Перегляд вихідного коду сторінки Аксіома нескінченності

{{unibox}}'''Аксіомою нескінченності''' ({{lang-en|axiom of infinity}}) називається наступне висловлювання [[теорія множин|теорії множин]]:
: <math>~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ )</math>, де <math>~ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}</math>

'''Аксіома нескінченності''' проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з <math>~ \varnothing, \qquad \{\varnothing\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}, \ \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}\}, \quad ...</math>

Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент B ∪ {B} як '''наступний елемент''' B (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {B}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент використовується, зокрема, для побудови теорії [[натуральні числа|натуральних чисел]] за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця&nbsp;— наступний елемент за 0:
: <code>1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {{}} = {{}} = {0}.</code>

Аналогічно, 2&nbsp;— наступний елемент за 1.
: <code>2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {{},{{}}} = {0,1}, і т.д.</code>

Тобто, існує така множина ''a'', що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента ''b'' включає також і множину, сформовану як об'єднання ''b'' та її [[Синґлетон (математика)|синґлетону]] {''b''}.

В такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.

== Інші формулювання аксіоми нескінченності ==

<math>~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))</math>

<math>~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))</math>

== Див. також ==
* [[Аксіоматика теорії множин]]
* [[Математична індукція]]

== Джерела ==
* {{cite book |автор=Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. |url=http://moodle.nati.org.ua/mod/resource/view.php?id=9295 |назва=Вступ до дискретної математики |місце=Львів |видавництво=Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка |рік=2003 |pages=254 |ref=}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}

{{Теорія множин}}

[[Категорія:Аксіоми теорії множин]]