Перегляд вихідного коду сторінки Адитивна теорія чисел

'''Адитивна теорія чисел'''&nbsp;— розділ [[Теорія чисел|теорії чисел]], що виник під час вивчення задач про розкладання [[Цілі числа|цілих чисел]] на складові заданого вигляду{{Sfn|Математическая энциклопедия|1977|с=91}} (наприклад, на [[Просте число|прості числа]], [[фігурні числа]], <math>n-</math>і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

* [[Теорема Лагранжа про чотири квадрати|Задача про подання числа сумою чотирьох квадратів]] та її узагальнення: [[теорема Ферма про багатокутні числа]].
* [[Теорема Ферма про суму двох квадратів|Задача про подання простого числа у вигляді суми двох квадратів]].
* [[Гіпотеза Гольдбаха|Проблема Гольдбаха]].
* [[Проблема Воринга]].
* [[Гіпотези Поллока]].

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження [[Абелева група|абелевих груп]] і [[Напівгрупа|комутативних напівгруп]] з операцією додавання{{Sfn|Mann|1976}}. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з [[Теорія чисел|комбінаторною теорією чисел]] (особливо з [[Адитивна комбінаторика|адитивною комбінаторикою]]){{Sfn|Tao|2006}} і з [[Геометрія чисел|геометрією чисел]], у ній застосовуються [[Диференціальне та інтегральне числення|аналітичні]], [[Алгебра|алгебричні]] й [[Теорія ймовірностей|імовірнісні]] методи. В залежності від методів розв'язування, [[Адитивність|адитивні]] задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел&nbsp;— [[Аналітична теорія чисел|аналітичну теорію чисел]], теорію [[Алгебраїчні числа|алгебричних чисел]], {{Не перекладено|Ймовірнісна теорія чисел|ймовірнісну теорію чисел||Probabilistic number theory}}.

== Історія ==
Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав [[Леонард Ейлер]], який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою [[Степеневий ряд|степеневих рядів]]) розкладання [[Натуральні числа|натуральних чисел]] на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів {{Не перекладено|Теорема про п'ятикутні числа|теорему про п'ятикутні числа|en|Pentagonal number theorem}}<ref>[http://www.mathpages.com/home/kmath623/kmath623.htm On Euler's Pentagonal Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200131233729/http://www.mathpages.com/home/kmath623/kmath623.htm |date=31 січня 2020 }} at MathPages.</ref>. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: [[Гіпотеза Гольдбаха|проблема Гольдбаха]] і [[проблема Воринга]], надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами&nbsp;— ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як [[Круговий метод Гарді — Літлвуда|коловий метод Гарді – Літтлвуда]], {{Не перекладено|метод решета|||Sieve theory}}{{Sfn|Математическая энциклопедия|1984|с=979}} та [[метод тригонометричних сум]] [[Виноградов Іван Матвійович|В.&nbsp;М.&nbsp;Виноградова]]. [[Давид Гільберт|Гільберт]] довів<ref>{{Cite web|last=[[Карацуба Анатолій Олексійович|Карацуба А. А.]]|title=Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел|url=https://www.researchgate.net/publication/259480013_Problema_Gilberta-Kamke_v_analiticeskoj_teorii_cisel|accessdate=2020-12-01}}</ref>, що для будь-якого цілого числа <math>k>1</math> будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені <math>k</math>. [[Шнірельман Лев Генріхович|Лев Шнірельман]] у 1930 році ввів поняття [[Щільність послідовності|щільності послідовності]] натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга<ref>{{Книга
|заголовок = Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947
|відповідальний = Под ред. [[Курош Олександр Геннадійович|А. Г. Куроша]], [[Маркушевич Олексій Іванович|А. И. Маркушевича]], [[Рашевський Петро Костянтинович|П. К. Рашевского]]
|місце = М.-Л.
|видавництво = [[Гостехиздат]]
|рік = 1948
|сторінок = 1044
|сторінки = 56—57
}}</ref>.

[[Фрейман Григорій Абельович|Григорій Фрейман]] 1964 року довів важливу {{Не перекладено|Теорема Фреймана|теорему||Freiman's theorem}} з галузі [[Адитивна комбінаторика|адитивної комбінаторики]].

== Сучасний стан ==
Підмножина <math>B</math> називається (асимптотичним) {{Не перекладено|Адитивний базис|адитивним базисом|en|Additive basis}}<ref>{{Citation|last1=Bell|first1=Jason|last2=Hare|first2=Kathryn|last3=Shallit|first3=Jeffrey|arxiv=1710.08353|doi=10.1090/bproc/37|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|mr=3835513|pages=50—63|series=Series B|title=When is an automatic set an additive basis?|volume=5|year=2018}}</ref> скінченного порядку <math>h</math>, якщо будь-яке досить велике натуральне число <math>n</math> можна записати як суму не більше ніж <math>h</math> елементів <math>B</math>. Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна [[Теорема Лагранжа про чотири квадрати|теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів]], яка показала, що множина [[Квадратне число|квадратних чисел]] є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку&nbsp;— {{Не перекладено|теорема Виноградова (теорія чисел)|теорема Виноградова||Vinogradov's theorem}} про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох [[Просте число|простих чисел]]<ref>{{Книга
|автор = [[Карацуба Анатолій Олексійович|Карацуба А. А.]]
|частина = Эйлер и теория чисел
|заголовок = Современные проблемы математики. Вып. 11
|місце = М.
|видавництво = [[Математичний інститут імені В. А. Стеклова РАН|МИАН]]
|рік = 2008
|сторінок = 72
|сторінки = 19—37
|ISBN = 5-98419-027-3
}}</ref>.

