Перегляд вихідного коду сторінки Алгебрична структура

{{unibox}}{{Алгебричні структури|module}}'''Алгебрична структура''' (''алгебрична система'')&nbsp;— в [[математика|математиці]] це непорожня [[множина]] з заданим на ній набором операцій та [[відношення на множині|відношень]], що задовільняють деякій системи [[аксіома|аксіом]].

Основним завданням [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]] є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.

Формально: об'єкт <math>\langle A; \; \Omega_F; \; \Omega_R \rangle,</math> де:
* <math>\ A</math>&nbsp;— непорожня множина,
* <math>\ \Omega_F</math>&nbsp;— множина [[алгебрична операція|алгебричних операцій]] визначених на <math>\ A,</math>
* <math>\ \Omega_R</math>&nbsp;— множина [[відношення на множині|відношень]] визначених на <math>\ A.</math>

Множина <math>\ A</math> називається '''носієм''' алгебричної системи. Множини <math>\ \Omega_F, \Omega_R </math> називається '''сигнатурою''' алгебричної системи.

Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається '''моделлю''', якщо не містить відношень, то&nbsp;— '''алгеброю'''.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається [[універсальна алгебра заданої сигнатури|універсальною алгеброю заданої сигнатури]] <math>\ \Omega_F</math>.

Для алгебричних структур визначають [[морфізм]]и, як відображення що зберігають операції (дивись [[гомоморфізм]]). Таким чином визначають [[Теорія категорій|категорії]].

Якщо множина має властивості [[топологічний простір|топологічного простору]] і операції є [[неперервна функція|неперервними]], то таку алгебричну систему називають '''топологічною алгебричною системою''' (наприклад, [[топологічна група]]).

Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще [[коалгебра|коалгебри]], [[біалгебра|біалгебри]], [[Алгебра Гопфа|алгебри Гопфа]] і комодулі над ними і&nbsp;т.&nbsp;д

== Алгебричні операції ==
{{main|Алгебрична операція}}
<math>\ n</math>-[[арність|арна]] операція <math>\ f</math> на <math>\ A</math> — це [[функція (математика)|відображення]] [[Декартів добуток|прямого добутку]] <math>\ n</math> екземплярів множини в саму множину <math>\ f: A^n \to A</math>. За визначенням, ''нуль-арна операція'' — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають [[унарна операція|унарні]] і [[бінарна операція|бінарні]] операції, як найпростіші. Але для потреб [[Топологія|топології]], [[Алгебра|алгебри]], [[Комбінаторика|комбінаторики]] вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія [[операда|операд]] і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

== Список алгебричних систем ==
[[Зображення:Magma to group algebra.PNG||right|thumb|250px|
'''M''' = магма, '''Q''' = квазігрупа, '''S''' = напівгрупа,<br />
'''L''' = Лупа, '''N''' = моноїд, '''G''' = група,<br />
'''d''' = ділення, '''a''' = асоціативність,<br /> 
'''e''' = з одиницею, '''i''' = існування оберненого]]

* [[Множина]] може вважатись виродженою алгебричною системою з порожньою сигнатурою.

=== Групо-подібні (одна [[бінарна операція]]) ===
* [[Магма (алгебра)|Магма (групоїд)]] — множина з однією [[бінарна операція|бінарною операцією]] <math>\ \cdot</math>, зазвичай її називають [[множення]]м.
* [[Права квазігрупа]] — магма, в якому можливе праве [[ділення]],
:: тобто рівняння <math>x \cdot a = b</math> завжди має єдиний роз'вязок <math>\forall a,b \in A.</math>
* [[Квазігрупа (алгебра)|Квазігрупа]] — одночасно права і ліва квазігрупи. 
** [[Лупа (алгебра)|Лупа(Петля)]] — ''квазігрупа'' з [[нейтральний елемент|одиницею]] (''унітарна квазігрупа''): <math>\exist e \in A: \; a\cdot e = e \cdot a = a.</math>
* [[Напівгрупа]] — [[асоціативність|асоціативна]] магма: <math>a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b)\cdot c.</math>
** [[Моноїд]] — ''напівгрупа'' з одиницею (''унітарна напівгрупа'').
* [[Група (математика)|Група]] — ''моноїд'' з діленням чи асоціативна ''лупа'': <math>\forall a \;\; \exist a^{-1}: \;\; a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.</math>
* [[Абелева група]] — [[комутативність|комутативна]] група: <math>a\cdot b = b \cdot a.</math>
::Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а [[нейтральний елемент]] — нулем.

