <math>\displaystyle z_0</math>, якщо вона розкладається в [[ряд Тейлора]] в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції <math>\displaystyle f</math> (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені [[степеневий ряд|степеневими рядами]].

Дійсна функція <math> \displaystyle f(x)</math> дійсного аргументу <math>\displaystyle x</math> називається ''аналітичною функцією'' у точці <math>\displaystyle x</math> числової осі, якщо можна вказати такий окіл <math>\displaystyle (x_0-h, x_0+h)</math> точки <math>\displaystyle x_0</math>, в якому <math>\displaystyle f(x)</math> визначена і може бути виражена формулою виду:
: <math>f(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k (x-x_0)^k}</math>

де <math>\displaystyle a_k</math>&nbsp;— [[дійсні числа]].

Можна показати, що <math>\displaystyle a_0=f(x_0)</math>, <math>\displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^k (x_0)}</math>, де <math>\displaystyle k=1, 2, 3, 4, \dots</math>

(Дивись [[Тейлора ряд]]).

=== Зауваження ===
Функція, аналітична в кожній точці інтервалу <math>\displaystyle(a,b)</math>, називається '''аналітичною функцією на цьому інтервалі'''. Така функція необмежено диференційована на <math>\displaystyle(a,b)</math>, але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

: <math>f(x)=10^{1 \over x^2} \ \  (-1<x<1)</math>

: <math>f^{k}(0)=\lim_{n \to 0} {f^{k}(x)}=0 \qquad\  (k=1, 2, 3, 4, \dots) </math>
де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається '''дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів'''. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комплекснозначні функції.

=== Означення 2 ===
Функцію <math>\displaystyle f(z)</math> ''комплексного аргументу'' <math>\displaystyle z=x+iy </math> '''називається аналітичною функцією від''' <math> \displaystyle z</math> '''у точці''' <math>\displaystyle z_0\in \mathbb C</math> комплексної числової площини, якщо <math>\displaystyle f(z)</math> визначена в певному круговому околі <math>\displaystyle (z-z_0) < \rho</math> точки <math>\displaystyle z_0</math> і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

: <math>\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty {a_k (z-z_0)^k}</math>

де <math>\displaystyle a_k</math>&nbsp;— певні комплексні числа.

Можна показати, що

: <math>\displaystyle a_0=f(z_0)\  \qquad</math>, <math>\displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^{k}(z_0)},\ \ (z=1, 2, 3, 4,\dots)</math>

(див. [[Тейлора ряд]]).

=== Означення 3 ===
Функція, аналітична в кожній точці якоїсь [[область (математика)|області]] <math>G</math> [[комплексна площина|комплексної числової площини]], називається аналітичною в області <math>\displaystyle G</math>.

=== Зауваження ===
Виявляється, що аналітичність <math>\displaystyle f(z)</math> в області <math>\displaystyle G</math> є наслідком звичайної її диференційовності в <math>\displaystyle G</math>. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області <math>\displaystyle G</math> функції тісно пов'язані з [[гармонічна функція|гармонічними функціями]] в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих [[плоска задача математичної фізики|плоских задач математичної фізики]]. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

== Розвиток теорії аналітичних функцій ==
У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]], [[Коші|Оґюстена-Луї Коші]], [[Бернгард Ріман]]а, [[Карл Веєрштрас|Карла Вейєршраса]].

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали [[Ковалевська Софія Василівна|Софія Василівна Ковалевська]], [[Жуковський Микола Єгорович|Микола Єгорович Жуковський]], [[Чаплигін|С.&nbsp;О.&nbsp;Чаплигін]], Г.&nbsp;В.&nbsp;Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані [[академік]]ом АН СРСР і УРСР М.&nbsp;О.&nbsp;Лаврентьєвим і професором Г.&nbsp;М.&nbsp;Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В [[УРСР]] над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти [[АН УРСР]] [[Наум Ахієзер]] і [[Марко Крейн|М.&nbsp;Г.&nbsp;Крейн]], професори [[Левін Борис Якович|Б.&nbsp;Я.&nbsp;Левін]], [[Марченко Володимир Олександрович (математик)|Володимир Олександрович Марченко]], [[Положій Г М|Г.&nbsp;М.&nbsp;Положій]], [[Зморович Валентин Анатолійович|В.&nbsp;А.&nbsp;Зморович]], П.&nbsp;П.&nbsp;Фільчаков та ін.

== Аналітична калібрувальна функція ==

Вираз, в якому вимірювану величину ''x'' елемента ''i'' представлено як функцію концентрації ''c'' або якоїсь певної величини ''q'' для одно- або багатокомпонентних систем, де взаємовпливом елементів можна знехтувати: x<sub>i</sub> = F<sub>i</sub>(c<sub>i</sub>) або x<sub>i</sub> = F<sub>i</sub> (q<sub>i</sub>).

== Див. також ==
* [[Числова функція]]
* [[Алгебраїчні функції]]
* [[Трансцендентні функції]]
* [[Теорема Хартогса]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{УРЕ}}
* Ахієзер М.&nbsp;І.&nbsp;Курс теорії функцій. К., 1933;
* Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
* Привалов И.&nbsp;И.&nbsp;Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,

== Посилання ==
* [http://esu.com.ua/search_articles.php?id=44040  АНАЛІТИ́ЧНА ФУ́НКЦІЯ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160421020630/http://esu.com.ua/search_articles.php?id=44040 |date=21 квітня 2016 }} //[[ЕСУ]]

[[Категорія:Типи функцій]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]