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина <math>A</math> називається ''мінімальним асимптотичних базисом'' порядку <math>h,</math> якщо <math>A</math> є асимптотичним базисом порядку <math>h</math>, але ніяка [[Підмножина|власна підмножина]] <math>A</math> не є асимптотичним базисом порядку <math>h</math>. Доведено<ref>{{Публікація|назва=Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory|статья|автор=Nathanson M. B.|видання=J. Number Theory|рік=1974|volume=6|issue=4|pages=324—333}}</ref>, що мінімальні асимптотичні базиси порядку <math>h</math> існують для будь-якого <math>h</math>, а також існують асимптотичні базиси порядку <math>h</math>, що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку <math>h</math>.

Розглядається також проблема&nbsp;— наскільки можна зменшити кількість подань <math>n</math> у вигляді суми <math>h</math> елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена {{Не перекладено|Гіпотеза Ердеша — Турана про адитивні бази|гіпотеза Ердеша — Турана|en|Erdős–Turán conjecture on additive bases}} (1941)<ref>{{Публікація|назва=On the Erdős–Turán conjecture|статья|автор=Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J.|видання=J. Number Theory|рік=2003|volume=102|issue=2|pages=339—352}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Композиція (комбінаторика)|Композиція числа]]
* {{Не перекладено|Мультиплікативна теорія чисел|||Multiplicative number theory}}
* [[Розбиття числа]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|частина = Аддитивная теория чисел
|заголовок = Математическая энциклопедия (в 5 томах)
|місце = М.
|ref = Математическая энциклопедия
|том = 1
|рік = 1977
|посилання = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu
|видавництво = [[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]]
|назва = 
|archivedate = 13 листопада 2013
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20131113180443/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu
}}
* {{Книга
|автор = [[Бухштаб Олександр Адольфович|Бухштаб А. А.]]
|місце = М.
|видавництво = Просвещение
|рік = 1966
|частина = Проблемы аддитивной теории простых чисел
|заголовок = Теория чисел
|сторінок = 384
|ref = Бухштаб
}}
* {{Книга
|автор = [[Гельфонд Олександр Йосипович|Гельфанд А. О.]], [[Линник Юрій Володимирович|Линник Ю. В.]]
|місце = М.
|видавництво = Физматгиз
|рік = 1962
|частина = Аддитивные свойства чисел
|заголовок = Элементарные методы в аналитической теории чисел
|сторінок = 272
|ref = Гельфанд, Линник
}}
* {{Книга
|частина = Метод решета
|заголовок = Математическая энциклопедия (в 5 томах)
|місце = М.
|ref = Математическая энциклопедия
|том = 4
|рік = 1984
|посилання = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu
|видавництво = [[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]]
|назва = 
|archivedate = 21 січня 2022
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220121054322/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu
}}
* {{Книга
|автор = [[Постников Олексій Георгійович|Постников А. Г.]]
|місце = М.
|видавництво = Наука
|рік = 1971
|заголовок = Введение в аналитическую теорию чисел
|сторінок = 416
}}
* {{Стаття|author=Шнирельман Л. Г.|title=Об аддитивных свойствах чисел|ref=Шнирельман|url=http://www.mathnet.ru/links/c83fa2a5f54c42ad9ca1a8af27987d8c/rm8935.pdf|видання=[[Успехи математических наук]]|date=1939|номер=6|pages=9—25}}
* {{Cite book
|title=Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory
|last=[[Генрі Манн|Henry Mann]]
|year=1976
|publisher=Robert E. Krieger Publishing Company
|edition=Corrected reprint of 1965 Wiley
|location=Huntington, New York
|isbn=0-88275-418-1
|ref=Mann
}}
* {{Cite book
|title=Additive Number Theory: The Classical Bases
|last=Nathanson, Melvyn B.
|year=1996
|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|isbn=0-387-94656-X
}}
* {{Cite book
|title=Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets
|url=https://archive.org/details/additivenumberth0000nath
|last=Nathanson, Melvyn B.
|year=1996
|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|isbn=0-387-94655-1
}}
* {{Cite book
|title=Additive Combinatorics
|last=[[Теренс Тао|Tao, Terence]]; [[Ву Ха Ван|Vu, Van]]
|year=2006
|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|volume=105
|ref=Tao
}}

== Посилання ==
* ''Бредіхін Б. М.'' [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Additive_number_theory Additive number theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200721074508/https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Additive_number_theory |date=21 липня 2020 }}, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* {{Mathworld|title=Адитивна теорія чисел|urlname=AdditiveNumberTheory}}
{{Бібліоінформація}}
{{Розділи математики}}
[[Категорія:Адитивна теорія чисел]]