=== Кільцеподібні (дві бінарні операції узгоджені [[дистрибутивність|дистрибутивністю]]) ===
* [[Півкільце]] — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
* [[Кільце (алгебра)|Кільце]] — структура с двома бінарними операціями: ''абелева група'' по додаванню, ''моноїд'' по множенню,
::виконується [[дистрибутивний закон]]: <math> a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c</math>.
* [[Комутативне кільце]] — кільце з комутативним множенням.
** [[Цілісне кільце]] — комутативне кільце без [[дільники нуля|дільників нуля]] (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю).
*** [[Булеве кільце]] — кільце, всі елементи якого є [[ідемпотентний елемент|ідемпотентами]]. Воно є комутативним та немає дільників нуля.
* [[Кільце з діленням]] (чи ''Тіло'') — кільце, де ненульові елементи утворюють групу по множенню.
* [[Поле (алгебра)|Поле]] — комутативне кільце з діленням.

=== Модулі (множення тільки на скаляр) ===
* [[Модуль над кільцем]] — абелева група по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією «множення на скаляр» з кільця.
* [[Векторний простір]] — модуль над полем.

=== Алгебри (додавання, множення на скаляр, множення) ===
* [[Алгебра над кільцем]] (алгебра) — модуль над комутативним кільцем, що утворює кільце з [[білінійне відображення|білінійним]] множенням.
* [[Алгебра над полем]] — [[векторний простір]] с [[Білінійне відображення|білінійною]] дистрибутивною операцією множення.
* [[Комутативна алгебра]] — алгебра з комутативним множенням.
* [[Асоціативна алгебра]] — алгебра з асоціативним множенням.
* [[Альтернативна алгебра]] — алгебра з тотожністю альтернативності для множення: <math>\ (xx)y=x(xy), \quad y(xx)=(yx)x.</math>
* [[Алгебра термів]]
* [[Градуйована алгебра]]
* [[Алгебра Лі]] — алгебра з [[антикомутативність|антикомутативним]] множенням (позначаємим <math>\ [a,b]</math>), що задовільняє [[тотожність Якобі]] <math>\ [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.</math>
* [[Алгебра Йордана]] — комутативна алгебра з тотожністю слабої асоціативності: <math>\ x^2(yx)=(x^2y)x</math>
* [[Алгебра Мальцева]] — [[антикомутативність|антикомутативна]] алгебра з тотожністю
:<math>\ (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x</math>
* [[Операда|Алгебра над операдою]] — одна з найзагальніших алгебричних систем. Сама [[операда]] грає роль сигнатури алгебри.

=== Решітки ===
* [[Напівґратка]]
** [[Ґратка (порядок)|Ґратка]] (''Решітка'') — структура с двома бінарними операціями ∨ і ∧, що є комутативними, асоціативними і задовільняють [[закон поглинання]]: a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a.
*** [[Алгебра Гейтінга]]
*** [[Дистрибутивна ґратка]]
**** [[Булева алгебра]] — [[доповнена ґратка|доповнена]] [[дистрибутивна ґратка]].
***** [[Алгебра логіки]].

== Див. також ==
* [[Ікосіани]]

== Джерела ==
*{{Завало.Курс алгебри}}
*{{книга |автор                   = I. N. Herstein
 |частина               = 
 |заголовок           = Topics in Algebra
 |посилання           = 
 |видання               = 2
 |відповідальний = 
 |місце                   = 
 |видавництво       = John Wiley & Sons
 |рік                       = 1975
 |том                       = 
 |сторінки             = 
 |сторінок             = 388
 |isbn                         = 978-0471010906
 |ref                          = 
 |url-access                   = registration
 |url                          = https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers
}} {{ref-en}}
*{{книга
 |автор          = Joseph J. Rotman
 |частина        = 
 |заголовок      = Advanced Modern Algebra 
 |посилання      = 
 |видання        = 3 (Graduate Studies in Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = AMS
 |рік            = 2015
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 709
 |isbn           = 978-1470415549
 |ref            =
}} {{ref-en}}
*{{книга
 |автор          = Thomas W. Hungerford
 |частина        = 
 |заголовок      = Algebra 
 |посилання      = 
 |видання        = 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Springer
 |рік            = 2003
 |том            = 73
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 504
 |isbn           = 978-0387905181
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{Курош.Общая алгебра}}
* {{Кон.Универсальная алгебра}}
* {{Мальцев.Алгебраические системы}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}

[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Математичні структури]]
[[Категорія:Математичне моделювання]]